Павельева Неопределенный интеграл (Павельева Е. Б. - Неопределенный интеграл), страница 7

Тогдаdt 1  t 2 dx sin 2 x  4sin x cos x  5cos 2 x  t 2  4 t1 5 11 t21 t21 t2 1 t2d t  2dt 2 arctg  t  2   C  arctg  tg x  2   C .t  4t  5 t  2 2  1Способ 2. Разделим числитель и знаменатель на cos2 x. Тогда1 cos 2 x  dxdx sin 2 x  4sin x cos x  5cos2 x  sin 2 x  4 sin x  5 cos xcos 2 xd  tg x d  tg x  2  2 arctg  tg x  2   C.tg x  4tg x  5   tg x  2 2  1cos4 xdx.sin xВыполнено равенство R   sin x , cos x    R  sin x , cos x  , поэтому применим подстановку cos x  t. Тогдаcos4 xt4dtt4 t 4  1  1dxdt sin x 1  t 2 1  t 2  t 2  1  t 2  1 dt 1 11 t 1   t 2  1  2C  dt  t 3  t  ln32 t 1t 1111  cos x  cos3 x  cos x  ln   C.32  1  cos x Пример 4.20.4.6.

Интегралы вида R(tg x ) dx,  R(ctg x ) dxПоложим t  tg x, t  ctg x соответственно. Тогда dx dx  1dt ,1  t21dt соответственно.1  t271ПримерыПример 4.21. tg5 x dx.Способ 1. Применим подстановку tg x  t. Тогда1 tg5 x dx   t 5 1  t 2 dt.Разделив t 5 на t 2  1 столбиком, получим2t5 t 3  t  t  dt  1 t 4  1 t 2  1 d  t  1 dt t 2  1  t2 1422  t2 1111111 t 4  t 2  ln  t 2  1  C  tg 4 x  tg 2 x  ln  tg 2 x  1  C 4224221 41tg x  tg 2 x  ln cos x  C.42Способ 2.

Отделим от tg 5 x множитель tg2 x, воспользуемся111 ивнесем под знак дифференциформулой tg2 x 2cos xcos2 xала. Тогда1 tg5 x dx   tg3 x tg 2 x dx   tg3 x  cos2 x  1 dx   tg3 x1dx   tg3 x dx cos2 x11  tg 3 x d  tg x    tg x tg 2 x dx  tg 4 x   tg x  1 dx 4 cos2 x 11 tg 4 x   tg xdx   tg x dx 4cos2 x1sin x tg 4 x   tg x d  tg x   dx 4cos x11111 tg4 x  tg2 x  d  cos x   tg4 x  tg2 x  ln cos x  C.42cos x42721  tg x 1  tg x dx.Пример 4.22.Применим подстановку tg x  t.

Тогда1  tg x1 t 1  tg x dx   1  t  1  t 2  dt.Разложим правильную рациональную дробь1 t1  t  1  t 2 насумму простейших дробей:1 tABt  C A  t 2  1   Bt  C 1  t ,1  t  1  t 2  1  t t 2  11  t  1  t 2 где A, B, C — некоторые действительные числа. Справедливотождество 1  t  A  t 2  1   Bt  C 1  t  при t. Подставляя в последнее тождество значения t  1, t  0 и приравнивая коэффициенты при t 2 , получаем коэффициенты A, B, C :t  1: 2  2 A  A  1;t  0 : 1  A  C  C  0;t 2 : 0  A  B  B  1.Таким образом,1 tt1 1  t  1  t 2 dt   1  t dt   t 2  1dt  1111dt   2d  t 2  1   ln t  1  ln  t 2  1  C .t 12 t 12Итак,1  tg x1 1  tg x dx   ln tg x  1  2 ln  tg2 x  1  C   lnsin x  cos x 1  1  ln C cos x2  cos2 x   ln sin x  cos x  ln cos x  ln cos x  C   ln sin x  cos x  C .73Примеры для самостоятельного решения4.1.

 sin 6 x dx. 4.2.  sin 3 x cos5 x dx. 4.3.  ctg 3 x dx.22dx4.4.  2. 4.5.  sin 5 x 3 cos x dx. 4.6.  sin x sin 2 x sin 3 x dx.sin x cos 4 x4.7.dx 5  4sin x  3cos x .dx4.8.dx 4  3cos2 x  5sin 2 x .4.9.dx  2  cos x  sin x .sin 4 xdx4.10. 5  4sin x . 4.11.  4  tg x  4 ctg x . 4.12.  tg 4 x dx. 4.13.  cos6 x dx.4.14.  2  sin x  3  sin x .

4.15.  cos2 x  2sin x cos x  2sin2 x .74dxdxГлава 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЗНЫХ ФУНКЦИЙПримерыПример 5.1.x3  x  112 dx.Положим t  x  1. В этом случае x  t  1, dx  dt. Тогдаx3t 3  3t 2  3t  1 t  13dxdtdt   x  112 t12t121331   t 9  3t 10  3t 11  t 12  dt   t 8  t 9  t 10  t 11  C 8910111131 C.89108  x  1 3  x  1 10  x  111 x  111sin 3 x cos7 x dx.Проведем преобразования:Пример 5.2.sin 3 xsin 3 x 11dx cos7 x  cos3 x cos2 x cos2 x dx   tg3 x 1  tg2 x  d  tg x     tg3 x  tg5 x  d  tg x  Пример 5.3.sin x cos x2  sin 4 x1 41tg x  tg6 x  C.46dx.1Преобразуем sin x cos x dx  sin x d  sin x   d  sin 2 x  .

Тогда22d  sin x sin x cos x11 sin 2 x   C .arcsindx 2  sin 4 x2  2   sin 2 x 2 2 2 75 xxdx.x2  1Умножим числитель и знаменатель на x  x 2  1 . ТогдаПример 5.4.x xx21dx  x x  x2  1x x2  x2  x x2x33 1  dx  1 x  x2  1dx 31x3 1 212  1 2 d x2  1 x  x  1 2  C.23 3arcsin xdx.x2Проинтегрируем заданный интеграл по частям. Полагая11dx, v( x ) u( x )  arcsin x, dv( x )  2 dx, имеем du( x ) x1  x211  2 dx   .

Тогдаxxarcsin xarcsin xdx x 2 dx   x   x 1  x 2 .1dxВ интеграле положим t  . Тогда2xx 1 xПример 5.5.11x  , dx   2 dt ,tt1  x2  1 1t2  1 sgn tt2tt2 1.tЗаметим, что sgn t  sgn x. Тогда 12 dtdtt  sgn t  x 1  x22t2  11 t 1tt11  sgn t ln t  t 2  1  C   sgn x  ln 1  C xx2dx sgn t   sgn x ln7611  x2 C.xxИтак,arcsin xarcsin xdxdx  2xxx 1  x2arcsin x1  sgn x 1  x 2 sgn x ln C.xxПример 5.6.arctg x x 2 1  x 2  dx.Проинтегрируем заданный интеграл по частям.

Полагая1u ( x )  arctg x, dv ( x )  2dx , имеемx 1  x 2 du( x ) 11dx, v ( x )  dx 221 xx 1  x 2 1111  x 2   x 2dx   2 dx  dx    arctg x.222x 1  x x1 xxТогда1 arctg xarctg x1   arctg x   xarctgdxxdx. x 2 1  x 2  x  1  x2Найдем последний интеграл:1arctg x1  x 2   x 2dxdx x 1  x 2   1  x 2 x 1  x 2  dx   arctg x d  arctg x  x1111  dx  dx  arctg 2 x  ln x  ln 1  x 2   arctg2 x  C.2x1 x222Итак,arctg x x 2 1  x 2  dx  arctg x 11 arctg 2 x  ln x  ln 1  x 2   C .x2277Пример 5.7.dx e2 x  2e x .Положим t  e x . Тогда1 dtdxdt e2 x  2e x   t 2t  2t   t 2  t  2 .1x  ln t, dx  dt ,tРазложим правильную рациональную дробь1на сумt 2 t  2му простейших дробей:1A BCAt  t  2   B  t  2   Ct 2,t 2 t  2 t t 2 t  2t 2 t  2где A, B, C — некоторые действительные числа.

Справедливотождество 1  At  t  2   B  t  2   Ct 2 при t . Подставляя в последнее тождество значения t  2, t  0 и приравнивая коэффициенты при t 2 , получаем коэффициенты A, B, C :141t  0 : 1  2B  B   ;21t2 : 0  A  C  A   .4t  2 : 1  4C  C  ;Таким образом,dt1 11 111 t 2  t  2    4  t dt  2  t 2 dt  4  t  2 dt 11 1 1  ln t    ln t  2  C.42 t 4Итак,dx11 11 e2 x  2e x   4 ln e x  2  e x  4 ln e x  2  C 111  x  e  x  ln e x  2  C.42478Пример 5.8.  e 2 x sin 2 x dx.Применим формулу понижения степени:1  cos 2 x11dx   e2 x dx   e 2 x cos 2 x dx 22211 e 2 x   e2 x cos 2 xd  2 x .44 e2 x sin 2 x dx   e2 xВ последнем интеграле сделаем замену 2 x  t.

Тогда1 e2 x cos 2 xd  2 x    et cos t dt  2 et  sin t  cos t   C 1 2xe  sin 2 x  cos 2 x   C2(см. пример 2.6). Итак,11 e2 x sin2 x dx  4 e2 x  8 e2 x sin 2 x  cos2 x   C.Пример 5.9.1 sin 2 x cos4 x dx.Способ 1:2111 1 dx sin 2 x cos4 x   sin x 2  cos2 x  cos2 x dx  cos x 11  2tg 2 x  tg 4 x2  2 1  tg 2 x  d  tg x   d  tg x  tg xtg 2 x11 1   2  2  tg 2 x  d  tg x    2 tg x  tg 3 x  C.tg x3 tg xСпособ 2. Представим числитель в виде sin 2 x  cos 2 x и разделим почленно числитель на знаменатель:1 sin 2 x cos4 x dx  sin 2 xsin 2 x  cos2 xdx sin 2 x cos4 xcos2 x  sin 2 x cos4 x  sin 2 x cos4 x  dx 7911111dx   2dx  dx  4  2 dx cos4 xsin x cos2 xcos2 x cos2 xsin 2 x1  1  tg2 x  d  tg x   2ctg2 x  tg x  tg3 x  2ctg2 x  C.3dxПример 5.10.

.x  3 x  24 xПоложим x  t12 12  НОК  2, 3, 4   . Тогдаx  t6 ,3x  t4,4x  t 3 , dx  12t11dt , t  12 xиdx12t11dtt8 6 412dt.4t  t  2t 3t3  t  2x  x 2 x3Последний интеграл является интегралом от неправильной рациональной дроби. Разделив числитель на знаменатель столбиком,получим12 t8 t 5  t 3  2t 2  t  4  3t 2  6t  8  dt dt12t3  t  2t3  t  2 t6 t4 2t23t 2  6t  8dt. 12    t 3   4t   12  32t t26 4 3Разложим правильную рациональную дробьсумму простейших дробей.

Учитывая, что3t 2  6t  8наt3  t  2t 3  t  2   t 3  1   t  1   t  1  t 2  t  1   t  1   t  1  t 2  t  2  ,получим3t 2  6t  83t 2  6t  8ABt  C 232t t2 t  1  t  t  2  t  1 t  t  280A  t 2  t  2    Bt  C  t  1, t  1  t 2  t  2 где A, B, C — некоторые действительные числа. Справедливотождество 3t 2  6t  8  A  t 2  t  2    Bt  C  t  1 при t . Подставляя в последнее тождество значения t  1, t  0 и приравнивая коэффициенты при t 2 , получаем коэффициенты A, B, C :1t   1 : 1  4A  A  ;417t  0 : 8  2 A  C  C   ;211t2 : 3  A  B  B  .4Итак,11 t  1711 t  173t 2  6t  81 1142 t 3  t  2 dt  4  t  1 dt   t 2  t  2 dt  4 ln t  1   t42  t 22 dt.Последний интеграл является интегралом от функции, содержащей квадратный трехчлен.