Типовые задачи по линейной алгебре, страница 9

Решить системы уравнений2 x1  2 x2  x3  9 ,2)  x1  x23,2 x2  x3  7 x  2 x2  1 ,1)  1 2 x1  x2  2 ;по правилу Крамера. 1 2 . Вычисляем ее опредеРешение. С и с т е м а 1). Составляем матрицу системы  2 1литель  1 2 1 1  2  (2)  5 . Так как определитель отличен от нуля, система урав2 1нений имеет единственное решение. По формулам (5.6), (5.5) находим определители i инеизвестные xi ( i  1, 2 ):1 1 21 134 1 1  2  2  3 , x1  0,6 ;  2  1  2  1  (2)  4 , x2   0,8 .2 12 255Сделаем проверку. Подставляя найденные значения x1  0,6 и x2  0,8 неизвестных в уравнения системы, получаем  0,6  2  0,8  1 , 2  (0,6)  0,8  2 .Оба равенства верные. Значит, система 1) решена правильно.47 2 2 1С и с т е м а 2).

Составляем матрицу системы  1 1 0  . Вычисляем ее определитель 0 2 12 2 1  1 1 0  2  2  2  2 . Определитель отличен от нуля, следовательно, система имеет0 2 1единственное решение. По формулам (5.6), (5.5) находим определители i и неизвестные xi( i  1, 2, 3 ):9 2 11  3 1 0  9  6  7  6  2 ,7 2 1x1 2 1;22 9 12  1 3 0  6  7  9  4 ,0 7 1x2 4 2;2x3 6 3.22 2 93  1 1 3  14  18  12  14  6 ,0 2 7 2 1  2  2  1  3  9 ,Сделаем проверку:  1  1  1  2  3,Все равенства верные. Значит, система 2) решена 2  2  1 3  7.правильно.Ответ: 1) x1   0,6 , x2  0,8 ; 2) x1  1 , x2  2 , x1  3 .Пример 15.

Решить неоднородную систему уравнений 2 x1  6 x2  5 x3  x4  1, 5 x1  15 x2  13 x3  x4  10, x  3 x  2 x  4 x  7234 1методом Гаусса:а) получить формулы общего решения, выразив базисные переменные через свободные;б) найти частное решение;в) записать формулы общего решения соответствующей однородной системы уравнений, используя фундаментальную систему решений;г) записать общее решение неоднородной системы уравнений при помощи фундаментальной системы решений соответствующей однородной системы.48Решение.

Выполняем п. а) з а д а н и я , применяя метод Гаусса.1. Составим расширенную матрицу системы:1 2 6 5 1( A b)   5 15 13  1 10  .1 3 2 4  72. Используя элементарные преобразования над строками матрицы ( A b) , приводим еек ступенчатому виду. Выбираем в качестве ведущего элемент a31  1  0 (выделен полужирным шрифтом). Меняем местами первую и третью строки:1  1 3 2 4  72 6 5 1 ( A b)   5 15 13  1 10  ~  5 15 13  1 10  .1 3 2 4  7 2 6 5 11  В полученной матрице ведущим элементом стал элемент a11  1  0 , а ведущей строкой сталапервая.

Ко второй строке прибавляем первую (т.е. ведущую строку), умноженную на (  5 ); ктретьей – первую, умноженную на (  2 ):4 71 3 2 4  7 1 3 2 ( A b) ~  5 15 13  1 10  ~  0 0 3  21 45  .2 6 5 11   0 0 1  7 15 Исключаем из рассмотрения первый столбец и первую строку. Во втором столбце после исключения первой строки нет ведущего элемента (все элементы нулевые).

Ищем ненулевойэлемент в третьем столбце, за исключением элемента a13 из первой строки. Выбираем в качестве ведущего элемент a33  1  0 . Меняем местами вторую и третью строки:4 7 1 3 24 71 3 2 ( A b) ~  0 0 3  21 45  ~  0 0 1  7 15  . 0 0 1  7 15   0 0 3  21 45  К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на (  3 ):4 7 1 3 2 4  71 3 2 ~ ~( A b) ~  0 0 1  7 15  ~  0 0 1  7 15   ( A b ) . 0 0 3  21 45   0 0 0 00  Исключаем из рассмотрения вторую строку. Так как третья строка нулевая (нет ведущегоэлемента) делаем вывод, что расширенная матрица приведена к ступенчатому виду.3.

Определяем ранги матриц по количеству ненулевых строк: rg A  rg A b   2 . Согласно теореме Кронекера–Капелли, система совместна.49~ ~4. Приводим матрицу ( A b ) к упрощенному виду. Удаляем нулевую строку. К первойстроке прибавляем вторую, умноженную на (  2 ): 1 3 2 4  7   1 3 0 18  37  ~   ( A b) . 0 0 1  7 15   0 0 1  7 15 5. Так как ранг матрицы системы меньше числа неизвестных ( rg A  n ), то система имеет бесконечно много решений, задаваемых формулой (5.10). Переменные x1 , x3 – базисные,а x2 , x4 – свободные. Записываем общее решение неоднородной системы, выражая базисные переменные через свободные: x1  37  3x2  18 x4 ,x3  15  7 x4 ,(5.19)где x2 , x4   .Выполняем п. б) з а д а н и я , подставляя нулевые значения свободных переменныхx2  0 , x4  0 в (5.19).

Вычисляем значения базисных переменных x1  37 , x3  15 . Следо-вательно, столбец x н   37 0 15 0T – частное решение системы.Выполняем п. в) з а д а н и я , применяя алгоритм решения однородной системы. Первые5 пунктов метода Гаусса приведены в п. а). Ранг r  2 матрицы системы меньше числа неизвестных n  4 . Поэтому однородная система имеет бесконечно много решений. Находим этомножество решений.6. Записываем формулы (5.12) общего решения соответствующей однородной системы.Отбрасывая свободные члены в (5.19), получаем x1  3x2  18 x4 ,x3  7 x4 ,(5.20)где x2 , x4   .

Так как n  4 и r  rg A  2 , то надо подобрать n  r  2 линейно независимых решения 1 , 2 . Эти решения удобно получать, заполняя таблицу. Обозначения всехнеизвестных x1 ,…, x4 записываем во втором столбцеПеременныеxi12БПx1–3–18СПx210– базисные переменные, СП – свободные. Правее вто-БПx307рого столбца будем записывать фундаментальную сис-СПx401таблицы.

Слева от него (в первом столбце) указываемназвания переменных в формулах общего решения: БПтему решений. Сначала записываем стандартные наборы значений свободных переменных. В столбце 1 пи50шем значения x2  1 , x4  0 , а в столбце 2 – x2  0 , x4  1 (выделены в таблице полужирным шрифтом). Затем по формулам (5.20) вычисляем и заносим в таблицу соответствующиезначения базисных переменных. Для x2  1 , x4  0 по формулам (5.20) получаем x1  3 ,x3  0 . Этими значениями заполняем столбец 1 .

Для x2  0 , x4  1 вычисляем x1  18 ,x3  7 и записываем в столбец 2 . В результате получили фундаментальную систему реше-ний 1 , 2 , а также фундаментальную матрицу  :  3  18   1  0 1    , 2  ,07   0  1    3  18 0  1.07  01(5.21)7. Записываем формулы (5.13) общего решения однородной системы  3  18   1  0 x  C11  C22  C1    C2 ,07   0  1  где С1 , С2 – произвольные постоянные. Ответ можно записать в виде (5.14):  3  18 0   С1  1 ,x07   С2  01 где С1 , С2 – произвольные постоянные.Выполняем п.

г) з а д а н и я , применяя алгоритм решения неоднородной системы уравнений. Первые 5 пунктов метода Гаусса приведены в п. а).6. Частное решение x н   37 0 15 0T неоднородной системы было найдено в п. б).7. Фундаментальная система решений и фундаментальная матрица (5.21) соответствующей однородной системы найдены в п. в).8. Записываем общее решение неоднородной системы по формуле (5.15):  37   3  18   0  1  0 нx  x  C11  C22   C1    C2 ,15 07   0  0  1  где С1 , С2 – произвольные постоянные. Ответ можно записать в виде (5.16):51  37    3  18  0   С1  0   1 ,x15   07   С2   0   01 где С1 , С2 – произвольные постоянные. x  37  3x2  18 x4 ,Ответ: а)  1где x2 , x4   ;x3  15  7 x4 ,  3  18   1  0 Tб)  37 0 15 0 ; в) x  C1    C2 ; где С1 , С2 – произвольные постоянные;07   0  1    37   3  18   0  1  0 г) x   C1    C2 , где С1 , С2 – произвольные постоянные.15 07   0  0  1  Пример 16.

Решить систему уравнений 2 x1  6 x2  5 x3  x4  1, 5 x1  15 x2  13 x3  x4  10, x  3 x  2 x  4 x  7234 1при помощи элементарных преобразующих матриц.2 6 5 1 Решение. 1. Для матрицы системы A   5 15 13  1 при решении примера 6 были1 3 2 4 найдены простейший вид   S AT , элементарные преобразующие матрицы S и T , а такжеранг r  rg A :1 0 0 0   0 1 0 0 , 0 0 0 0 0 0 1 S   1 0  2 , 3 1 1  1  2  3  18 10 0 0T , r  2.0 107 0 0012. Проверяем условие совместности. Так как r  2  3  m , то составляем матрицу  OEm r S , выделяя последнюю строку матрицы S : 0 0 1   0 0 1  1 0  2    3 1 1 . 3 1 1 52Записываем условие  b  o : 1   3 1 1  10   0 . Условие выполняется, значит, система 7 совместна.3.

Находим частное решение неоднородной системы:Ex н  T T S b  T  rO1  20 00 10 0 1  2  3  18   1 0O10  0 10 0S b  O 0 107  0 00 001   0 00 2 0 0 1   1     00 1 0  2   10   0 1   3 1 1    7  0 00 0 0 1  1  0102  10  0  3 1 1    7 0  0 5   37  1  0 0    0 . 10  0  2     15  7 0 0     0  O  , составляя ее из последних4. Записываем фундаментальную матрицу   T E n r n  r  4  2  2 столбцов матрицы T : 1  2  3  18   0 0    3  18   O  0 010  0 0  10   T 1 0   0. 0 1E077 nr   0 001   0 1   01 Столбцы этой матрицы образуют фундаментальную систему решений однородной системы.5.

Записываем общее решение системы:  37   37    3  18   37   18  0   С1   0 0 0  0   1н x  x  c   С1  С2 ,15   07   С2   15 15 7   0 1  0   0 0  1 где С1 , С2 – произвольные постоянные. Результат совпадает с решением примера 15.  37   37   18  0  0  0 Ответ: x   С1  С2 , где С1 , С2 – произвольные постоянные.15 15 7  0 01Пример 17.

Для системы столбцов210  24       1 27 3 1A0    , A1    , A2    , A3    , A4   10111       11 4 2 0     53составить:а) линейную однородную систему с минимальным количеством уравнений, решениямикоторой были бы все линейные комбинации столбцов A1 , A2 , A3 , A4 и только они;б) линейную неоднородную систему с минимальным количеством уравнений, решениями которой были бы все аффинные комбинации столбцов A0 , A1 , A2 и только они.Решение. Выполняем п. а) з а д а н и я , применяя алгоритм составления однородной системы с заданным множеством решений.1. Составляем из заданных столбцов матрицу A  A1  A5  , а затем – блочную матрицу12( A E)  010 2 47 311 1 14 2010000100001000.01 2. При помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками матрицы( A E ) , приводим ее левый блок A к ступенчатому виду.