Типовые задачи по линейной алгебре, страница 11

Если матрица A имеет n линейно независимых собственных векторов s1 ,…, sn , тоона может быть приведена к диагональному виду при помощи преобразования подобия(в этом случае перейти к п.6), иначе задача не имеет решения.6.Изсобственныхвекторовs1 ,…, snсоставитьпреобразующуюматрицуS  ( s1  sn ) , а по собственным значениям 1 ,…,  n матрицы A составить матрицу  diag (1,  2 ,...,  n ) – диагональный вид матрицы A .Пример 18. Найти собственные значения и соответствующие собственные векторы матриц1  2 5  4 3 1  5 , B   , C   6A  4  4 .  12 8 4 5  3 1 4 Можно ли при помощи преобразования подобия привести каждую из заданных матрицк диагональному виду? Если можно, то указать диагональный вид и соответствующую преобразующую матрицу.Решение.

М а т р и ц а A . 1. Составляем характеристический многочлен матрицы A   43  4    8     36  2  4  32  36  2  4  4  (  2)2 . 12 8  2. Решаем характеристическое уравнение:(  2) 2  01   2  2 (корень двойной).3. Для двойного корня 1   2  2составляем однородную систему уравнений( A  1E ) x  o :3   x1   0  4  2  6 3   x1   0              .  12 8  2   x2   0   12 6   x2   0 Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду:  6 3 0   2 1 0   2 1 0    12 6 0  ~   2 1 0  ~  0 0 0  .  60Ранг матрицы системы равен 1 ( r  1 ), число неизвестных n  2 , следовательно, фундаментальная система решений состоит из n  r  1 решения.

Выражаем базисную переменную x2 1через свободную: x2  2x1 . Полагая x1  1 , получаем решение 1    . 24. Записываем собственные векторы, соответствующие собственному значению11   2  2 : s1  C11  C1   , где C1 – отличная от нуля произвольная постоянная. 25. У матрицы нет двух линейно независимых собственных векторов. Все собственныевекторы пропорциональны. Поэтому при помощи преобразования подобия привести матрицук диагональному виду нельзя.М а т р и ц а B . 1. Составляем характеристический многочлен матрицы B    B  E 1   5 (1   )(5   )  20  2  6  25 .452. Решаем характеристическое уравнение:2  6  25  01,2  3  9  25  3  4i (простые сопряженные корни).31 .

Для простого корня 1  3  4i составляем однородную систему уравненийB  1E  x  o :  2  4i  5   x1   0      .2  4i   x2   0  4Уравнения пропорциональны, поскольку определитель матрицы равен нулю. Ранг матрицысистемы равен 1 ( r  1 ), число неизвестных n  2 , следовательно, фундаментальная системарешений состоит из n  r  1 решения.

Поэтому первое уравнение не учитываем, а второе делим на 4 и выражаем базисную переменную x1 через свободную x2 : x1  (0,5  i ) x2 . Пола1  2i  образует фундаментальгая, например, x2  2  0 , получаем x1  1  2i . Столбец 2ную систему решений.41 . Записываем собственные векторы, соответствующие собственному значению1  2i  , где C1 – любое отличное от нуля комплексное число.1  3  4i : s1  C1  2 32 .

Для простого корня  2  3  4i составляем однородную систему уравненийB   2 E  x  o :61  2  4i  5   x1   0      .2  4i   x2   0  4Уравнения пропорциональны, поскольку определитель матрицы равен нулю. Ранг матрицысистемы равен 1 ( r  1 ), число неизвестных n  2 , следовательно, фундаментальная системарешений состоит из n  r  1 решения. Поэтому первое уравнение не учитываем, а второе делим на 4 и выражаем базисную переменную x1 через свободную x2 : x1  (0,5  i ) x2 .

Пола1  2i  образует фундаментальгая, например, x2  2  0 , получаем x1  1  2i . Столбец  2 ную систему решений.4 2 . Записываем собственные векторы, соответствующие собственному значению1  2i  , где С2 – любое отличное от нуля комплексное число. 2  3  4i : s2  C2  2 5. Для собственных значений 1  3  4i и  2  3  4i возьмем соответствующие собственные векторы (полагая C1  1 , C2  1 ):1  2i  ,s1   2 1  2i  .s2   2 Эти столбцы линейно независимы (по свойству 1 собственных векторов).6.

Составляем из собственных векторов преобразующую матрицу1  2i 1  2i ,S  s1 s2    2  2а из собственных значений 1  2i и  2  2i – искомую диагональную матрицу  :0 1  2i.  diag 1  2i, 1  2i   1  2i  0Проверим равенство   S 1 С S , выполняя преобразование подобия:1  2i 1  2i   S 1 С S   2  21 1  5  1  2i 1  2i   2 4 5    20   3  4i0 1   2  1  2i   11  2i 11  2i  i   32  24i     .1  2i    6  8i  6  8i  8 032  24i   03  4i  8i  2Равенство верное.М а т р и ц а С .

1. Составляем характеристический многочлен матрицы625 С (  )  С  E 63124    4  (5   )(4   )2  24  12(4   )  4(5  ) 1 4   3  132  40  36 .2. Решаем характеристическое уравнение: 3  132  40  36  0 .Найдем рациональные корни (если они есть) методом подбора. Подставляя последовательноделители свободного члена в уравнение, находим корень 1  2 . Разделив характеристический многочлен на   2 , получаем многочлен  2  11  18 , который имеет два корня 2  2 и  3  9 . Следовательно, спектр матрицы составляют двойной корень 1   2  2 ипростой корень  3  9 .31 . Для двойного корня 1   2  2 составляем однородную систему B  1E  x  o .Решаем ее методом Гаусса, преобразуя расширенную матрицу системы1  2 0  3 1  2 0 3 (C  2 E o)   62  2 0 ~  0 0 0 0 .  3 1 2 0  0 0 0 0 Ранг матрицы системы равен единице ( r  1 ), следовательно, фундаментальная система решений состоит из двух решений ( n  r  2 ).

Базисную переменную x2 выражаем через свободные: x2  3 x1  2 x3 . Задавая стандартные наборы свободных переменных x1  1 , x3  0 иx1  0 , x3  1 , получаем два решения 1  1    3  , 0  0 2   2  .1 41 . Записываем множество собственных векторов, соответствующих собственному зна- 1  0  чению 1   2  2 : s  C11  C22  C1   3   C2  2  , где C1 , С2 – произвольные постоян 0 1  ные, не равные нулю одновременно.32 .Для простогокорня3  9составляем однороднуюсистему уравненийB  3E  x  o .

Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду (ведущие элементы выделены полужирным шрифтом):63  4 1  2 0   4 1  2 0 B  9 E o    6  5  4 0  ~   14 0  14 0  ~  3 1  5 0   7 0  7 0   4 1  2 0   4 1  2 0 0 1 2 0  ~  1 0 1 0 ~  1 0 1 0 ~ 1 0 1 0 .  7 0  7 0  0 0 0 0 0 0 0 0  Ранг матрицы системы равен 2 ( r  2 ), число неизвестных n  3 , следовательно, фундаментальная система решений состоит из n  r  1 решения. Выражаем базисные переменные x1 ,x2 через свободную x3 : x1   x3 , x2  2 x3 ,1 и, полагая, например, x3  1 , получаем решение 3   2  .  1 4 2 .

Записываем множество собственных векторов, соответствующих собственному зна-1 чению 3  9 : s  C33  C3  2  , где C3 – отличная от нуля произвольная постоянная.  1 5. Согласно свойству 3 максимальную линейно независимую систему собственных векторов составляют полученные фундаментальные системы решений 1  s1    3  , 0   0 s2   2  ,1 1 s3   2  .  1 Для матрицы C третьего порядка найдено три линейно независимых собственных вектора.Поэтому матрицу можно привести к диагональному виду.6.

Составляем из собственных векторов преобразующую матрицуS  ( s1 s2 1 0 1s3 )    3 2 2  , 0 1  1а из собственных значений 1   2  2 и 3  9 – искомую диагональную матрицу  :64 2 0 0  diag (2,2,9)   0 2 0  . 0 0 9Проверим равенство   S 1 С S , выполняя преобразование подобия: 1 0 1  S 1 С S    3 2 2  0 1  111  2  1 0 1  54  4   3 2 2   6  3  1 4   0 1  10   2 0 0  4 1  2 2 0 9   14 0 1  1  140    0 2 0 .  3  1  5    6 4 18   07 7 00 63   0 0 9   3 1 2  0 2  9Равенство верное.1Ответ: матрица A ) 1   2  2 , C1    , где C1  0 , привести к диагональному виду 2при помощи преобразования подобия нельзя;1  2i 1  2i  , где C1  0 ,  2  3  4i , C2  , где C2  0 , матматрица B ) 1  3  4i , C1  2  2 0 1  2i при помощи преобразования порицу можно привести к диагональному виду 012i1  2i 1  2i ;добия с преобразующей матрицей  2  2 1 0  матрица C ) 1   2  2 , C1  3   C2  2  , где C1 , С2 не равны нулю одновременно, 0 1  1 3  9 , C3  2  , где C3  0 , матрицу можно привести к диагональному виду  1  1 0 1помощи преобразования подобия с преобразующей матрицей   3 2 2  . 0 1  165 2 0 0 0 2 0  при 0 0 97.

КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫКвадратичной формой переменных x1 ,…, xn называется выражение видаnq( x) n aij xi x j ,(7.1)i 1 j 1в котором коэффициенты aij , не все равные нулю, удовлетворяют условиям симметричности aij  a ji , i  1,..., n , j  1,..., n . Будем рассматривать вещественные (действительные)квадратичные формы, коэффициенты которых являются действительными числами, а переменные принимают действительные значения.Приводя подобные члены, квадратичную форму (7.1) можно представить в видеq( x)  a11x12  2a12 x1x2  ...  2a1n x1xn  a22 x22  2a23 x2 x3  ...  ann xn2 .(7.2)Это вид квадратичной формы с приведенными подобными членами.Симметрическая матрица A  (aij ) , составленная из коэффициентов квадратичной формы (7.1), называется матрицей квадратичной формы.