Типовые задачи по линейной алгебре, страница 4

ОПРЕДЕЛИТЕЛИПусть A – квадратная матрица порядка n . Определитель (детерминант) квадратнойматрицы A – это число det A , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ееэлементам согласно следующим правилам.1. Определителем матрицы A  a11  порядка n  1 называется единственный элементэтой матрицы: det a11   a11 . a11  a1n 2. Определителем матрицы A       порядка n  1 называется числоa n1  ann det A   111 a11M11   11 2 a12 M12     11 n a1n M1n ,(2.1)где M1 j – определитель квадратной матрицы порядка n  1 , полученной из A вычеркиванием первой строки и j -го столбца.Определитель матрицы обозначают, заключая матрицу в «прямые» скобки:a11  a1ndet A  A     .an1  annИмея в виду это обозначение, для краткости говорят о порядке определителя, строках илистолбцах определителя, элементах определителя, опуская при этом слово «матрица».По определению получаем формулу вычисления определителя второго порядкаa11 a12 a11a22  a12 a21 .a21 a22Определитель второго порядка равен разности произведения элементов,стоящих на главной диагонали, и произведения элементов, стоящих на по-(2.2)a11 a12a 21 a22Рис.

2.1бочной диагонали (см. схему на рис. 2.1).По определению, учитывая (2.2), получаем формулу вычисления определителятретьего порядкаa11a12a21 a22a31 a32a13aa23  a11  22a32a33a23aaaa a12  21 23  a13  21 22 a33a31 a33a31 a32 a11 a22 a33  a12 a23 a31  a13 a21 a32  a13 a22 a31  a12 a21 a33  a11 a23 a32 .19(2.3)Определитель (2.3) представляет собой сумму шести слагаемых, каждое из которых естьпроизведение трех элементов определителя, стоящих в разных строках и разных столбцах.Причем три слагаемых берутся со знаком плюс, а три других – со знаком минус.Для запоминания формулы (2.3) используетсяправило треугольников: надо сложить три произведения трех элементов, стоящих на главной диагонали иa11a12a13a11a12a13a21 a22a31 a32a23a33a21 a22a31 a32a23в вершинах двух треугольников, имеющих сторону,параллельную главной диагонали (рис.

2.2, а), и вы-аРис. 2.2a33бчесть три произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах двух треугольников, имеющих сторону, параллельную побочной диагонали (рис. 2.2, б).Формула разложения определителя по элементам строки (столбца)Пусть дана квадратная матрица A порядка n . Дополнительным минором M ij элемента aij называется определитель матрицы порядка n  1 , полученной из матрицы A вычеркиванием i -й строки и j -го столбца.

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицыA называется дополнительный минор M ij этого элемента, умноженный на 1i j :Aij   1i  j M ij .Теорема (формула разложения определителя по элементам строки (столбца)). Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов произвольной строки (столбца)на их алгебраические дополнения:ndet A   1i  k aik M iknk 1ndet A (разложение по i -й строке);k 1k j  1k 1 aik Aiknakj M kj  akj Akj(разложение по j -му столбцу).k 1Определитель треугольного вида (определитель верхней или нижней треугольной матрицы, в частности, диагональной) равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:a11 a120 a22n 00 a1na11 0 a2naa 21 22  annan1 an 2 0a11 0 00 a22  ann0020 0 0 a11 a22 ...

ann .  annОсновные свойства определителей1. Для любой квадратной матрицы det A  det( AT ) , т.е. при транспонировании определитель не изменяется. Из этого свойства следует, что столбцы и строки определителя "равноправны": любое свойство, верное для столбцов, будет верным для строк.2. Если в определителе один из столбцов нулевой (все элементы столбца равны нулю),то определитель равен нулю.3. При перестановке двух столбцов определитель меняет знак на противоположный.4.

Если в определителе имеются два одинаковых столбца, то он равен нулю.5. Если определитель имеет два пропорциональных столбца, то он равен нулю.6. При умножении всех элементов одного столбца определителя на число определительумножается на это число.7. Если j -й столбец определителя представляется в виде суммы двух столбцов a j  b j ,то определитель равен сумме двух определителей, у которых j -ми столбцами являются a jи b j соответственно, а остальные столбцы одинаковы.8.

Определитель линеен по любому столбцу.9. Определитель не изменится, если к элементам одного столбца прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на одно и то же число.10. Сумма произведений элементов какого-либо столбца определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца равна нулю:n aki  Akj  0при i  j .k 1Теорема (об определителе произведения матриц). Пусть A и B – квадратные матрицы одного и того же порядка. Тогдаdet AB  det A  det B ,(2.4)т.е. определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей.Элементарные преобразования определителейI. Перестановка двух столбцов (строк) определителя приводит к изменению его знака напротивоположный.II.

Умножение всех элементов одного столбца (строки) определителя на одно и то жечисло, отличное от нуля, приводит к умножению определителя на это число.III. Прибавление к элементам одного столбца (строки) определителя соответствующихэлементов другого столбца, умноженных на одно и то же число, не изменяет определитель.21При помощи элементарных преобразований можно упростить определитель, т.е. привести его к виду, удобному для вычислений.Метод приведения определителя к треугольному виду1. При помощи элементарных преобразований привести определитель к треугольномувиду.2.

Вычислить определитель треугольного вида, перемножая его элементы, стоящие наглавной диагонали.Метод понижения порядка определителя1. При помощи элементарного преобразования III типа нужно в одном столбце (или одной строке) сделать равными нулю все элементы, за исключением одного.2. Разложить определитель по этому столбцу (строке) и получить определитель меньшего порядка, чем исходный. Если его порядок больше 1, то следует перейти к п. 1, иначе вычисления закончить.1 21 3 , B   .Пример 7. Вычислить определитель произведения матриц A  3 45 7Решение. Вычисляем определители каждой матрицы по формуле (2.2)det A 1 2 1  4  2  3  2 ,3 4det B 1 3 1  7  3  5  8 .5 7Согласно (2.4) находим определитель произведения матрицОтвет: 16.det AB  det A  det B  (2)(8)  16 .Пример 8.

Найти определители третьего порядка1A21345 27 ,61B   sin cos  sin  cos 4334.Решение. Каждый определитель вычисляем по формуле (2.3)1det A 2345 217  1  4  6  2  7  (5)  (1)  3  (2)  (1)  4  (5)  2  3  6  1  7  (2) 6 24  70  6  20  36  14  82 ;1det B   sin cos  sin  cos 4334 1  4  4  ( sin )  3  cos   ( sin )  (3)  cos   cos   4  cos   ( sin )  ( sin )  4  1  (3)  3  16  4 cos 2   4 sin 2   9  25  4  21 .Ответ: det A  82 ; det B  21 .22Пример 9. Применяя элементарные преобразования, вычислить определитель четвертого порядка11231234234134.11Решение. Вычисляем определитель, понижая его порядок.

Взяв элемент a11  1 в качестве ведущего (выделен полужирным шрифтом), все остальные элементы первого столбца сделаем равными нулю. Для этого ко второй строке прибавим первую, умноженную на (  1 ), ктретьей строке – первую, умноженную на (  2 ), а к четвертой строке – первую, умноженнуюна (  3 ):12341123234131 1 2340 1 11.10 1 0 510 1 5 8Разложим определитель по первому столбцу:10001 231 111 111 1111 (1)  1  1 0  5  1 0  5 .1 0 51 5 81 5 81 5 8В полученном определителе третьего порядка выбираем ведущий элемент a21  1 . Сделаемравным нулю элемент a23  5 .

Для этого прибавим к третьему столбцу первый, умноженный на 5:1111161 0 5  1 00 .1 5 81 5 3Разложим определитель по второй строке:11616161 00  (1) 2 1  1 .5 35 31 5 3Полученный определитель второго порядка вычисляем по формуле (2.2):16  (1  (3)  6  (5))  3  30  27 .5 3Ответ:  27 .233.

РАНГ МАТРИЦЫСтолбец A называется линейной комбинацией столбцов A1 , A2 ,…, Ak одинаковых размеров, еслиA  1 A1   2 A2  ...   k Ak ,где 1 ,  2 ,…,  k – некоторые числа. В этом случае говорят, что столбец A разложен постолбцам A1 , A2 ,…, Ak , а числа 1 ,  2 ,…,  k называют коэффициентами разложения.Аналогично формулируется определение линейной комбинации строк одинаковых размеров.Линейная комбинация A  0  A1   0  A2  ...

 0  Ak с нулевыми коэффициентами называется тривиальной. Набор столбцов A1 , A2 ,…, Ak одинаковых размеров называется системой столбцов. Любая часть системы столбцов называется подсистемой.Система из k столбцов A1 , A2 ,…, Ak называется линейно зависимой, если существуюттакие числа 1,  2 ,...,  k , не все равные нулю одновременно, что1 A1   2 A2  ...   k Ak  o .(3.1)Здесь и далее символом o обозначается нулевой столбец соответствующих размеров.Система из k столбцов A1 , A2 ,…, Ak называется линейно независимой, если равенство(3.1) возможно только при 1   2  ...