Воронов Е.М., Карпунин А.А., Репкин А.Л. ОУММС (2010) (Воронов Е.М., Карпунин А.А., Репкин А.Л. Оптимальное управление многообъектными многокритериальными системами (2010)), страница 3

Математическая модель ММС с выбором описания иуправляющих силМатематическое описание ММС. В качестве основного описания ММСпринимается система динамико-алгебраических связейx& д  f  t , x, q, u1 , K , u N  , x  t0   x0 ; аx a    t , x, q, u1 , K , u N  , x  X ;б(1.11)в y  y  x , q, t  , q  Q;г u  u  t , x, y , q  , u  U ,где N – число объектов в ММС; x  x д , x а – вектор состояния ММС с xд–динамическими и x а – алгебраическими состояниями;X – множество состояний;y – вектор выхода ММС;u  U – вектор управления ММС;q  Q – вектор параметров ММС,которые характеризуют параметрическую неопределенность в (1.11а–в) ивозможную параметризацию в (1.11г).Выражения (1.11) характеризуют динамические связи (а), алгебраическиесвязи (б), вектор выхода (в) и функцию принятия решения и управления (г).Управлениеu  U  U1  ...

 U N ,(1.12)ui  U i – подвектор управления i-м объектом ММС.Свойства правых частей (1.11а), (1.11б) типичные, в основном, этонепрерывность и дифференцируемость, а для (1.11а) – выполнение условийЛипшица.О выборе управляющих сил. Как известно, существуют три основныхспособа задания управляющих сил:1) Вектор параметров q  Q ;2) Программное управление u  u  t  ;3) Закон управления (или позиционное управление) u  u  t,x  , u  U .Свойства управлений и множеств управлений варьируются. Наиболеежелаемые свойства U – это свойства выпуклости и компактности (или слабойкомпактности).Ввиду сложности краевых задач в ММС имеет смысл ориентироваться накомбинацию приближенных гибких вычислительных схем и классическихоптимизационных структур управления, например, математическогопрограммированияи оперативного управления,с существеннойпараметризацией управляющих сил во временных интервалах их приложения.11Учебное пособие по выполнению работ по дисциплине ОУММСПоэтому, кроме трех указанных, рассматриваются следующиекомбинации в представлении управляющих сил.4) Параметризированное векторное программное управление ui  us , где l s q j f j  t  ; j 1us  u s q s , t  l q s f t 1 t  t , n  1, 2, 3,..., l  1,j j   jj 1  j nгде1.13а q s  q1s ,…,qls  Qs :us  U s ,Ui   U s ;sQi   Qs1.13б f j t –sнепрерывные функции, заданные на отрезке t0 ,T  (1.13а) или на отрезкеt j 1 ,T  (1.13б); 1 t j  t j 1  – интервал применения слагаемого управленияus (1.13б)1 при t   t j 1 , t j  ;1  t j  t j-1   0 при t  t j 1 , t j  ,при этом 1 t j  t j 1   1 t  t j 1   1 t  t j  и t0 ,t1 ,...,t j 1 ,t j ,...,T  – заданноеразбиение отрезка t0 ,T  .Возможны обобщения (1.13а), (1.13б).

Так, например, функции f j  t могут быть заданы отдельно для каждой скалярной компоненты us ипринимают вид f js (t ) . Для сохранения числа l интервалов параметризации(1.13б) на каждом отрезке [tj-1,T] достаточно (1.13б) представить в видеlusj (t )   q sjk f jks  t  1tk  tk 1 ,(1.13в)k 1где tk  t j 1  k t ,t T  t j 1.lЕсли управление (1.13а) непрерывное, то управление (1.13б) кусочнонепрерывное. Типичный частный вид последнего при fj(t) = 1 на t0 ,T us  q1s 1t1  t0   q2s 1t2  t1   K  qls 1T  tl 1  . 5) Параметризованный закон управления (стратегия) ui  us q s , x, t12(1.14)Воронов Е.М., Карпунин А.А., Репкин А.Л. l s  q j f j  x, t  ; j 1sus  u s q , x , t  l q s f x, t 1  t  t  ,  j j 1  j j  j 11.15а 1.15б где q s  Qs , us  U s , f j  x,t  – заданные непрерывные функции.6) Программно-корректируемый закон управления (ПКЗУ) (стратегия) призаданном разбиении отрезка t0 ,T  с малым t  t j  t j 1ui     u s    ;lus     usj (x(t j 1 ), t ) 1 t j  t j 1 , tl  T ,(1.16)j 1где usj x  t j 1  ,t  usj  t  – допустимое программное управление us  U sj на отрезке t j 1 ,T  при известном начальном условии x t j 1 и реализуемоена t  t j 1  t j  .Замечание 1.2.

Данный ПКЗУ отличается от кусочно-программнойстратегии Л.А. Петросянаlus   u sjt 1t j  t j 1 ,j 1где usj  t  – программное управление на t j 1 ,t j при фиксированномзначении x  t j 1  .7) Параметризованный ПКЗУ, который получается на основе комбинации 4 и6, например, в виде (1.16), гдеpusj x  t j 1  , t   q sj k 1tk  tk 1 (1.17)k 1с разбиением t j 1 ,t1 ,...,tk 1 ,tk ,...,T  на отрезке t j 1 ,T  при фиксированномx  t j 1  .При параметризации управления и дискретизации временного интервалавозникает вопрос о степени приближения исходной задачи,t0 ,T полученной задачей с аппроксимацией управляющих сил.

Допустимостьприближений опирается на ряд фундаментальных факторов и некоторыхусловий.13Учебное пособие по выполнению работ по дисциплине ОУММСВо-первых, в точной задаче рассматривается, как правило, классуправлений с конечным числом точек разрыва первого рода, к которымпринадлежат и аппроксимированные управления.Во-вторых, существенным является свойство сжатия функциональнойсвязи показателей с управляющими силами, когда ограниченнымструктурным изменениям управляющих сил соответствует малое изменениезначений показателей. Данное свойство грубости часто имеет место в задачахуправления.В-третьих, очевидно, что при сведении исходной задачи к конечномернойзадаче нелинейного программирования результат уточняется приопределенном увеличении размерности вектора параметров.

В этом случаеконтролируемые приближения для некоторых классов систем могут бытьобеспечены, например, на основе спектральных методов развитых в работахВ.В. Солодовникова, В.В. Семенова, А.Н. Дмитриева, Н.Д. Егупова и других[см., например, работу А.И. Трофимова, Н.Д.

Егупова, А.Н. Дмитриева.Методы теории автоматического управления. – М.: Энергоатомиздат, 1997. –654 с.]. Следует также отметить, что параметризация управляющих силпозволяет на основе параметрических сетей преодолевать возрастающиетрудности глобальной оптимизации в многокритериальных задачах,приближенно оценивать существование и единственность решения иназначать начальное приближение для локального поиска точного решения.

Вэтом случае методы и алгоритмы приобретают, по меньшей мере,двухэтапную структуру. На первом этапе на основе сетевых подходовоценивается множество решений и выбирается начальное приближение в«выгодной» локальной области. На втором этапе на основе начальногоприближения решается точная задача определения параметризованногооптимального управления или управления в форме 2, 3.1.3.2. Векторный целевой показательЦелевые свойства ММС характеризуются векторомJ  J  x 0 ,t0 ,T ,q ,x  ,u   ,y    J 1 ,..., J m  ,(1.18)который представляет собой сложную функциональную связь с указаннымивеличинами.

Типичным видом i-й функции выигрыша (потерь) являетсяфункционал на t0  t  TTJ i  u1 ,, u N    i T , x T     Fi  t , x, u1 ,..., u N  dt , i  1,..., m . (1.19)t0Кроме непрерывности (1.19) по (x, u) и дифференцируемости поуправлению, желаемыми свойствами являются вогнутость-квазивогнутость(выпуклость-квазивыпуклость) функционала (1.19) на множестве управлений.При общих свойствах целевого вектора проблема глобальной оптимизацииможет быть преодолена, как отмечалось в п. 1.3.1, на основе двухэтапнойструктуры методов оптимизации с сетевым глобальным анализом и14Воронов Е.М., Карпунин А.А., Репкин А.Л.приближенным решением на первом этапе и точным локальным решением навтором.Несовпадение размерности J с числом объектов означает, что некоторыеобъекты имеют векторную цель.

Размерность показателя будет совпадать счислом объектов в ММС, если показатель каждого объекта скаляризуется.1.3.3.Коалиционная структура действий и интересов ММСПусть P  P  , Pиразмерностью mk– коалиционная структура действий и интересов смножестваMKиндексов коалиций в каждой, гдеM K  1,…, mk  .ТогдаP д   K1 ,..., K m r Ki  K j  0;  Ki  R  1, r  ,(1.20)ijiMKгде r есть, например, размерность множества индексов вектора параметров(после параметризации управлений) или множества индексов управлений (безпараметризации);P и   K1и ,..., K mи m K iи  K иj  0;  K iи  M  1, m  ,(1.21)ijiMKгде m – размерность множества индексов вектора показателей.В свою очередь, каждой Kiд соответствует, например, при полнойпараметризации вектор параметров qi (или вектор ui без параметризации).Каждой Kiи соответствует целевой вектор J Ki  J i : i  K iu .Далее ограничиваемся K iд  K iu .Тогда разбиениеmkP   K1 ,K , K mk : Ki  K j  ;  K j   R, M  ,(1.22)j1где R – множество индексов, например, управлений, М – множество индексоввектора показателей.Показатель каждой коалиции принимает, как правило, один из двух видов:J K  J i1 ,K , J ik ;JK (1.23а) i J i , 0   i  1 ,  i  1 ,iK(1.23б)iпричем сумма индексов ik равна m.Коалиционные управления без параметризации принимают видu K  ui1 ,...,uik , u K  U K   U i ,iK15(1.24)Учебное пособие по выполнению работ по дисциплине ОУММСвыражения (1.11а) преобразуются к видуx&  f t , x, u K1 ,..., u Ki ,..., u Km  , l  M K .к Показатель в варианте (1.23б)T(1.25)J Ki   Ki  x, t    FKi t , x, u K1 ,..., u Km dt ,к(1.26)t0где Ф Ki   i Фi ;iKiFKi  i Fi .iKiВ рамках введенной модели конфликта обозначения в определении 1.1имеют следующие соответствия: множество стратегий X K  множество U K ; множество исходов-состояний S  множество траекторий x(t )  X намножестве ситуацийu  U   U , или отображение Х, U наKKPмножество показателей J  x ,u  ; множествовозможныхx t   Xвозможных траекторий вектораu u Ki  u K1 ,..., u Ki 1 , u Ki , u Ki 1 ,..., u Kmku Ki ,U  U K  ...