Воронов Е.М., Карпунин А.А., Репкин А.Л. ОУММС (2010) (Воронов Е.М., Карпунин А.А., Репкин А.Л. Оптимальное управление многообъектными многокритериальными системами (2010)), страница 7

Поиск векторного равновесия(векторного Нэш-равновесия и -равновесия), является достаточно сложнойзадачей с собственным программным обеспечением.Каждая коалиция теперь имеет векторный показатель, что учитываетэлемент субъективности взаимной информации о приоритетностипоказателей партнёров. Естественно, что скаляризация показателей коалициис заданными весами приводит к частному случаю векторного Нэшравновесия: скалярному равновесию по Нэшу.Поэтому при исследовании векторного равновесия по сравнению соскалярным, во-первых, возрастает размерность множества показателей, вовторых, возрастает число равновесных решений, так как даже приединственности скалярного равновесия перебор вектора весов приводит кмножеству решений.

Увеличение размерности задачи и расширениемножества равновесных решений на множестве допустимых решенийприводит к необходимости искать компромиссное решение срединедоминируемых векторных равновесий ( u ri ), наиболее близкое к идеальнойточке над множеством допустимых решений по критерию:m ( J j (u ri )  J *j )2  min;ij 1где32j  M (1,..., m),(2.4)Воронов Е.М., Карпунин А.А., Репкин А.Л.J *j  max J j ( u), u  U , U  U K1 ,K ,U K ,K ,U Kl ,uU(2.5)где UK – множество параметризованных управлений (решений) коалиции K, = 1,...,l. Полученное на основе (2.4), (2.5) решение является наилучшимвекторно-равновесным решением для всех коалиций, а поэтому являетсякомпромиссным в условиях необязательных соглашений.Общий метод определения компромисса принимает вид следующеймногоэтапной последовательности.Эта п 1 .

Получение векторных Нэш-равновесий.Эта п 2 . Получение множества недоминируемых векторных равновесий.Эта п 3 . Получение идеального решения на основе критерия (2.5).Эта п 4 . Получение компромиссного решения на конечном множественедоминируемых векторных равновесий на основе критерия (2.4).Ввиду сложности решения данной задачи, особенно на первом этапе,данный алгоритм реализован в универсальной программной среде«MATLAB».

Надлежащая параметризация программно-корректируемогозакона управления и использование параллельной вычислительной средыпозволяет реализовать алгоритм в реальном времени.Формирование Парето–Нэш-области компромиссов (ПНОК) (СТЭК4). Предыдущие СТЭК-1 – СТЭК-3 позволяли получить лучшие решения врамках одного и того же множества стабильных решений. Данная ПНОКпозволяет выделить на области допустимых решений или на областидопустимых значений показателей подобласть, где наиболее вероятныследующие шаги по формированию стратегических и нестратегическихкомпромиссов на основе соответственно необязательных соглашений сопределённой устойчивостью к отклонениям и строго договорных процедур собязательными соглашениями и процедурами наказания при невыполнениисоглашений, а также определённой «смеси» необязательных и обязательныхсоглашений.

Поэтому, с одной стороны, данная ПНОК является базой дляформирования новых компромиссов, с другой стороны, при определеннойблизости компромиссного значения показателей на основе предыдущихСТЭК к Парето-границе области показателей выделяется малая ОК, каждаяточка которой с определённой степенью грубости играет роль собственноСТЭК-4, а в пределе превращается в ПСТЭК.Всё это следует из определения ПНОК на области допустимых значенийпоказателей – свёрток в смысле СТЭК-1 и СТЭК-2 или полного вектора всмысле СТЭК-3.Определение 2.2.

ПНОК удовлетворяет системе неравенств:BJ (u)  J ( uСТЭК-i ), u U , i  1 (2,3),(2.6)J ( u)  J ( uСТЭК-i )  J (u П ) J (uСТЭК-i ) , u П U П ,где первое неравенство системы (2.6) имеет смысл многогранного конусадоминирования с матрицей В = Е и вершиной в точке J(uСТЭК-i), а второеимеет смысл семейства лучей, соединяющих точку СТЭК и соответствующее33Учебное пособие по выполнению работ по дисциплине ОУММСлучу решение uП из подмножества UП Парето-оптимальных решений, такжеудовлетворяющих первому неравенству. Рис. 2.1 иллюстрирует данноеопределение для двухобъектной ММС со скалярными показателями объектов.Метод получения ПНОК базируется на комбинации алгоритмов Паретооптимизации, Нэш-оптимизации и получения СТЭК-1 (2,3), что может бытьпредставлено в упрощённом виде следующей процедурой.Эта п 1 .

Получение множества скалярных (векторных) недоминируемыхНэш-равновесий.Эта п 2 . Определение стабильно-эффективных решений СТЭК-1 (2,3).Эта п 3 . Формирование конуса доминирования (2.6) на области значенийпоказателей, как на отображении области решений.Эта п 4 . Получение области Парето-оптимальных решений и подобластиU П на основе конуса (2.6).Эта п 5 .

Формирование системы значений показателей и системырешений, удовлетворяющих ПНОК, с элементами проективно-графическогоанализа.Для реализации данного алгоритма с использованием СТЭК-1, СТЭК-2формируются интерактивные процедуры на основе модулей Парето–Нэшоптимизации в программной среде ПС «MOMДИС» с использованиемграфических экранных отображений.

Данный алгоритм с использованиемСТЭК-3 реализован в среде «MATLAB».Взаимосвязь ПНОК и области УКУ-решений (СТЭК-5). Векторное искалярное равновесие при фиксированной коалиционной структуре являютсячастными случаями коалиционного равновесия, так как каждая коалициястремится обеспечить свою локальную Парето-оптимальность в рамках всейлокальной области, ее подобласти или точки соответственно, а равновесноерешение по определению является V-решением (не содержит эффективныхугроз, против которых нет контругроз).УКУ-равновесие по Вайсборду–Жуковскому является модификацией Vрешения и принадлежит к множеству коалиционных равновесий, еслидопустимое множество коалиционных структур позволяет сформироватьконтругрозу.Если точка УКУ-равновесия единственная и попадает на ПНОК, то всравнении с Нэш-равновесной точкой она более выгодная для ММС (рис.

2.2)и является устойчивым компромиссным решением с предостережением котклонению в условиях необязательных соглашений.В более общем случае может иметь место подмножество УКУ-равновесий,для которого по определению Нэш-вершина ПНОК является граничнойточкой (из-за обращения неравенства угрозы). Тогда вступают в действие триранее рассмотренные вида СТЭК в применении к множеству УКУ илиформируется алгоритм выбора точки УКУ, наиболее близкой к Паретогранице и, например, учитывающий уравновешивание потерь (рис.

2.3).Из анализа прикладных результатов выявляются некоторые общиезакономерности, которые сложно получить «прямыми» теоретическимиисследованиями, – это неединственность УКУ-решений и попадание большейчасти решений на ПНОК.34Воронов Е.М., Карпунин А.А., Репкин А.Л.Если ресурсы коалиций не равны, то ПНОК содержит подмножество точекУКУ, которые смещены в пользу коалиции с большими ресурсами. При выравнивании ресурсов число УКУ-решений увеличивается, а множество УКУсущественно пересекается с ПНОК (применяя в некоторых случаях очертанияПНОК), причём часть точек УКУ попадает на Парето-границу ПНОК.Следовательно, может быть сформулировано следующее утверждениеобщего характера.Утверждение 2.1.

ПНОК содержит подмножество УКУ-оптимальныхрешений, а при выравнивании ресурсов коалиций – объектов в ММС числорешений возрастает и их множество существенно пересекается с ПНОК, причёмПарето-граница ПНОК содержит УКУ-решения.Замечание 2.1. Из последней части утверждения следует, что точкиПарето-границы ПНОК могут выбираться как начальные приближениякомпромиссных УКУ-решений.Взаимосвязь ПНОК и множества дележей (СТЭК-6). Метод получениядележей по Шепли детально обсуждается в главе 5.

В условияхнеобязательных соглашений делёж по Шепли обосновывает выбор такогокоалиционного равновесия, которое является наиболее подходящим длявозможного объединения в кооперацию при переходе к строго договорнымкомпромиссам с обязательным выполнением соглашения.Поэтому полезно исследовать взаимосвязь ПНОК и множества дележей.Утверждение 2.2. Парето-граница ПНОК для однотипных ММС удовлетворяет свойствам коллективной и индивидуальной рациональности дележей.В общем случае ПНОК принадлежит прямоугольному многогранномуконусу с вершиной в J ir (i = 1,…,N), который ограничен Парето-границейJ iП (i = 1,…,N), и следовательно,J iП  Ji J ir1 , (i = 1,…,N).Тогда характеристическая функция, характеризующая индивидуальнуюэффективность, имеет видv (i) = J ir1 из ( J ir1 , ФNr1/ j ).При этомr1ФNr1/ i   J j . jN / i Также известно, чтоJ iП  J ir  J ir1 = v(i), i = (1,…,N),что является условием индивидуальной рациональности дележа на Паретоточках ПНОК.

Условие коллективной рациональности Парето-точки ПНОКвыполняется тождественно, так как по определению дележа35Учебное пособие по выполнению работ по дисциплине ОУММС J iП  v( N ) .iNТаким образом, Парето-граница ПНОК обладает свойством коллективнойи индивидуальной рациональности.Собственно, СТЭК-6 имеет смысл либо ПСТЭК, либо УКУ-равновесия,которые оказались на Парето-границе ПНОК в окрестности найденной точкидележа по Шепли.Рис. 2.1. Парето–Нэш-область компромиссовдля двухобъектной ММСсо скалярными показателямиРис. 2.2.

Частный случай СТЭК-5:точка УКУ единственнаяи попадает на ПНОКВыбор наиболее эффективного УКУ-решения на основе ПНОК иточки дележа Шепли (СТЭК-7). Рассмотренный СТЭК-6 является частнымслучаем более общего СТЭК, когда множество УКУ-равновесий имеет общийхарактер положения в ПНОК, например так, как показано для N = 2 нарис. 2.3.Рис.

2.3. Общий характер положения УКУ-равновесия на ПНОК36Воронов Е.М., Карпунин А.А., Репкин А.Л.Тогда СТЭК-5 и СТЭК-6 обобщаются в виде СТЭК-7, который имеетнаиболее общий вид в условиях необязательных соглашений и содержитпредыдущие СТЭК-1 – СТЭК-6 как частные случаи или компоненты.Определение 2.3. Общий стабильно-эффективный компромисс в условияхнеобязательных соглашений формируется как устойчивое решение спредостережением, обладающее максимальной степенью близости к оценкенаилучшего результата, который может быть достигнут при кооперативномобъединении на основе обязательных соглашений.

Таким свойством обладаетУКУ-равновесие на ПНОК, которое является наиболее близким к точкедележа по Шепли или к ее максимальной реализуемой предпосылке.Общая схема метода определения данного СТЭК заключается впоследовательном поэтапном решении следующих задач.Эта п 1 . Определение множества Нэш-равновесий.Эта п 2 . Определение наилучшего Нэш-решения на основе СТЭК-1,СТЭК-2, СТЭК-3.Эта п 3 . Определение множества УКУ-равновесных решений.Эта п 4 . Формирование подмножества УКУ-решений, удовлетворяющихусловиям (2.6) на основе СТЭК-4, СТЭК-5.Эта п 5 . Определение предпосылки дележа по Шепли на ПНОК (СТЭК6).Эта п 6 .