Павельева Неопределенный интеграл (Павельева Е. Б. - Неопределенный интеграл), страница 6

Интегралы вида  sin n x cosm x dxЕсли n и m — четные положительные числа, то интегралможно упростить применением формул понижения степени.Если одна из степеней n или m — нечетное положительноечисло, то рекомендуется отделить от нечетной степени множитель(заданную функцию в первой степени) и эту отделенную функциюв первой степени ввести под знак дифференциала.Если обе степени n и m — нечетные положительные числа,то рекомендуется отделить множитель от меньшей нечетной степени.Если сумма степеней (n + m) — четное отрицательное число n  m  2k , k  1,2, ...

 , то рекомендуется отделить множитель11илии этот множитель ввести под знак дифференци2cos xsin 2 x1 1  tg2 x илиала, а также воспользоваться тождествомcos2 x1 1  ctg2 x :sin 2 xsin nxcos n 2 ksin n x  1 x dx  cosn x  cos2 x    tg x n 1  tg2 x k 1k 11dx cos2 xd  tg x .ПримерыПример 4.5.  sin 4 x cos2 x dx.Упростим интеграл, применив формулу понижения степени:22 1  cos 2 x   1  cos2 x  sin4 x cos2 x dx   sin 2 x  cos2 x dx    2   2  dx 621 cos3 2 x  cos2 2 x  cos 2 x  1 dx 811 1  cos 4 xdx cos 2 2 x cos 2 x dx  88211111sin 2 x  x   1  sin 2 2 x  d  sin 2 x   x  sin 4 x 168161664111111sin 2 x  x   sin 2 x  sin 3 2 x   x  sin 4 x 16816 364 161111sin 2 x  C   sin 3 2 x  x  sin 4 x  C.16481664Пример 4.6.

 sin 6 x cos3 x dx.Отделим от нечетной степени множитель и внесем его подзнак дифференциала: sin 6 x cos3 x dx   sin 6 x cos2 x cos x dx   sin6 x 1  sin2 x  d  sin x  11   sin 6 x  sin8 x  d  sin x   sin 7 x  sin 9 x  C.79Пример 4.7.  cos9 x  sin 5 x dx.Отделим от меньшей нечетной степени множитель и внесемего под знак дифференциала: cos9 x sin5 x dx   cos9 x sin4 x sin x dx 2   cos9 x  sin 2 x  d  cos x     cos9 x 1  cos2 x  d  cos x  2    cos9 x  2cos11 x  cos13 x  d  cos x  Пример 4.8.111cos10 x  cos12 x  cos14 x  C.10614sin 3 x cos4 x dx.Отделим от нечетной степени множитель и внесем его подзнак дифференциала:631  cos2 xd  cos x  cos4 x11    cos 4 x  cos 2 x  d  cos x   C.33cos x cos xdx.Пример 4.9.

 5sin x cos3 xВ заданном интеграле сумма степеней – четное отрицательноечисло:sin 3 xsin 2 x cos4 x dx   cos4 x sin x dx   dx11  1 3 1dx sin5 x cos3 x  sin x 5 8 tg5 x  cos2 x  cos2 x dx cos xcos x113  5 1  tg 2 x  d  tg x    5 1  3tg 2 x  3tg 4 x  tg 6 x  d  tg x  tg xtg x3   tg 5 x  3tg 3 x  tg x  d  tg x  tg x13tg 2 x 3ln tg x  C.4tg 4 x 2tg 2 x2cos2 x sin6 x dx.В заданном интеграле сумма степеней – четное отрицательноечисло:Пример 4.10.cos2 xcos2 x  1  1dx sin6 x sin 2 x  sin 2 x  sin 2 x dx    ctg2 x 1  ctg2 x  d  ctg x  11    ctg2 x  ctg4 x  d  ctg x    ctg3 x  ctg5 x  C.354.3.

Интегралы вида sin x cos  x dx,  sin x sin  x dx,  cos x cos  x dxВ этих случаях применяются формулы:1sin  cos    sin       sin       ;2641sin  sin    cos       cos       ;21cos  cos    cos       cos       .2ПримерыПример 4.11.  sin 2 x cos8 x dx.1 sin 2 x cos8 x dx  2   sin10 x  sin 6 x  dx 11cos10 x  cos6 x  C.2012Пример 4.12.  cos  2 x  1 cos  4 x  3 dx.1 cos  2 x  1 cos  4 x  3 dx  2   cos  2 x  4   cos  6 x  2   dx 11 sin  2 x  4   sin  6 x  2   C.4124.4.

Интегралы вида11 cosn x dx,  sinn x dxЕсли n — четное положительное число, то рекомендуется от11делить множительилисоответственно и этот множи2cos xsin 2 xтель ввести под знак дифференциала. Далее надо воспользоваться11 1  tg2 x или 1  ctg2 x соответственно.тождеством2cos xsin 2 xЗамечание. Можно вывести рекуррентную формулу, позволяющую1dx, n = 3, 4, … к интегралу с меньшимсвести интеграл I n ( x)  cos n x1индексом I n  2 ( x)  dx:cos n  2 x651sin 2 x  cos 2 xdx  dx ncos xcos n xsin x1  sin xdx  dx.cos n xcos n  2 xI n ( x)  Первый из получившихся интегралов проинтегрируем по частям.sin xdx, имеемПолагая u ( x)  sin x, dv( x) cos n xdu ( x)  cos x dx,v( x)  sin xcos  n 1 x11dx     cos  n x  d  cos x   .nn  1cos xn  1 cos n 1 xТогдаsin x1sin x1cos xdx dx nxn  1 cos n 1 x n  1  cos n 1 x1sin x1In2 .n  1 cos n 1 x n  1 sin x cosТаким образом,I n ( x) sin x1I n  2 ( x)  I n  2  x  n 1n11cosnx sin xn2I ( x).n1 n  1 cos x n  1 n  2Получена рекуррентная формула1 cosnxdx sin xn21dx, n  3, 4,...n2n1n1cosx n  1 cos x(4.1)Аналогично получается рекуррентная формула для вычисления1 sin n x dx:1cos xn21 sin n x dx    n  1 sin n 1 x  n  1  sin n  2 x dx, n  3, 4, ...

(4.2)Рекуррентными формулами (4.1) и (4.2) удобно пользоваться со11dx и  n dxответственно для вычисления интегралов ncos xsin xпри нечетных положительных значениях n.66ПримерыПример 4.13.1 cos6 x dx.Преобразуя исходный интеграл, получаем2112 1 dx cos6 x  cos2 x  cos2 x dx   1  tg2 x  d  tg x  21  1  2tg 2 x  tg 4 x  d  tg x   tg x  tg 3 x  tg5 x  C .35Пример 4.14.1 sin8 x dx.3113 1  sin8 x dx    sin 2 x  sin 2 x dx    1  ctg 2 x  d  ctg x     1  3ctg 2 x  3ctg 4 x  ctg 6 x  d  ctg x  31 ctg x  ctg 3 x  ctg5 x  ctg 7 x  C .57Пример 4.15.1 cos3 x dx.Найдем этот интеграл, воспользовавшись рекуррентной формулой (4.1): cos3 x dx  2cos2 x  2  cos x dx  2cos2 x  2 ln tg  2x  4   C.1sin xПример 4.16.11sin x11 sin3 x dx.Этот интеграл вычислим с помощью рекуррентной формулы(4.2):1cos x11cos x1x sin3 x dx   2sin 2 x  2  sin x dx   2sin 2 x  2 ln tg 2  C.67Замечание.

Интегралы вида1 sin n x dx,n = 3, 4, … можно найти,xприменив тригонометрическую подстановку t  tg . Например,22 1  t 2 11 1  t 2 dxdtdt  sin3 x   2t 1  t 2  34  t321 1  2t 2  t 41 1 2dt    3   t  dt t3t44 t1 1t2 111   2  2ln t    C   ln tg x  tg2 x  C 222 x4  2t2288tg2cos x1 ln tg x  C.22sin 2 x 24.5. Интегралы вида R  sin x , cos x  dxЗдесь R  sin x , cos x  — рациональная функция от двух аргументов.1. Для нахождения интегралов этого вида применяют универxсальную тригонометрическую подстановку tg  t. Тогда, если2x    ,  , то22 22dt,x  2arctg t, dx 1  t22sin x cos x2 tg x222  2t ,sin x 2xx222cos  sin1  tg x 1  t222cos2 x  sin 2 x 1  tg 2 x 1  t 222 2 cos x .2cos2 x  sin 2 x 1  tg 2 x 1  t222682.

Интегралы вида R sin 2 x, cos2 x  dxможно упростить,x    ,  , то2 21dt, получаемx  arctg t , dx . Учитывая, что 1  tg2 x 2cos2 x1 tприменив подстановку tg x  t. Тогда, еслиcos2 x t212 x  1  cos2 x ,sin.1  t21  t23. Если выполнено равенство R   sin x,  cos x   R  sin x, cos x  ,то рекомендуется применить подстановку tg x  t. Тогда, еслиdt. Учитывая, чтоx    ,  , то x  arctg t , dx 2 21  t2cos2 x t212x,sin,1  t21  t2и что знак sin x и t совпадает при x    ,  , получим2 2cos x 11  t2, sin x t1 t2.4. Если выполнено равенство R   sin x, cos x    R  sin x, cos x  ,то рекомендуется применить подстановку cos x  t.

Тогда, еслиx  0,   , тоx  arccos t , dx  dt1  t2, sin x  1  cos 2 x  1  t 2 .5. Если выполнено равенство R  sin x,  cos x    R  sin x, cos x  ,то рекомендуется применить подстановку sin x  t . Тогда, еслиx     ,   , то 2 2x  arcsin t , dx dt1 t2, cos x  1  sin 2 x  1  t 2 .69ПримерыПример 4.17.dx 8  4sin x  7cos x .Применим универсальную тригонометрическую подстановкуxtg  t. Тогда22 1  t 2 dx 8  4sin x  7 cos x   8  4 2t  7 1  t 2 dt 1 t21 t2d t  42dt2 dt28 1  t 2   8t  7 1  t 2  t 2  8t  15 t  4 2  1tg x  5t  4  1 ln C  ln 2 C.t  4  1tg x  32Пример 4.18.dx 3sin2 x  5cos2 x .Способ 1.

Задан интеграл виданим подстановку tg x  t. Тогда R sin 2 x, cos2 x  dx.Приме-dtdxdt1t2 3sin 2 x  5cos 2 x   3 t 2  5 1   3t 2  5 1 t21 t2 tg x  3 1dt1 3t 31arctgarctg   2 C   C.3 t 5 3 3 55155 Способ 2. Разделим числитель и знаменатель на cos2 x. Тогдаd  tg x dx1 cos 2 x 3sin 2 x  5cos2 x  sin 2 x dx   3tg 2 x  5 53cos 2 x tg x 3 1 d  tg x 1arctg   2  C.3 tg x  5 3155 70Пример 4.19.dx sin2 x  4sin x cos x  5cos2 x .Способ 1. Выполнено равенство R   sin x ,  cos x   R  sin x , cos x  , поэтому применим подстановку tg x  t.