Типовые задачи по линейной алгебре, страница 13

Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы называются определенными (знакоопределенными). Если же квадратичная форма принимает как положительные, так и отрицательныезначения, то она называется неопределенной (знакопеременной). Определенность и неопре 0 соделенность квадратичных форм обозначаются неравенствами q ( x)  0 , q ( x)  0 , q (x) ответственно.Критерий Сильвестра. Для того чтобы квадратичная форма q ( x)  xT Ax была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры ее матрицыбыли положительны:70aa1  a11  0 ,  2  11 12  0 ,…,  n  det A  0 .a21 a22(7.12)Для отрицательной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно,чтобы знаки угловых миноров ее матрицы чередовались, начиная с отрицательного:aa1  a11  0 ,  2  11 12  0 ,…,  1n  n   1n det A  0 .a21 a22(7.13)Для неопределенности (знакопеременности) квадратичной формы достаточно, чтобыхотя бы один главный минор четного порядка был отрицателен, либо два главных миноранечетного порядка имели бы разные знаки (достаточный признак неопределенности квадратичной формы).Пример 19.

Квадратичные формы1)q( x)  x12  2 x1x2  2 x1x3  x22  x2 x3  x32 ;2)q( x)  x12  2 x1x2  3x22  4 x1x3  x32привести к каноническому виду: форму 1) – методом Лагранжа; форму 2) – методом Якоби.Указать соответствующие замены переменных. Вычислить ранг, положительный и отрицательный индексы, сигнатуру и дискриминант каждой квадратичной формы.Решение. Ф о р м а 1).

Применяем алгоритм метода Лагранжа.11 . В данную квадратичную форму переменная x1 входит в первой и второй степеняходновременно. Выбираем ее в качестве ведущей.21 . По ведущей переменной ( x1 ) выделяем полный квадрат:q( x)  x12  2 x1x2  2 x1x3  x22  x2 x3  x32  [ x12  2 x1 ( x2  x3 )  ( x2  x3 ) 2 ]  ( x2  x3 ) 2  x22  x2 x3  x32  ( x1  x2  x3 ) 2  x2 x3 .Обозначим y1  x1  x2  x3 , y2  x2 , y3  x3 . Тогда получим новую квадратичную формуq~( y1, y2 , y3 )  y12  y2 y3 . Продолжим преобразования, переходя к п.1 алгоритма.12 .

В квадратичной форме q~( y1, y2 , y3 )  y12  y2 y3 нет ведущих переменных, посколькукаждая переменная входит в форму либо во второй степени, либо в первой, но не в первой ивторой степенях одновременно. Однако имеется произведение y2 y3 разных переменных.Переходим к п.3 алгоритма.7131 . Заменяем выбранную пару переменных y2  z 2  z3 , y3  z 2  z3 . Оставшуюся ста-рую переменную y1 принимаем за соответствующую новую y1  z1 . Получаем квадратичную форму~q~( z1, z 2 , z3 )  z12  ( z 2  z3 ) ( z 2  z3 )  z12  z22  z32 .Переходим к п.1 алгоритма.~13 . В квадратичной форме q~ ( z1, z2 , z3 )  z12  z22  z32 нет ведущих переменных (все переменные входят в форму во второй степени), кроме того, нет произведений различных переменных.

Следовательно, квадратичная форма имеет канонический вид с диагональной матрицей   diag (1, 1,  1) .Найдем теперь невырожденную линейную замену переменных, приводящую даннуюформу к каноническому виду. В п. 21 и 31 решения выполнялись замены x  S1 y и y  S 2 z сматрицами 1 1 1 S1   0 1 0  ,0 0 11 0 0 S 2   0 1  1 .0 1 1 Следовательно, матрица S замены x  Sz находится как произведение1 1 11 0 0  1 0 2  S  S1 S2   0 1 0   0 1  1   0 1  1 ,0 0 10 1 1  0 1 1  т.е. искомая замена переменных x1  z1  2z3 , x2  z2  z3 , x3  z2  z3 .11Сделаем проверку. Для матрицы A  111  12 1  1  квадратичной формы по формуле21 (7.8)   S T A S вычислим диагональную матрицу  квадратичной формы, приведенной кканоническому виду.

Имеем1 1 0 0   1T  S A S   0 1 1 11 2 1 1   1  12 1   1 0 2   1 0 0   1   0 1  1   0 1 0  ,2 1   0 1 1   0 0  1т.е.   diag (1, 1,  1) , что соответствует найденному каноническому виду.По коэффициентам канонического вида квадратичной формы вычисляем ранг r  3 (количество отличных от нуля коэффициентов), положительный индекс 2 (количество положи72тельных коэффициентов), отрицательный индекс 1 (количество отрицательных коэффициентов) и сигнатуру 2  1  1 (разность между количествами положительных и отрицательныхкоэффициентов). Находим дискриминант квадратичной формы det A  2,25 .Ф о р м а 2). Применяем алгоритм метода Якоби.1.

Составляем матрицу A квадратичной формы, а затем – блочную матрицу ( A E ) : 1 1 2A  1 3 0 ,2 0 11 1 2 1 0 0A E    1 3 0 0 1 0 . 2 0 1 0 0 12. Элементарными преобразованиями III типа, выполняемыми над строками блочнойматрицы, приводим ее левый блок к ступенчатому виду:21 0 0 1 1 21 0 01 1 ( A E ) ~  0 2  2  1 1 0  ~  0 2  2  1 1 0   ( A | S T ) .0  2  3  2 0 1 0 0  5  3 1 1 Следовательно, квадратичная форма приводится к каноническому виду q~( y)  y12  2 y22  5 y32(коэффициенты совпадают с элементами главной диагонали матрицы A ) при помощи заме- 1 1  3ны переменных x  Sy с матрицей S   0 11  , т.е.

x1  y1  y2  3y3 , x2  y2  y3 ,0 01 x3  y3 .По коэффициентам канонического вида квадратичной формы вычисляем ранг r  3 (количество отличных от нуля коэффициентов), положительный индекс 2 (количество положительных коэффициентов), отрицательный индекс 1 (количество отрицательных коэффициентов) и сигнатуру 2  1  1 (разность между количествами положительных и отрицательныхкоэффициентов). Находим дискриминант квадратичной формы det A  det A  1  2  (5)  10(как произведение элементов на главной диагонали матрицы A ).Ответ: форма 1): канонический вид z12  z22  z32 ; замена переменных x1  z1  2z3 ,x2  z2  z3 , x3  z2  z3 ; ранг 3; положительный индекс 2; отрицательный индекс 1; сигна-тура 1; дискриминант  2,25 ;форма 2): канонический вид y12  2 y22  5 y32 ; замена переменных x1  y1  y2  3y3 ,x2  y2  y3 , x3  y3 ; ранг 3; положительный индекс 2; отрицательный индекс 1; сигнату-ра 1; дискриминант  10 .73Пример 20. Используя критерий Сильвестра, определить, при каких значениях a квадратичная форма 3 x 2  4ay 2  11z 2  4axy  2 xz  4ayz положительно определена.Решение.

Составим матрицу квадратичной формы 3 2a  1A   2 a 4 a 2a  .  1 2a 11 Находим угловые миноры этой матрицы1  3 ,2 3 2a 12a  4a 2 ,2a 4 a32a  13  det A  2a 4a 2a  132a  4a 2  4a 2  4a  12a 2  44a 2  128a  64a 2 . 1 2a 11Записываем критерий положительной определенности квадратичной формы и решаем полученную систему неравенств: 1  0 , 2  0 ,  0 33  0,2 12a  4a  0 , 64a 2  128a  0.Первое неравенство верное.

Его можно не учитывать. Решаем систему из двух последних неравенств: 12a  4a 2  0 , 64a 2  128a  0 4a(3  a )  0 ,64a(2  a )  0a (3  a)  0 , a(2  a)  00  a  3,0  a  2.Таким образом, система неравенств имеет решение 0  a  2 . Следовательно, квадратичнаяформа положительно определена при a  (0; 2) .Ответ: a  (0; 2) .748. ВАРИАНТЫ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ1. Матрицы A , B , а также выражение матрицы С через A и B приведены в таблице 1.Вычислить матрицу C .СВар.AB11 0 4213 1 2  2 2 3 13 3 1 21 1 354 112 3 2 123 231 2 31 03 1Вар.3 AB  2 BT AT2 4 AB  3BT AT3 AB  2 BT AT71 4 41 2 33 3 2  4 AB  3BT AT 2 3 195 4 1 2 1 3 1  22  4 AB  5 BT AT 2 01 11131517231143 1 1 4233 1 202312 3 0 4 1 3 1 23 11 13 AB  4 BT AT 1 232 1  3 AB  4 BT AT2  10  2  2 AB  4 BT AT1    2  3752311Таблица 1.СB40  1 3 2 23 14 1 2 361 2 4513  3  22  4 AB  2 BT AT 2 11 81 0 1 2 5 3 1 3  2  2  5 AB  3BT AT 31 10 3 2 41 1 3 1  2014 3 2013  AB  2  B T AT1 3 42 5 112 1  22  5 AB  2 BT AT 3 11 A 5 AB  4 BT AT2 1 3 41 02 AB  3BT AT 2 2 3 43 13 AB  2 BT AT141 0 4213 12322  5 AB  3BT AT1 16 0 2 42 3 1 2 1 3123181 1 4 3 2 3 123201  3 AB  2 BT AT 123201 19 3 2 4 2 1 33 1 32 2  5 AB  4 BT AT1  1  22  4 AB  5 BT AT 2 01 1 1 3 4 3 220x y 2.

Найти 1) x T Ay , 2) tr ( Axy T ) , где x   1  , y   1  , а матрица A приведена x2  y2 в таблице 2.Таблица 2.AВар.AВар.AВар.AВар.AВар.11 35 42 2 3 4 13 1 3 5 14 2 3 4 151 35 463 15 27 2 3 5 48 4 3 5 19 2 3 1 510 4 3 5 211 6 3 5 1121 75 213 4 3 2 614 2 5 1 3153 15 416 4 31517 4 251183 15619 6 12320 7 3213.

Многочлен p (x) и матрица A приведены в таблице 3. Найти p (A) .Вар.A11  23 1 x2  2x  321 23 1x2  2x  53 2  13 1 x 2  3x  24 2  301x2  2x  45 3  102x 2  3x  16 2  1012 x 2  3x  17 3  12 1 2x2  x  381  40 1 x2  2x  59 1  12 0 2x2  x  310 0  12 1 3x 2  x  111 0  22 1 2 x 2  3x  112 4  12 1 x2  2x  513 3 0 2 12 x 2  3x  214 4 0 2 1x 2  3x  4153 4  0 1 x2  2x 1163  2  x 2  3 x  21017 2  13 1  x2  2x  418 0  14 1 x2  4x  519 2  23 1 20 1  12 3  x2  x  3x2  4x  3Вар.Ap (x)Вар.AТаблица 3.p (x)p (x)764.

Найти все матрицы, перестановочные с матрицей A , приведенной в таблице 2.5. Блочные матрицы A   A11BA12  и B   11 B21B12  приведены в табл.4. Найти блокиB22 C11 и C12 блочной матрицы C  C11 C12   AB .Вар.AB1 1 0 1 0 1 31 2 23 1 04 2 53 1 0 1 0 1 5 3 2 45 0 11 2 451 0 30 1 46 2 13 0 1 3 2 47 1 0 3 0 1 60 2 0 3 1 4 1 3 291 0 20 1 31 1 1 5 4 2 2 1 3111 0 20 1 53 2 11 2 3 4 2 2131 0 30 1 21 5 0 3 4 21 3 1 151 0 20 1 4 0 2 1 3 5 5 4 2 1171 0 30 1 4 4 2 1 3 0 1 4 2 3Таблица 4.BA21 1 02 0 1 2 1 21 0 11 2 34 3 1 02 0 1 4 1 22 3 1 3 2 261 1 02 0 1 2 3  2 1 1 3 2 11 8 1 1 0  1 0 1 2 1 21 0 11 2 310 2 1 0 1 0 1 1 2 3  1 1  12 4 2 121 1 02 0 1 2 1  13 2 2  1 1  114 1 1 0 1 0 1  3 1 2 1 2 1 3 1 116 1 1 0 2 0 1 4 3  15 2 1 1 1 1 18 2 1 03 0 1  2 2  3 1 1 3  4 4 2 77Вар.194 2 11 3 3 4 1 2 1 0 1013  3 2  112 4 5 2 1  2 1 0101206.