Павельева Неопределенный интеграл (Павельева Е. Б. - Неопределенный интеграл), страница 4

 sin  ln x  dx.Этот интеграл является интегралом третьей группы. Обозначим искомый интеграл через I ( x ). Полагая u ( x )  sin  ln x  ,1dv( x )  dx, имеем du ( x)  cos  ln x  dx, v( x)  x. Тогдаx1I ( x )   sin  ln x  dx  x sin  ln x    x cos  ln x  dx x x sin  ln x    cos  ln x  dx.39Последний интеграл еще раз проинтегрируем по частям. Полагая1u ( x )  cos  ln x  , dv( x)  dx , имеем du ( x)   dx sin  ln x  , v( x)  x.xТогдаI ( x)  x sin  ln x    cos  ln x  dx  x sin  ln x   x cos  ln x    sin  ln x  dx  x sin  ln x   x cos  ln x   I ( x ).Итак,I ( x )  x sin  ln x   x cos  ln x   I ( x ).СледовательноI ( x)   sin  ln x  dx 1x  sin  ln x   cos  ln x    C.2x cos x sin 2 x dx.Задан интеграл вида  P1  x  g  x  dx, где P1  x  — многочленпервой степени, а  g  x  dx легко найти.

Полагая u( x)  x,Пример 2.8.dv( x) cos xdx, имеемsin 2 xdu( x )  dx, v( x )  cos xd sin x1dx  .22sin xsin xsin xТогдаx cos x11xx sin 2 x dx   x sin x   sin x dx   sin x  ln tg 2  C.Пример 2.9. x sinxdx.Сначала выполним замену переменной. Положим t  x .Тогдаx  t 2 , dx  2tdt,40 x sinxdx   t 2 sin t  2t dt  2  t 3 sin t dt.Получившийся интеграл является интегралом второй группы. Трираза проинтегрируем его по частям. Полагая u (t )  t 3 ,dv(t )  sin t dt, имеем du  t   3t 2 dt , v  t    sin tdt   cos t.

Тогда x sinx dx  2  t 3 sin t dt  2 t 3 cos t  3 t 2 cos t dt u  t2,dv  cos t dtdu  2t dt , v  sin t 2t 3 cos t  6 t 2 sin t  2  t sin t dt u  t , dv  sin tdtdu  dt , v   cos t 2t 3 cos t  6t 2 sin t  12 t cos t   cos dt  2t 3 cos t  6t 2 sin t  12t cos t  12sin t  C  2 x x cos x  6 x sin x  12 x cos x  12sin x  C .Примеры для самостоятельного решенияln x2.1.x2.4. e 2 x sin x dx. 2.5.  arcsin  2  3 x  dx. cos  3 ln x  dx.

2.8.   x 2  2 x   2 x dx.2.7.xdx. 2.2.2.10.sin 2 x e x dx. 2.11.2.13.x e5 x32.3.   x 2  3 x  1 sin 2 x dx. ln 2 x dx.arcsin x1 xx sin 2 x dx.2.9.  cos 3 x dx.dx. 2.12.ln  sin x dx.sin 2 xdx.2.2. Интегралы видаПокажем,2.6.x2x2  Aкакdx ,x 2  A dx ,x2a2  x2находитьdx ,a 2  x 2 dx ,dx  x 2  A nинтегралывидаx 2  A dx,a 2  x 2 dx методом интегрирования по частям. Для того чтобы41найти интегралx 2  A dx, A  0, илиa 2  x 2 dx, a  0, обо-значим искомый интеграл через I ( x), проинтегрируем его по частям и составим для I ( x) уравнение первого порядка.

Например,I ( x)  x2u  x 2  A , dv  dxx 2  A dx xdxdu , vxx2  Ax 2 dx x x2  A  .x2  AПредставив в последнем интеграле числитель в A   A, разделим почленно числитель на знаменатель:I  x   x x2  A   x2  A  Ax2  A x x 2  A   x 2  Adx  Aвидеdx 1x2  Adx  x x 2  A  I ( x)  A ln x  x 2  A .Итак, I ( x)  x x 2  A  I ( x)  A ln x  x 2  A . Следовательно,I ( x)   x 2  A dx 1Ax x 2  A  ln x  x 2  A  C.22x2I ( x)  42x2x2Adx   x2  A  Ax2Adx  A  0,x2dx  a  0x2  Aa2  x2находят аналогично.

Представим числитель в виде  x 2  A   Aили в виде    x 2  a 2   a 2 соответственно и разделим почленночислитель на знаменатель:Интегралы видаdx   x 2  A dx  Ax2Adx.Первый из получившихся интегралов проинтегрируем по частям, второй интеграл является табличным. В ходе преобразований получаемI ( x)  x2u  x 2  A , dv  dxA A dx  x2  Adx x 2 dx x x2  A  x2Axdxdu x2  AAx2A, vxdx  x x 2  A  I  x   A ln x  x 2  A .Итак, I ( x)  x2x2Adx Рассмотрим интегралA1x x 2  A  ln x  x 2  A  C.22dx  x 2  A n( A  0, n  1, 2, 3, ...). Обо-значим его через I n ( x ). Выведем рекуррентную формулу, позволяdx(n  2, 3, 4, ...) к интеграющую свести интеграл I n ( x)   x 2  A ndxлу с меньшим индексом I n 1 ( x )  . Для этого проинте2 x  A n 1грируем интеграл I n 1 ( x ) по частям:uI n 1 ( x )  dx x 2  A n 1x x2  An 11 x 2  An 1du  , n  1  2 x x 2  A n 2( n  1) x2 x 2  A ndv  dxdx, v  xdx.Представив в последнем интеграле числитель в виде  x 2  A   A,разделим почленно числитель на знаменатель43I n 1  x  xx2 An 1x x 2  An1 2  n  1 x x 2  An 1 2  n  1 1x2 An 1 x 2  A  Adx  x 2  Andx  2 A  n  1 1  Anx2dx  2  n  1 I n 1 ( x)  2 A  n  1 I n ( x) .Следовательно,I n 1 ( x ) x x 2  A n 1 2  n  1 I n 1 ( x )  2 A  n  1 I n ( x )иI n ( x) 1x 2n  3 I n 1 ( x) C.n 122 A  n  1  x  A 2 A  n  1(2.1)Таким образом, получена рекуррентная формула, сводящая интеdxdxк интегралу I n 1 ( x)  грал I n ( x)  ,n x2  A x 2  An 1n  2, 3, 4, ...

. В частности,I2  x  dx x 2  A211x 22A x  A 2AЗамечание. Интеграл I 2 ( x )  тригонометрической замены(2.2)dxможно найти с помощью2 x  a2 2x  a tg t , t    ,  . Действительно,учитывая, что x 2  a 2  a 2  tg 2 t  1 получимdx x 2  A  C.22a21x, dx  adt , t  arctg ,cos 2 tacos 2 ta2tdx11 1  cos 2tcosI 2 ( x)  dt  3  cos 2 t dt  3 dt 222222aax  a  a  cos 2 t 441  1t  sin 2t   C.2a 3  2Учитывая, что 1 sin 2t  sin t cos t  tg t cos 2 t  xa2, окончательноa x  a222получим I 2  x   1 3 arctg x  1 22aax C.2a x 2  a 22.3.

Интегрирование функций,содержащих квадратный трехчленРассмотрим интегралы видаAx  BAx  B1)  2dx, 2) dx, 3)  ax 2  bx  c dx,ax  bx  cax 2  bx  cAx  B4)   Ax  B  ax 2  bx  c dx, 5) dx, n  2, 3, ...2 ax  bx  c nДля вычисления этих интегралов выделим полный квадрат изквадратного трехчлена:2bb  b2 ax 2  bx  c  a  x 2  2 x       c   2a4a  2a   b 2 b2  a  x     c  2a  4a bb, x  t  , dx  dt. По2a2aсле замены переменной интегралы 1), 2), 4), 5) разобьются на дваинтеграла. В интеграле, содержащем t в числителе, внесем t подзнак дифференциала. В процессе вычисления интегралов 3) и 4)встретятся интегралы вида  t 2  A dt или  a 2  t 2 dt , которыеи выполним замену переменной t  x берутся по частям либо с помощью тригонометрической или гиперболической замены переменной.

В процессе вычисления интеdt, который можно найти,грала 5) встретится интеграл 2 t  A nвоспользовавшись рекуррентной формулой (2.1).45ПримерыПример 2.10.3x  1 x2  4 x  1 dx.Выделим полный квадрат из квадратного трехчлена:2x 2  4 x  1   x  2   3 и выполним замену t  x  2, x  t  2,dx  dt . Тогда3x  1 x2  4 x  1 dx  32d  t 2  3  t 2  37 3 t  2  13t  7tdtdt 7 2dt   2dt  3 22t 3t 3t 3t 312 3lnt 3t 337t 3ln t 2  3 lnC 22 3t 337x2 3 C.ln x 2  4 x  1 ln2x2 32 32x  7dx .1  x  x2Выделим полный квадрат из квадратного трехчлена:2 x 2  x  1   x  1  5 и выполним замену t  x  1 , x  t  1 ,2224dx  dt .

Тогда2 t  1 72x  72t  8 1  x  x 2 dx   5 2 2 dt   5 2 dt tt44d 5  t22t dtdtt 8 4 8 arcsin 55  t25  t25  t2 2 4442t 2 5  t 2  8arcsinC 45Пример 2.11. 2  x 2  x  1  8arcsinПример 2.12.46x x4  3x2  2 dx.2x  15 C.1Внесем x под знак дифференциала x dx  d  x 2  , выполним22замену переменной t  x и получим интеграл от функции, содержащей квадратный трехчлен:d t3d  x2 111xdt2 x 4  3x 2  2 dx  2  x 4  3x 2  2  2  t 2  3t  2  2  3 2 1 t24x 2  6 x  2 dx.Выделим полный квадрат из квадратного трехчлена:2 6 x  2   x  3   7 и выполним замену t  x  3, x  t  3,dx  dt. Тогда1 t  3 2 1 21t 11  x2  1 ln C  ln C  ln  2  C.2 t  3 2 1 222  x 2t2Пример 2.13.x2x 2  6 x  2 dx   t 2  7 dt.

Обозначим интегралt 2  7 dt через I(t) и проинтегрируем его по частям (см. п. 2.2):I (t )  u  t 2  7, dv  dtt 2 dtt 2  7 dt  t t2  7  tdtdu , vtt2  7t2  7 t t2  7  t 2  7   7t27dt  t t 2  7   t 2  7 dt  7 dtt27= t t 2  7  I (t )  7 ln t  t 2  7 .Итак,I (t )  t t 2  7  I (t )  7 ln t  t 2  7 ,17I (t )  t t 2  7  ln t  t 2  7  C ,221x 2  6 x  2 dx   x  3 x 2  6 x  2 27 ln x  3  x 2  6 x  2  C.247Пример 2.14.x1  2 x  x 2 dx.Выделим полный квадрат из квадратного трехчлена:2 x 2  2 x  1    x  1  2 и выполним замену t  x  1, x  t  1,dx  dt . Тогдаx1  2 x  x 2 dx    t  1 2  t 2 dt   t 2  t 2 dt   2  t 2 dt.В первом интеграле внесем t под знак дифференциала:11t dt  d  t 2    d  2  t 2  .22Тогдаt2  t 2 dt  3112  t 2 d  2  t 2     2  t 2  2  C.23Обозначим второй интеграл2  t 2 dt через I(t) и проинте-грируем его по частям:I (t )  u  2  t 2 , dv  dtt 2 dt2  t 2 dt  t 2  t2  tdtdu  , vt2  t22  t2 t 2  t2  2  t2   22  t2dt  t 2  t 2   2  t 2 dt  2  t 2  t 2  I (t )  2arcsint.2Итак,I (t )  t 2  t 2  I (t )  2arcsint,2t1I (t )  t 2  t 2  arcsin C.22Таким образом,48dt2  t2311t 2  t 2  2  t 2  t 2  arcsin  C 3223x111  1  2 x  x 2  2   x  1 1  2 x  x 2  arcsin C.322x4Пример 2.15.

dx.2 x  8 x  7 2Выделим полный квадрат из квадратного трехчлена: x 2  8 x 27   x  4   9 и выполним замену t  x  4, x  t  4, dx  dt.Тогдаx1  2 x  x 2 dx  x4t 8tdt  x 2  8 x  7 2 dx    t 2  9 2 dt    t 2  9 2 dt  8  t 2  9 2 .В первом интеграле внесем t под знак дифференциала:11t dt  d  t 2   d  t 2  9  .

Тогда221 d t 2  9t  t 2  9 2 dt  2   t 2  9 2Обозначив второй интегралdt1 1 C.2 t2  9  t 2  9 2через I 2 (t ), найдемэтот интеграл, воспользовавшись рекуррентной формулой (2.2):I 2 (t )  dt  9t2211tdt 2218 t  9 18 t  911 1 t 3t 2 ln C.18 t  9 18 6 t  3Итак,x4  x 2  8 x  7 2dx  1111tt 3ln 2 8    22 t 9t 3 18 t  9 108C x4x 11142ln 2  2 C.x72 x  8 x  7 9 x  8 x  7 2749Примеры для самостоятельного решения3x  54  3xdx. 2.15.

 2dx. 2.16.x6 x  10x  4x 1sin 2 x dxx 3 dx2.17.  2dx.. 2.18. sin x  8 sin x  15x4  2 x2  32.14.2.19.2.21.  x 2  2 x  2 2 dx.2 x 2  2 x  4 dx. 2.20.3 x50  2 x  3xln x dx1  6 ln x  ln 2 xx 2  6 x  10 dx..Глава 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХДРОБЕЙПростейшими рациональными дробями называются рациональные дроби следующих четырех типов:A;1)xaA, n  2, 3, ... ;2) x  a nAx  B3), D  p 2  4q  0;2x  px  qAx  B4), n  2, 3, ...

; D  p 2  4q  0.n2 x  px  q Рассмотрим интегралы от простейших рациональных дробей:Adx  A ln x  a  C.I. xaAAndx  A  x  a  d  x  a  II.  x  a  n 1  C.nn  1 x  aIII. Способ нахождения интеграла от простейшей рациональAx  Bной дроби третьего типа dx рассмотрен в п. 2.3.2x  px  qIV. Способ нахождения интеграла от простейшей рациональAx  Bной дроби четвертого типа dx, n  2, 3, ... рассмот2 x  px  q nрен в п.