Типовые задачи по линейной алгебре

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ КОМПЛЕКСЫКАФЕДРЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КИБЕРНЕТИКИА.С. БОРТАКОВСКИЙ, Е.А. ПЕГАЧКОВАТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕЧасть 1Печатается по рекомендации Редакционного совета факультета«Прикладная математика и физика» Московского авиационного института(национального исследовательского университета)Москва2013ББК 517УДК 51Б 82Бортаковский А.С., Пегачкова Е.А.Типовые задачи по линейной алгебре. Часть 1. (Серия «Учебно-методические комплексы кафедры математической кибернетики»): Учебное пособие.

— М.: Доброе слово, 2013. — 92 с.ISBN 978-5-89796-465-3Пособие предназначено для проведения самостоятельной работы студентов по курсу линейнойалгебры в первом семестре. Приведены основные теоретические сведения и методы решения типовых задач по 7 разделам линейной алгебры: матрицы и действия над ними, определители, ранг матрицы, обратная матрица, системы линейных алгебраических уравнений, собственные значенияи собственные векторы матрицы, квадратичные формы. Составлены варианты типовых задач,письменное решение которых проверяется преподавателем. Подробное решение аналогичных задачприводится в каждом разделе.

Эти примеры помогают студентам выработать навыки и умениярешения типовых задач. Степень обоснованности и объем пояснений в приводимых примерах должны воспроизводиться студентами при самостоятельном решении задач.© Бортаковский А.С., Пегачкова Е.А., 2013© Издательство «Доброе слово», 2013ОГЛАВЛЕНИЕПредисловие ....................................................................................................................................... 4Правила оформления решений .........................................................................................................

51. Матрицы и действия над ними .................................................................................................... 62. Определители............................................................................................................................... 193. Ранг матрицы ............................................................................................................................... 244. Обратная матрица........................................................................................................................ 325.

Системы линейных алгебраических уравнений....................................................................... 386. Собственные векторы и собственные значения матриц.......................................................... 577. Квадратичные формы .................................................................................................................

668. Варианты типовых задач ............................................................................................................ 75Литература ........................................................................................................................................ 913ПРЕДИСЛОВИЕСамостоятельная работа студентов (СРС) является важной составляющей учебного процесса, которой отводится значительный объем в государственных стандартах подготовки бакалавров.

Самостоятельная работа позволяет студентам закрепить навыки и умения, приобретенные на аудиторных занятиях (лекциях, семинарах, лабораторных работах), проверитьправильность понимания теоретических сведений, научиться решать основные типовые задачи. Проверка СРС вместе с тестами и контрольными работами дает информацию об успеваемости студентов в течение семестра и служит для текущей аттестации. Большое значениеСРС имеет для подготовки к экзамену или зачету.

Она учитывается также в итоговой аттестации при рейтинговой системе оценивания.Пособие дополняет книги [1-4], образуя вместе с ними единый методический комплекспо линейной алгебре в первом семестре. Основную часть пособия составляют 20 вариантов,содержащих типовые задачи по линейной алгебре. Каждый студент выполняет один вариантзадания (номер варианта определяется порядковым номером фамилии студента в спискегруппы).

Вариант содержит 20 задач по 7 разделам линейной алгебры [1-11]: матрицы и действия над ними, определители, ранг матрицы, обратная матрица, системы линейных алгебраических уравнений, собственные векторы и собственные значения матриц, квадратичныеформы.Умение решать типовые задачи, как правило, достаточно для получения удовлетворительной итоговой оценки. В течение семестра на каждом практическом занятии преподаватель указывает номера задач, письменное решение которых, соответственно оформленное,студенты должны сдать на проверку на следующем занятии. После проверки студентам сообщаются оценки и обсуждаются допущенные в решениях характерные ошибки.Пособие состоит из 7 тематических разделов и вариантов заданий, собранных в разд.8.В конце пособия приводится список рекомендуемой литературы для практической подготовки.

В каждом тематическом разделе содержатся необходимые теоретические сведения, описываются методы и алгоритмы решения типовых задач. Приводятся примеры решения задач,аналогичных задачам из вариантов для СРС, причем нумерации и формулировки разбираемых примеров и задач для СРС совпадают. Эти примеры помогают студентам выработатьнавыки и умения решения типовых задач. Степень обоснованности действий, подробностьалгебраических преобразований и объем пояснений в приводимых примерах должны воспроизводиться студентами при самостоятельном решении.4ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ1.

Решение каждой задачи должно быть написано аккуратно, разборчивым почерком,чернилами или пастой синего (или черного) цвета на листах белой бумаги (либо в клеточку)формата А4. Текст следует писать на одной стороне листа, оставляя левое поле не менее 2см. Листы должны быть скреплены с левой стороны степлером.2. На каждом листе работы указываются фамилия и инициалы студента, выполнившегоработу, номер учебной группы, номер варианта, дата сдачи.3. Перед решением каждой задачи ставится ее порядковый номер, который необходимовыделить (подчеркиванием или маркером), и полностью приводится условие задачи.4.

Математические выкладки необходимо сопровождать пояснениями, раскрывающимисмысл и содержание выполняемых действий. Все вычисления проводятся точно, без округления результата. В конце решения приводится ответ. Слово "Ответ" следует выделить(подчеркиванием или маркером).5.

Решение задачи с измененным условием или задачи из другого варианта не засчитывается. Отсутствие обоснования решения или пояснений приводит к снижению оценки.Оценка также снижается за небрежное оформление работы.51. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИМатрицей размеров m  n называется совокупность m  n чисел, расположенных в видепрямоугольной таблицы из m строк и n столбцов: a11aA   21a m1a12a22am 2a1n a2 n или A  (aij ) , i  1,..., m ; j  1,..., n . amn .........Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы: aij – ее элемент, стоящий на пересечении i -й строки и j -го столбца.

Далее предполагается, что элементы матрицявляются действительными числами.Две матрицы A и B называются равными ( A  B ), если они имеют одинаковые размеры ( m  n ) и равные соответствующие элементы:aij  bij , i  1,..., m ;j  1,..., n .Если у матрицы количество строк ( m ) равно количеству столбцов ( n ), то матрицу называют квадратной ( n -го порядка). Элементы a11 , a22 ,…, ann образуют главную диагональквадратной матрицы. Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие вне главнойдиагонали, равны нулю, называется диагональной и обозначается diag (a11, a22 ,..., ann ) .

Частным случаем диагональной матрицы служит квадратная матрица10E 0010.........00,1 которая называется единичной ( n -го порядка) и обозначается E (или En ). Если все элементы квадратной матрицы, расположенные ниже (выше) главной диагонали, равны нулю, томатрицу называют верхней треугольной (нижней треугольной). Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.Пусть A  (aij ) и B  (bij ) – матрицы одинаковых размеров m  n . Матрица C  (cij ) техже размеров m  n называется суммой матриц A и B , если ее элементы равны сумме соответствующих элементов матриц A и B : cij  aij  bij , i  1,..., m ; j  1,..., n . Сумма матрицобозначается C  A  B .Произведением матрицы A  (aij ) на число  называется матрица C  (cij ) тех жеразмеров, что и матрица A , каждый элемент которой равен произведению числа  на соот6ветствующий элемент матрицы A : cij   aij ,i  1,  , m ;j  1,  , n .