Типовые задачи по линейной алгебре, страница 3

При этом получаемведущие строку и столбец, все элементы которых равны нулю, за исключением ведущегоэлемента, равного единице.4. Исключив из рассмотрения строку и столбец, на пересечении которых стоит ведущийэлемент, перейти к пункту 1, в котором все описанные действия применяются к оставшейся11части матрицы. Преобразования заканчиваются, если исключены все столбцы или все строки, либо в оставшейся части матрицы все элементы нулевые.Модифицированный таким образом метод Гаусса называется методом Гаусса–Жордана. Его применение позволяет сразу получить простейший вид матрицы, минуя ееступенчатый вид.Теорема (о существовании элементарных преобразующих матриц).

Для любой матрицы A размеров m  n существуют такие элементарные матрицы S и T m -го и n -го порядков соответственно, что матрица   S AT имеет простейший вид (1.3):E  S AT   rOгдеO,O (1.4)0  r  min m, n . Матрицы S и T называются элементарными преобразующимиматрицами.Алгоритм нахождения элементарных преобразующих матриц1. Приписав к матрице A (размеров m  n ) справа и снизу единичные матрицы Em и Enсоответственно, составить блочную матрицу: AE nEm .Элементы правого нижнего блока этой матрицы можно не указывать, так как они не участвуют в дальнейших преобразованиях, либо считать их равными нулю.2. При помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками и столбцамиблочной матрицы, привести ее левый верхний блок A к простейшему виду (1.4).

При этомблочная матрица преобразуется к виду S  ,Tгде  – матрица простейшего вида, а S и T – искомые преобразующие матрицы, связанныес матрицей A равенством (1.4).Элементарные преобразующие матрицы S и T находятся неоднозначно, так как зависятот выбранной последовательности преобразований.Если требуется найти одну из элементарных преобразующих матриц, например S , достаточно применить к матрице A Em  рассмотренный выше алгоритм. Выполняя элементарные преобразования над строками матрицы A Em  и первыми ее столбцами, входящими в левый блок, получим матрицу  S  , где  – матрица простейшего вида, а S – иско12мая матрица.

Если требуется найти одну матрицу T , то выполняем преобразования матрицы A    ~   .E  T n  Следом квадратной матрицы называется сумма ее элементов, стоящих на главной диагонали. След квадратной матрицы A n -го порядка обозначаетсяntr A  aii .i 1Пример 1. Даны матрицы 1 2 3A   , 4 5 6 1B 2 34 0  . Вычислить матрицу 3С  2 AB  3BT AT .Решение. Используя правило умножения, находим1 4   1  1  2  2  3  3 1  4  2  0  3  (3)   14  5  1 2 3  2 0   .AB  4 5 64  1  5  2  6  3 4  4  5  0  6  (3)   32  2   3  3 232232Транспонируем матрицы A и B , заменяя строки соответствующими столбцами. При транспонировании первая строка матрицы A (соответственно B ) является первым столбцом матрицы AT (соответственно BT ), вторая строка – вторым столбцом: 1 4A   2 5 , 3 6T 1BT   4203 . 3Вычислим их произведение 1 4  1  1  2  2  3  3 1  4  2  5  3  6   14 32 123  2 5   .BT AT  0  3 4  1  0  2  3  3 4  4  0  5  3  6    5  2 4  3 6 232232Произведения AB и B T AT являются матрицами одинаковых размеров ( 2 2 ).

Умножая на 2каждый элемент матрицы AB , а каждый элемент B T AT на (3) и складывая соответствующие элементы матриц, получаем 14  5   14 32    14  106   3   .C  2 AB  3BT AT  2 2  32  2    5  2   79  14  106 .Ответ: 2  7913Пример 2.

Даны матрицы1 2A   , 3 4x x   1  , x2 y y   1  . Найти: 1) y2 x T Ay ,2) tr ( Axy T ) .Решение. Перемножая попарно матрицы, получаемy  1 2   y1     x1  3 x2 2 x1  4 x2   1  1) xT A y  x1 x2  3 4   y2    y2 12 22 21 12122121 ( x1  3 x2 ) y1  (2 x1  4 x2 ) y2  x1 y1  3x2 y1  2 x1 y2  4 x2 y2 ;111 22) A x yT  3 4 22 21 12 22 x1  x  2 x2    y1 y2    1   y1 y2  x3x4x21 2 12122121 ( x  2 x2 ) y1 ( x1  2 x2 ) y2 .  1(3x1  4 x2 ) y1 (3 x1  4 x2 ) y2 22Теперь, складывая элементы на главной диагонали, находим следtr ( Axy T )  ( x1  2 x 2 ) y1  (3x1  4 x2 ) y 2  x1 y1  2 x2 y1  3x1 y 2  4 x 2 y 2 .Ответ: 1) x1 y1  3 x2 y1  2 x1 y2  4 x2 y2 ;2) x1 y1  2 x2 y1  3 x1 y2  4 x2 y2 .1  1 .

Найти p (A) .Пример 3. Даны многочлен p ( x)  x 2  2 x  1 и матрица A  1 2 Решение. Подставляя матрицу A в выражение p( A)  A2  2 A  E , получаем1  1 1  11  1  1 0   0  3    2 2   1 0    1  1   2            .p( A)  1 2  1 2 1 2   0 1   3 3    2  4   0 1   1 0   1  1 .Ответ: 1 0141 2 .Пример 4.

Найти все матрицы, перестановочные с матрицей A  3 4Решение. Перестановочные матрицы A и B определяются равенством AB  BA . Из этого равенства следует, что обе матрицы – квадратные одного и того же порядка. Пусть искоa bмая матрица B имеет вид  . Найдем произведенияc d a b   1 2   a  3b 2a  4b     ,AB   c d   3 4   c  3d 2c  4d  1 2   a b   a  2c b  2d     .BA   3 4   c d   3a  4c 3b  4d Из равенства матриц AB  BA следует равенство соответствующих элементовAB  BA a  3b 2a  4b   a  2c b  2d    c  3d 2c  4d   3a  4c 3b  4d a  3b  a  2c,2a  4b  b  2d ,c  3d  3a  4c,2c  4d  3b  4d .Из первого уравнения выражаем c  1,5b , а из второго – d  a  1,5b .

Подставляя эти выражения в остальные уравнения, получаем верные числовые равенства. Следовательно, приb  a является перестановочной с даннойлюбых значениях a и b матрица B  1,5b a  1,5b b  a , где a   , b   .Ответ: 1,5ba1,5bматрицей A .Пример 5. Даны блочные матрицыA   A11BB   11 B211 0 2 ,A12   0 1 21 2 1 B12     3 4 0  .B22  1 2 2Найти блоки C11 и C12 блочной матрицы C  C11 C12   AB .Решение. Блочные матрицы A и B согласованы.

Матрица A разбита по столбцам надва и один (считая слева), матрица B разбита по строкам на две и одну (считая сверху). Поэтому произведение AB определено. Матрица C  AB будет иметь блоки C  C11 C12  .Учитывая, что A11 – единичная матрица, находим искомые блоки 1 0 1 2  21 2  2 4  3 6     1 2        ;С11  A11B11  A12 B21  0 13 4  23 4  2 4 5 81 01  21  4  5      2          .С12  A11B12  A12 B22   0 1 0  2 0  4  43 6 5 , С12    .Ответ: C11  5 8 415Пример 6. Элементарными преобразованиями привести матрицу2 6 5 1 A   5 15 13  11 3 2 4  E O .

Найти элементарные преобразующие матрицы S и T ,к простейшему виду   OOудовлетворяющие равенству   SAT .Решение. Припишем к матрице A справа и снизу единичные матрицы соответствующихразмеров: A E4 2 6 5 1 1 0 0 5 15 13  1 0 1 0 1 3 2 4 0 0 1E3     1 0 0 0. 0 1 0 00 0 1 00 0 0 1Левый верхний блок A будем приводить к простейшему виду (1.4), применяя метод Гаусса –Жордана.

Выбираем в левом верхнем блоке в качестве ведущего элемент a31  1  0 (выделен полужирным шрифтом). Меняем местами первую и третью строки: 2 6 5 1 1 0 0 1 3 2 4 0 0 1  5 15 13  1 0 1 0   5 15 13  1 0 1 0  1 3 2 4 0 0 1  2 6 5 1 1 0 0 1 0 0 0 ~ 1 0 0 0.0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1В полученной матрице ведущим элементом стал элемент a11  1  0 , а первые строка и столбец стали ведущими. Ко второй строке прибавляем первую (т.е. ведущую строку), умноженную на (  5 ); к третьей – первую, умноженную на (  2 ):1640 0 1 1 3 2 4 0 0 1 1 3 2  5 15 13  1 0 1 0   0 0 3  21 0 1  5  2 6 5 1 1 0 0  0 0 1  7 1 0  2 01 0 0 0 ~ 1 0 0.0 1 0 0 0 1 00 0 0 1 0 0 0 10 10 0 0 1 0 0 0Ко второму столбцу прибавляем первый (т.е. ведущий столбец), умноженный на (  3 ), ктретьему – первый, умноженный на (  2 ), к четвертому – первый, умноженный на (  4 ):10010003000100240 0 1  1 0000 0 1  3  21 0 1  5   0 03  21 0 1  5 1  7 1 0  2  0 01 7 1 0  2 00 ~ 1  3  2  4.0000 0 1 0 01010 0101 0 0Исключаем из рассмотрения первый столбец и первую строку.

Во втором столбце в левомверхнем блоке матрицы после исключения первой строки нет ведущего элемента (все элементы нулевые). Ищем ненулевой элемент в третьем столбце этого блока, за исключениемэлемента a13 из первой строки. Выбираем в качестве ведущего элемент a33  1  0 . Можновзять любой ненулевой элемент этого блока матрицы, за исключением a11 . Если выбрать вкачестве ведущего элемент a23  3 , то придется выполнять арифметические действия с дробями. Меняем местами вторую и третью строки, а затем – второй и третий столбцы:000 0 1  1 0000 0 1 1 0 1 7 1 0  2  0 10 7 1 0  20 00 03  21 0 1  5   0 30  21 0 1  5  1  3  2  4 ~ 1  2  3  4.0 10010 0 00 0 0 11000 01010 0 0 0К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на (  3 ):17000 0 1  1 0000 0 1 1 0 0 7 1 0  2  0 10  7 1 0  20 10 30  21 0 1  5   0 000 3 1 1  1  2  3  4 ~ 1  2  3  4.0 01010 0 00 1 0 10000 01010 0 0 0К четвертому столбцу прибавляем второй, умноженный на 7 :000 0 1  1 0000 0 1 1 0 0  7 1 0  2  0 1001 0  20 10 000  3 1 1  0 0003 1 1  1  2  3  4 ~  1  2  3  18.0 01010 0 00 1 0 10007 01010 0 0 0В результате преобразований на месте исходной матрицы A получается матрица1 0 0 0  E O   0 1 0 0    2OO0 0 0 0простейшего вида, а на месте единичных матриц – элементарные преобразующие матрицы 0 0 1 S   1 0  2 , 3 1 1  1  2  3  18 10 0 0T .0 107 0 001Убеждаемся в справедливости равенства   SAT , вычисляя произведение 1  2  3  18  0 0 1  2 6 5 1  0 010 SAT   1 0  2   5 15 13  1 0107  3 1 1  1 3 2 4  0 001 1  2  3  18   1 0 0 01 3 2 4 0 010   0 0 1  7  0 1 0 0   .070 0 0 0 0 1  0 0 0 0 0 001 1 0  4  20 0 1 0 0 0 11 0 0 0Ответ:    0 1 0 0  , S   11 0 , T  .0 0 10  0 0 0 0  1  1 1 0 1  1  3182.