Типовые задачи по линейной алгебре, страница 12

Определитель этой матрицы называется дискриминантом, а ее ранг – рангом квадратичной формы. Квадратичная форма называется вырожденной, если ее матрица вырожденная ( rg A  n ), в противном случае, когдаматрица невырожденная ( rg A  n ), квадратичная форма называется невырожденной.Составляя из переменных матрицу-столбец x  ( x1  xn )T , квадратичную формуможно записать в матричном видеq ( x)  xT A x .(7.3)Чтобы получить матрицу A квадратичной формы (7.1), нужно:1) записать ее в виде (7.2) с приведенными подобными членами;2) на главной диагонали матрицы поставить коэффициенты при квадратах переменных;3) элементы, симметричные главной диагонали, взять равными половине соответствующих коэффициентов у произведений разных переменных;4) коэффициенты у отсутствующих членов считать равными нулю.Преобразование квадратичной формы при линейной замене переменныхРассмотрим, как меняются коэффициенты квадратичной формы при линейной заменепеременных.

Пусть переменные x1 ,…, xn (условно называемые старыми) заменяются напеременные y1 ,…, yn (условно называемые новыми) по формулам66 x1  s11 y1  ...  s1n yn , x  s y  ...  s y ,n1 1nn n n(7.6)где sij – некоторые числа ( i  1,..., n , j  1,..., n ), а выражения вида si1 y1  ...  sin yn , i  1,..., n ,– линейные формы [4]. Такая замена переменных называется линейной. Составим из коэффициентов sij в (7.6) квадратную матрицу линейной замены переменных S  ( sij ) .

Тогдаформулы (7.6) можно записать в видеx  Sy .(7.7)Линейная замена (7.7) называется невырожденной, если определитель матрицы S отличенот нуля.Приведем формулу изменения матрицы квадратичной формы (7.3) при линейной невырожденной замене переменных. Подставляя (7.7) в (7.3), получаемq Sy   Sy T ASy  yT S T A Sy  yT Ay ,т.е.

квадратичную форму q~( y )  yT Ay , матрица которой связана с матрицей заданной квадратичной формы равенствомA  S T  A  S .(7.8)Свойства линейных невырожденных замен переменных1. Если x  Sy – линейная невырожденная замена переменных, то обратная заменаy  S 1x , выражающая новые переменные ( y1 ,…, yn ) через старые ( x1 ,…, xn ), являетсятакже линейной и невырожденной.2. Если x  Sy и y  Tz – линейные невырожденные замены переменных, то заменаx  STz является также линейной и невырожденной.3.

Линейная невырожденная замена переменных не изменяет ранга квадратичной формы.Канонический вид квадратичной формыГоворят, что квадратичная форма имеет канонический вид, если ее матрица диагональная, другими словами, в квадратичной форме имеются только члены с квадратами переменных, а все попарные произведения различных переменных отсутствуют (соответствующиекоэффициенты равны нулю):q~( y )  1 y12   2 y22  ...   n yn2  yT y ,67(7.9)где   diag (1,  2 ,...,  n ) – диагональная матрица, для которой условие симметричностиматрицы квадратичной формы, разумеется, выполняется.

Ранг квадратичной формы равенколичеству отличных от нуля коэффициентов 1 ,  2 ,…,  n в ее каноническом виде.Количество положительных (отрицательных) коэффициентов в каноническом виде (7.9)называется положительным (отрицательным) индексом квадратичной формы, а разностьположительного и отрицательного индексов – сигнатурой квадратичной формы.Задача приведения квадратичной формы к каноническому виду формулируется следующим образом. Для данной квадратичной формы (7.1) требуется найти такую линейную невырожденную замену переменных (7.6), при которой квадратичная форма принимает канонический вид (7.9).Теорема (о приведении квадратичной формы к каноническому виду). Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду при помощи некоторой линейной невырожденной замены переменных.Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому видуДля приведения квадратичной формы n переменныхq( x)  a11x12  2a12 x1x2  ...

 2a1n x1xn  a22 x22  2a23 x2 x3  ...  ann xn2к каноническому виду нужно выполнить следующие действия.1. Выбрать такую переменную (ведущую), которая входит в квадратичную форму вовторой и в первой степенях одновременно (если в квадратичной форме есть член с квадратомпеременной и с произведением этой переменной на другую переменную), и перейти к п. 2.Если в квадратичной форме нет ведущих переменных, то выбрать пару переменных,произведение которых входит в квадратичную форму с отличным от нуля коэффициентом, иперейти к п.3.Если в квадратичной форме отсутствуют произведения различных переменных, то никаких преобразований делать не надо, так как она уже имеет канонический вид.2.

По ведущей переменной выделить полный квадрат: собрать в квадратичной форме всечлены с ведущей переменной, дополнить сумму этих членов до полного квадрата (разумеется, добавленные члены нужно также и вычесть, чтобы не изменилась сумма). Получим сумму полного квадрата некоторой линейной формы (в которую входит ведущая переменная) иквадратичной формы, в которую ведущая переменная не входит. Сделать замену переменных: линейную форму, содержащую ведущую переменную, принять за одну из новых переменных, а все старые переменные, за исключением ведущей, принять за соответствующиеновые.

Продолжить преобразования с п. 1.683. Выбранную пару переменных заменить на разность и сумму двух новых переменных,а остальные старые переменные принять за соответствующие новые переменные. При этомпроизведение пары выбранных переменных преобразуется к разности квадратов двух новыхпеременных, т.е. в новой квадратичной форме q~( y ) будут квадраты переменных с отличными от нуля коэффициентами. Продолжить преобразования новой квадратичной формы с п.1.Выполняя п.2, 3 алгоритма, можно определить матрицы используемых замен переменных. В результате их перемножения (в порядке нахождения) получается матрица искомойзамены (согласно свойству 2 линейных невырожденных замен переменных).Заметим, что канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно, таккак зависит от последовательности выбора ведущих переменных.Рассмотрим еще один метод приведения квадратичной формы к каноническому виду,который учитывает особенности преобразования (7.8) матрицы квадратичной формы при линейной замене переменных.Угловыми минорами квадратной матрицы A ( n -го порядка) называются следующиеминоры:aa...k12...n1  M11  a11 ,  2  M11 22  11 12 ,…,  k  M11 22...k ,…,  n  M 12...n  det A ,a21 a22...kгде угловой минор  k  M11 22...k k -го порядка составлен из эле-ментов матрицы A , стоящих на пересечении первых k строк ипервых k столбцов матрицы A (рис.7.1). a11 a12  a1n  a21 a22  a2n     aaan1n2nnРис.7.1Теорема Якоби (о каноническом виде квадратичной формы).

Если квадратичнаяnформа q( x) n aij xi x j  xT Ax имеет ранг r  rg A и ее угловые миноры отличны от нуi 1 j 1ля:aa...r1  a11  0 ,  2  11 12  0 ,…,  r  M11 22...r 0,a21 a22(7.10)то ее можно привести к каноническому видуq~ ( y )  1 y12 02 2y2  ...  r yr2 , где  0  1 ,1 r 1(7.11)при помощи линейной замены переменных x  Sy с верхней треугольной матрицей S вида:69 1 s120 1S  0 0 s1n  s2 n .   1 Метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому видуПри выполнении условий теоремы Якоби для нахождения канонического вида и соответствующей матрицы S линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму кканоническому виду, нужно выполнить следующие действия.1.

Составить блочную матрицу ( A E ) , приписав к матрице A квадратичной формыединичную матрицу тех же размеров.2. Привести левый блок A к ступенчатому виду A при помощи элементарных преобразований III типа строк блочной матрицы ( A E ) . В результате получить блочную матрицу( A | S T ) , где S – искомая матрица замены переменных.

Элементы главной диагонали матрицы A равны коэффициентам в квадратичной форме (7.9): ,  2  a22 ,…,  r  arr .1  a11Если надо найти только канонический вид квадратичной формы, а соответствующуюзамену переменных искать не требуется, то достаточно вычислить угловые миноры матрицыквадратичной формы и при выполнении условий (7.10) записать ее канонический вид (7.11).Закон инерции квадратичных форм. Ранг, положительный и отрицательный индексы, а также сигнатура вещественной квадратичной формы не зависят от действительнойневырожденной линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду.Знакоопределенность квадратичных формВещественная квадратичная форма q ( x)  xT Ax называется положительно (отрицательно) определенной, если q ( x)  0 ( q ( x)  0 ) для любых x  o .