Павельева Неопределенный интеграл (Павельева Е. Б. - Неопределенный интеграл)

Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаЕ.Б. ПавельеваНЕОПРЕДЕЛЕННЫЕИНТЕГРАЛЫМетодические указания к решению задачпо курсу «Интегралы и дифференциальные уравнения»УДК 517.31ББК 22.161.1П12Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ruпо адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/109/book318.htmlФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Высшая математика»Рецензентканд.

физ.-мат. наук, доцент И. Л. ПокровскийРекомендовано Учебно-методической комиссиейНаучно-учебного комплекса «Фундаментальные науки»МГТУ им. Н.Э. БауманаП12Павельева, Е. Б.Неопределенные интегралы : методические указания крешению задач по курсу «Интегралы и дифференциальныеуравнения» / Е. Б. Павельева. — Москва : Издательство МГТУим. Н. Э. Баумана, 2014. – 91, [1] с.ISBN 978-5-7038-3929-4Рассмотрены основные приемы и методы вычисления неопределенных интегралов. Приведены краткие теоретические сведения, иподробно разобрано около ста примеров различной степени сложности. В конце каждого подраздела даны примеры для самостоятельного решения, а в конце работы — ответы к этим примерам.Для студентов всех специальностей МГТУ им.

Н. Э. Баумана.Может быть полезным при самостоятельном изучении методоввычисления неопределенных интегралов.УДК 517.31ББК 22.161.1ISBN 978-5-7038-3929-4© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014© Оформление. ИздательствоМГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014Глава 1. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕИ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПУТЕМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ1.1. Понятие неопределенного интеграла.

Таблица интегралов.Простейшие правила и приемы интегрированияОпределение 1.1. Функция F ( x) называется первообразнойдля функции f ( x) на интервале  a, b  , если для любого x   a, b выполняется равенство F ( x )  f ( x ).Например, функция F ( x )  4  x 2 является первообразнойxдля функции f ( x )  на интервале  2, 2  , так как4  x2xx   2, 2  ; функция F ( x)  cos x является4  x2  4  x2первообразной для функции f ( x)   sin x на бесконечной прямой ,    , так как  cos x    sin x x   ,    . ФункцияF ( x)  ln x является первообразной для функции f ( x) 1на поx1лупрямой  0,    , так как  ln x  x   0,    ; функцияx1F ( x)  ln( x) является первообразной для функции f ( x)  наx1полупрямой   , 0  , так как  ln   x   x   , 0  ; такимxобразом, функция F ( x )  ln x является первообразной для функ1ции f ( x)  на  , 0    0,    .x3Теорема 1.1.

Если функция F ( x) является первообразной дляфункции f ( x) на  a , b  , то любая первообразная для функцииf ( x) на интервале  a , b  имеет вид F ( x)  C, где C — некотораяпостоянная.Определение 1.2. Совокупность всех первообразных функцийдля данной функции f ( x) на интервале  a , b  называется неопределенным интегралом от функции f ( x) на интервале  a , b  иобозначается символом f ( x ) dx.Если функция F ( x) — одна из первообразных для функции f ( x) на  a, b  , то  f ( x ) dx  F ( x )  C , где C — любая постоянная.xdx  4  x 2  C на интервале  2, 2  ,4  x2так как функция F ( x )  4  x 2 является первообразной дляxна интервале  2, 2  ;    sin x  dx функции f ( x)  4  x21 cos x  C на бесконечной прямой  ,    ;  dx  ln x  Cxна  , 0    0,    .Например,Теорема 1.2.

Для любой функции, непрерывной на интервале a, b  , на этом интервале существует неопределенный интеграл.Свойства неопределенного интеграла:1)   f ( x )  g ( x )  dx   f ( x ) dx   g ( x ) dx;2)   A f ( x )  dx  A  f ( x ) dx , A  0 , A — постоянная;3)  f ( x)dx   f ( x); d  f ( x) dx  f ( x) dx;4) F   x  dx  F  x   C ;  dF ( x )  F ( x )  C ,C — любая по-стоянная.Основные неопределенные интегралы приведены в табл. 1.1.4Таблица 1.1№ п/пОсновные неопределенные интегралы1 0 dx  C2 x  dx    1  Cx  1   1 .В частности:при   0  1 dx  x  C ,при   1/2при    231dx  2 x  C ,x11dx    Cx2x1 x dx  ln x  C ,1 x  a dx  ln x  a  C  a4 e dx  e  C ,a a dx  ln a  C , a  0, a  1 sin x dx   cos x  C cos x dx  sin x  Cxxxx567 cos 2 x dx  tg x  C8 sin91121xdx   ctg x  С1 1  cos x x sin x dx  2 ln  1  cos x   C  ln tg 2  C10 cos x dx  2 ln  1  sin x   C  ln tg  2  4   C11 sh x dx  ch x  C ch x dx  sh x  C1213111 ch2x 1  sin x xdx  th x  C5Окончание табл.

1.1№ п/п1415161718Основные неопределенные интегралы1 sh 2 x dx  cth x  C arcsin x  C ,dx 1  x 2    arccos x  C , arcsin x  C ,dxaa  0 a2  x2  x  arccos  C ,adx x 2  a 2  ln x  x 2  a 2  C , a  0dx arctg x  C , x 2  1   arcctg x  C , 1 arctg x  C , adxaa  0 x2  a2   1  arcctg x  C ,a adx1xa x 2  a 2  2a ln x  a  C , a  0dx1xa a 2  x 2  2a ln x  a  C , a  0Для проверки формул, приведенных в табл. 1.1, достаточноубедиться в том, что производные выражений, стоящих в правыхчастях этих формул, совпадают с соответствующими подынтегральными функциями.ПримерыИспользуя свойства неопределенного интеграла и формулытабл.1.1, найти следующие интегралы.56Пример 1.1.   3  4 3 x  7 1 dx.2xxРазобьем интеграл на сумму и разность интегралов, вынесемза знак интеграла постоянные множители и запишем подынтегральные функции в таком виде, чтобы легко было воспользоваться формулой 2 из табл.

1.1:6 5  x3  43x612 1 dx  5 x 3 dx  4  x 3 dx  6  x 7 dx   1 dx x271 1 2 1x 31x3x 7542 7 5546 x  C   2  33 x4 x  xC.1 13  12x5 2 137Пример 1.2.x 1x  x  2 dx.Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получимx 1x  x  2 dx    x x  3 x  2 dx 3212   x dx  3 x dx  2  1 dx 3 11 1x2x223 2 x  C =  x 2 x  2 x x  2 x  C.3 11 15225x7  2dx.xРазделим почленно числитель на знаменатель:Пример 1.3.57x7  2x51dx   1 dx  2 dx xxx29 1x 1010  x dx  2  2 x  C  4 x  C  10 x19  4 x  C.9 11910dxПример 1.4.

.4  9 x2Чтобы можно было воспользоваться формулой 15 из табл. 1.1,вынесем множитель 9 за знак радикала:910dx4  9x211dx 34  x2 39dx 22  x23113xx arcsin C  arcsin  C.23323 75 3x2  6 dx.Пример 1.5.Чтобы можно было воспользоваться формулой 18 из табл. 1.1,вынесем множитель 3 за скобки.

Тогда5dx5dx5 3x 2  6 dx  3  x 2  2  3 x2  22x 2x 25 15 C  C.lnln3 2 2 x 26 2 x 2Пример 1.6.3  2 x  2  3x 2x dx .Разделим почленно числитель на знаменатель и воспользуемсяформулой 4 из табл. 1.1. Тогда3  2 x  2  3x 3  2 x 2  3x 2 x dx    2 x  2 xx 3  dx 312dxdx  2 x3 3x 3x  2  2   C  3x  C.3x 1 ln 32ln  22 1  2 x 2  x 2 1  x 2  dx.Пример 1.7.Представив числитель в виде 1  x 2   x 2 , разделим почленночислитель на знаменатель:1  2 x 2 1  x 2   x 2dx x 2 1  x 2   x 2 1  x 2  dx 111dx  dx    arctg x  C .22xx1 xПример 1.8.

 ctg 2 x dx.Используя основное тригонометрическое тождество и поделивпочленно числитель на знаменатель, представим ctg 2 x в виде8ctg 2 x cos2 x 1  sin 2 x1 2  1.sin 2 xsin 2 xsin xДалее воспользуемся формулой 8 из табл.1.1. Тогда1 ctg 2 x dx   sin 2 x dx  1dx  ctg x  x  C.Пример 1.9.4 x2 x2  16 dx .Представив числитель в виде 4 x 2  4  x 2  16   64 и разделивпочленно числитель на знаменатель, воспользуемся формулой 18из табл. 1.1:4  x 2  16   644x2 x 2  16 dx    x 2  16  4 x  64Пример 1.10.dx   4dx  64dxx 2  421x4x4ln C  4 x  8ln C.24 x  4x4x 4  x 4  2dx.x3Учитывая, чтоx 4  x 4  2   x 2  x 2  ,2x 4  x 4  2  x 2  x 2 ,получимx 4  x 4  2x 2  x 21dx  dx   dx   x 5 dx 33xxx4x1 ln x  C  ln x  4  C.44xПример 1.11.1  x  a  x  b  dx,a  b.____________Здесь и далее «звездочкой» обозначены примеры повышеннойсложности.9Учитывая, что  x  a    x  b   b  a, представим числитель ввиде11 x  a    x  b.baДалее, разделив почленно числитель на знаменатель, получим11  x  a  x  b  dx  b  a  x  a   x  bdx  x  a  x  b 1 111dx  dx   ln x  b  ln x  a   C .ba xbxa  baПример 1.12*.dx x 4 1  x 2  .Учитывая, что 1  1  x 2   x 2 , и разделив почленно числительна знаменатель, получим1  x 2   x 2dx11 x4 1  x2   x4 1  x2  dx   x4 dx   x2 1  x2  dx 1  x 2   x 21111dx   3   2 dx  dx 3223xx 1  x 3xx1  x2Пример 1.13*.11  arctg x  C.3x3xx  x  1 x  2  dx .Представим числитель x в виде линейной комбинации  x  1и  x  2 : x    x  1    x  2  .

Множители  и  найдем, приравнивая коэффициенты при x и x 0 :x : 1    ; x0 : 0    2 .2121Таким образом,   ,   и x   x  1   x  2  . Далее, раз3333делив почленно числитель на знаменатель, получим1021x  1   x  2 x33  x  1 x  2  dx    x  1 x  2  dx 211 121dx  dx  ln x  2  ln x  1  C .3 x23 x 133Примеры для самостоятельного решения1  x 1.1.  3x x1.4.x2 1 x23dx. 1.2.dx. 1.5.2 x  3 3x2xe3 x  1dx.

1.6.x1edx. 1.3.1 x x dx. 1  x 2 x  x3e2 x  x 2dx. 1.7.x3dx.5x2  4x 1x 11  x dxdx. 1.9. 1.8. . 1.10.  2 x5 dx.sin 2 x cos 2 x10x 1  x 2 21.11.  1  sin 2 x dx. 1.12.cos 2 x cos2 x sin 2 x dx.1.13.dx.1 x  x 11.2. Интегрирование методом подведенияпод знак дифференциалаНапомним, что дифференциал df ( x) дифференцируемой функции f ( x) определяется формулой df ( x )  f ( x ) dx.При сведении заданного интеграла к табличному интегралучасто используются следующие преобразования дифференциалов:1) df ( x )  d  f ( x )  C  C;12) df ( x)  d  C  f ( x)  C  0;C3) f ( x) dx  dF ( x)  d  f ( x ) dx , где F ( x) первообразная дляf ( x) .Например, x2  1xdx  d    d  x 2  ; 2  21xdx  d 2 x  2d x ;111111dx  d  ln x  ; 2 dx  d      d   ; e x dx  d  e x  ;xxx x1dx  d  tg x  ;sin x dx  d   cos x    d  cos x  ;cos2 x1dx  d  arcsin x 1  x2и т.

д.Утверждение (свойство инвариантности формул интегрирования). Если  f (t ) dt  F (t )  C на интервале  a , b  и t  x  —дифференцируемая функция на интервале  ,   , множествозначений которой принадлежит интервалу  a, b  , то f  t  x   t   x  dx  F  t  x    Cна интервале  ,   , т. е. f t  x  d t  x   F t  x   C.Таким образом, формулы интегрирования не меняются, есливместо независимой переменной t подставить дифференцируемуюфункцию t  t ( x).Например, посколькуdt t 2 t C ,тоd 5x2  4 5x2  4  2 5x2  4  C;так как sin t dt   cos t  C ,то sin  4и т.