Типовые задачи по линейной алгебре, страница 6

Применяем алгоритм нахождения базы системы столбцов.1. Составляем из данных столбцов матрицуA  ( A1A2A3A4 1 2 1 1  402 6 2  0A5 )  .2 40  4  6 2  4 1 75 2. Приводим матрицу A к ступенчатому виду, преобразовывая только строки (ведущиеэлементы выделены полужирным шрифтом):  1 2 1 1  4   1 02 6 2   0 0A~2 40  4  6  0  2  4 1 75   02 1 1  4   1 0 2 6 2   0~0 2 6 2   0 0  3 9  3   02 1 1  40 2 6 2  A . (3.3)0 000 0 000 3. Первый и третий столбцы матрицы A – базисные (это столбцы с ведущими элементами). Следовательно, в исходной матрице A базисными также являются столбцы A1 и A3 .Они образуют искомую базу данной системы столбцов.Применим алгоритм разложения столбцов A2 , A4 , A5 данной системы по ее базе A1 , A3 .1.

Составим блочную матрицу ( AT a) , дополнив матрицу AT справа столбцом символов a1 , a2 , a3 , a4 , a5 обозначающих ее строки:  1 0  2 2 a1 04  4 a2  20  1 a3  .( AT a)    1 2 1  6  4 7 a4  4 2  6 5 a 5Поменяем местами вторую и третью строки, поскольку базисные столбцы A1 и A3 .  1 0  2 2 a1    1 0  2 2 04  4 a2    1 20 1 2T0  1 a3 ~ 204 4( A a)   1 2  1  6  4 7 a4   1  6  4 7 4 2  6 5 a   4 2  6 55 30a1 a3 a2  .a4 a5 2.

Приводим левый блок к ступенчатому виду, используя элементарные преобразованиястрок блочной матрицы. Выбираем в качестве ведущего элемент a11  1  0 (ведущие элементы выделены полужирным шрифтом). Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на (  1 ), к третьей – первую, умноженную на 2, к четвертой – первую, к пятой – первую,умноженную на (  4 ). Получаем 1 0  2 20 1 1 2 204 4 1 6 4 7 4 2  6 5a1    1 0  2 2a1a1  1 0  2 2  a3   022  3 a3  (1)a1   022  3 a3  a1 a2  ~  0000a2  2a1  ~  0000 a2  2a1  .  a4   0  6  6 9a4  a1   0  6  6 9a4  a1 a5   022  3 a5  (4)a1   022  3 a5  4a1 Выбираем ведущий элемент a22  2  0 .

К третьей строке прибавляем вторую, умноженнуюна 3, а к четвертой – вторую умноженную на (  1 ):a1    11 0  2 2 22  3 a3  a1   0 0 0000 a2  2a1  ~  0 a4  a1   0 0 6 6 9 022  3 a5  4a1   01 0~ 0 0 00 2 2a12 2 3a3  a1~0 00a2  2a10 00a4  a1  3(a3  a1) 0 00 a5  4a1  (1)(a3  a1) 0 2 2a12 2 3a3  a10 00a2  2a1  .0 00 a4  2a1  3a3 0 00a5  3a1  a3 3. Последние три строки нулевые, т.е.a2  2a1  oT ,a4  2a1  3a3  oT ,a5  3a1  a3  oT ,где oT  (0 0 0 0) – нулевая строка. Транспонируем обе части каждого равенства, учитывая, что aiT  Ai , i  1,...,5 :A2  2 A1  o , A4  2 A1  3 A3  o , A5  3 A1  A3  o .Выражаем столбцы A2 , A4 , A5 через базисные: A2  2 A1 , A4  2 A1  3 A3 , A5  3 A1  A3 .Отметим, что найденная база A1 , A3 данной системы столбцов не является единственной.

По ступенчатому виду (3.3) можно определить, что базу системы образуют любые двастолбца, за исключением первых двух, которые пропорциональны.Ответ: A1 , A3 ; A2  2 A1 , A4  2 A1  3 A3 ; A5  3 A1  A3 .314. ОБРАТНАЯ МАТРИЦАПусть A – квадратная матрица порядка n . Матрица A1 , удовлетворяющая вместе с заданной матрицей A равенствам:A1 A  A A1  E ,называется обратной. Матрицу A называют обратимой, если для нее существует обратная,в противном случае – необратимой. По определению матрицы A и A1 перестановочны.Из определения следует, что если обратная матрица A1 существует, то она квадратнаятого же порядка, что и A .

Однако не для всякой квадратной матрицы существует обратная.Если определитель матрицы A равен нулю ( det A  0 ), то для нее не существует обратной.Квадратную матрицу, определитель которой равен нулю, называют вырожденной (особой)матрицей, в противном случае – невырожденной (неособой).Теорема (о существовании и единственности обратной матрицы). Квадратная мат a11  a1n рица A       , определитель которой отличен от нуля, имеет обратную матриa n1  ann цу и притом только одну: A111 A12A1 det A  A 1n A11  A12где A  A 1nA21A22A2nA21A22A2n An1  An 2 1A , detA Ann (4.1) An1  An 2 – матрица, транспонированная для матрицы, составленной   Ann из алгебраических дополнений элементов матрицы A . Матрица A называется присоединенной матрицей по отношению к матрице A .Свойства обратной матрицы 1  A ;1. A14.

det A1 1;det A2.  A B 1  B 1 A1 ;5. E 1  E .32 1  A1 T ;3. ATАлгоритм нахождения обратной матрицы с помощью присоединенной1. Вычислить определитель det A данной матрицы. Если det A  0 , то обратной матрицыне существует (матрица A вырожденная).2. Составить матрицу ( Aij ) из алгебраических дополнений Aij   1 i  j M ij элементовматрицы A .3.

Транспонируя матрицу ( Aij ) , получить присоединенную матрицу A  ( Aij ) T .4. Найти обратную матрицу (4.1), разделив все элементы присоединенной матрицы наопределитель det A :A1 1A .det AНапример, для невырожденных квадратных матриц второго порядка из алгоритма следует простое правило нахождения обратной матрицы:1) поменять местами элементы на главной диагонали;2) изменить знаки у элементов побочной диагонали;3) поделить полученную матрицу на определитель. В результате получить обратнуюматрицуa b c d 1 d  b1.ad  bc   c a (4.2)Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований1.

Составить блочную матрицу  A E  , приписав к данной матрице A единичную матрицу того же порядка.2. При помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками матрицыAE  , привести ее левый блок A к простейшему виду  (1.3). При этом блочная матрицаприводится к виду  S  , где S – квадратная матрица, полученная в результате преобразований из единичной матрицы E .3. Если   E , то блок S равен обратной матрице, т.е. S  A1 .

Если   E , то матрицаA не имеет обратной.Рассмотрим матричные уравнения видаAX  B и Y A B,(4.3)где A и B – данные матрицы, причем матрица A квадратная, а X , Y – искомые матрицы.33Теорема (о существовании и единственности решения матричного уравнения). Еслиопределитель матрицы A отличен от нуля, то матричные уравнения (4.3) имеют единственные решения X  A1B и Y  B A1 соответственно.Уравнения (4.3) могут иметь бесконечно много решений или ни одного решения, еслиdet A  0 . Например, уравнение 1 2 3 X    2 4 5не имеет решений, а уравнению 1 2 3 X    2 46 3  2a 3  2b  , где a   , b   .удовлетворяют любые матрицы вида X  abПример 12.

Найти матрицы, обратные данным матрицам1 2 11 2  , B   0 1 0  ,A  1 4  0 2 2а) вычисляя присоединенную матрицу; б) применяя элементарные преобразования.Решение. М а т р и ц а A . Найдем обратную матрицу A1 , вычисляя присоединенную(п. а) з а д а н и я ).1. Находим определитель матрицы det A  2 .2. Находим алгебраические дополнения элементов данной матрицы:A11   111  4  4 ;A12   11 2 1  1 ;A21   121  2  2 ;B22   12 2 1  1 ; 4  1 .и составляем из них матрицу ( Aij )   2 1 3. Транспонируя матрицу ( Aij ) , получаем присоединенную матрицу 4  2 .A  ( Aij ) T   1 1 4.

Разделив все элементы присоединенной матрицы на определитель det A  2 , получимобратную матрицу: A1  21A   1det A 2 11  .2 341 2   a b   Такой же результат получаем, используя правило (4.2) для матрицы A  1 4   c d A1 1  d  b  1  4  2   2  1det A   c a  2   1 1    2 11  .2 Найдем обратную матрицу A1 при помощи элементарных преобразований (п.

б) з а дания).1. Составим блочную матрицу  A E  , приписав к матрице A единичную матрицу тогоже порядка:A1 2 1 0  .E   1 4 0 1 2. Элементарными преобразованиями строк приводим ее к виду ( EAA1) : 1 2 1 0   1 2 1 0   1 0 2  1  1 0 2 ~  ~  ~ E   1140102110211   0 1  2 2В правом блоке получаем обратную матрицу A1   1 2 11  .2  11  .2 М а т р и ц а B .

Найдем обратную матрицу B 1 , вычисляя присоединенную (п. а) з а д а н и я ).1. Находим определитель матрицы det B  2 .2. Находим алгебраические дополнения элементов данной матрицы:B11   111 1 0 2;2 2B12   11 2 0 0 0;0 2B13   113 0 1 0;0 2B21   12 1 2 11 11 2 2 ; B22   12 2  2 ; B23   123  2 ;2 20 20 2B31   131 2 1 1 ;1 0B32   13 2 1 10;0 0 2 0 0 и составляем из них матрицу ( Bij )    2 2  2  . 1 0 1 35B33   133 1 210 13. Транспонируя матрицу ( Bij ) , получаем присоединенную матрицуB  ( Bij )T 2  2  1 0 20 .0  2 1 4.