Павельева Неопределенный интеграл (Павельева Е. Б. - Неопределенный интеграл), страница 5

2.3.Интегрирование правильной рациональной дроби сводится кинтегрированию простейших рациональных дробей.Теорема 3.1. Всякую правильную рациональную дробьP ( x)можно единственным образом разложить на суммуR( x)  nQm ( x )простейших дробей.51Для разложения правильной рациональной дроби на суммупростейших дробей представим знаменатель в виде произведениялинейных и квадратичных множителей:Qm ( x )  bm x m  bm 1 x m 1  ...  b1 x  b0  bm  x  x1  1  ...   x  xl l x 2  p1 x  q1 1  ...   x 2  pk x  qk k ,где x1 , ..., xl — действительные корни многочлена кратности1 , ...,  l соответственно, а  x 2  p1 x  q1  , ...,  x 2  pk x  qk  —квадратные трехчлены, не имеющие действительных корней D  0  .

Для разложения правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей воспользуемся табл. 3.1.Таблица 3.1№п/пМножительзнаменателяx  a12 x  a3 x 2  px  q  ,4Соответствующие слагаемыеkAxaAkA1A2 ... kx  a  x  a 2 x  a, k  2, 3, ...Ax  Bx 2  px  qD0 x 2  px  q kA1 x  B1A2 x  B2 ... x 2  px  q  x 2  px  q 2,k  2, 3, ..., ( D  0)xAk x  Bk2 px  q kПримерыПример 3.1.3x  1 x3  5x2  4 x dx.Разложим знаменатель на множители x 3  5 x 2  4 x  x  x  1   x  4  . Корни знаменателя действительные и различные.

Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей,воспользовавшись первой строкой табл. 3.1:52x33x  13x  1ABC 2 5 x  4 x x  x  1 x  4  x x  1 x  4A  x  1 x  4   Bx  x  4   Cx  x  1,x  x  1 x  4 где A, B, C — некоторые действительные числа.Две дроби с одинаковыми знаменателями тождественно равны тогда и только тогда, когда у них тождественно равны числители: 3 x  1  A  x  1 x  4   Bx  x  4   Cx  x  1 при x. Подставляя в последнее тождество значения x = 0, x = 1, x = 4, находим ко1эффициенты A, B, C. Положим x = 0, тогда 1  4 A , т.

е. A   ;42если x = 1, то 2  3B, т. е. B   ; при x = 4 имеем 11 = 12С, т. е.311C  . Таким образом,123x  11 12 111 1 x3  5x2  4 x dx   4  x dx  3  x  1 dx  12  x  4 dx 1211  ln x  ln x  1  ln x  4  C.4312Пример 3.2.x2  2  x  1 x  12 dx.Знаменатель имеет два действительных корня: x  1 — действительный корень кратности 1; x  1 − действительный коренькратности 2. Разложим подынтегральную функцию на суммупростейших дробей, воспользовавшись первой и второй строкамитабл.

3.1:x2  2 x  1 x  12ABCx  1 x  1  x  12A  x  1  B  x  1 x  1  C  x  12 x  1 x  12,где A, B, C — некоторые действительные числа.53Справедливо тождествоx 2  2  A  x  1  B  x  1 x  1  C  x  1 при x .2Подставляя в это тождество значения x  1, x  1 и приравнивая коэффициенты при x2 , получаем коэффициенты A, B, C:34x 1 : 3  4A  A  ;32x  1 : 3  2C  C   ;1x2 : 1  A  B  B  .4Таким образом,x2  23dx1dx3dx  x  1 x  12 dx  4  x  1  4  x  1  2   x  12 313 1 ln x  1  ln x  1  C.442 x 1Пример 3.3.x7  x 4  2  x 4  3 dx.1Учитывая, что x3dx  d  x 4  , получим4x7x 4 x3  x4  2 x4  3 dx    x4  2 x4  3 dx 1x4d  x4 .4   x 4  2  x 4  3Сделаем замену переменной t  x4 .

Тогдаx71t  x 4  2  x 4  3 dx  4   t  2  t  3 dt.Корни знаменателя действительные и различные. Разложимподынтегральную функцию на сумму простейших дробей, воспользовавшись первой строкой табл. 3.1:54t t  2  t  3 A  t  3  B  t  2 AB,t 2 t 3 t  2  t  3 где A и B — некоторые действительные числа. Справедливотождество t  A  t  3  B  t  2  при t. Подставляя в последнеетождество значения t  3 и t  2 , находим коэффициенты A и3B. Положим t  3, тогда 3  5B , т. е.

B  ; положим t  2, тогда522  5 A , т. е. A  . Таким образом,57x1t1 2 13 1   x 4  2  x 4  3 dx  4   t  2  t  3 dt  4   5  t  2  5  t  3  dt 1313 ln t  2  ln t  3  C  ln  x 4  2   ln x 4  3  C.10201020dxПример 3.4. .x  x  1  x 2  x  1Знаменатель имеет и действительные и комплексные корникратности 1.

Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей, воспользовавшись первой и третьей строкамитабл. 3.1:1ABCx  D  22x  x  1  x  x  1 x x  1 x  x  1A  x  1  x 2  x  1  Bx  x 2  x  1   Cx  D  x  x  1,x  x  1  x 2  x  1где A, B, C, D — некоторые действительные числа.

Справедливотождество 1  A  x  1  x 2  x  1  Bx  x 2  x  1   Cx  D  x  x  1при x .Подставляя в последнее тождество значения x  1, x  0 иприравнивая коэффициенты при x3 и x2 , получим коэффициентыA, B, C, D:x  1 : 1   B; B  1;x  0 : 1  A;55x3 : 0  A  B  C;x 2 : 0  2 A  B  C  D.Таким образом, A = 1, B= –1, C = 0, D= –1 иdx x  x  1  x2  x  1  dxdxdx 2xx 1x  x 1 ln x  ln x  1  d  x  1 2 x  1 2 2  3 42  x  1 2 ln x  ln x  1  2 arctgC 332x  1 ln x  ln x  1  2 arctg C.33x3  x  1 x  x 2  1 dx.Задан интеграл от неправильной рациональной дроби. Представим подынтегральную функцию в видеПример 3.5.11x3  x  1 x 3  x  1  x 3  x   1. 31 31232x  x  1x xx xx xx  x  1Разложим правильную рациональную дробь1на сумx  x 2  1му простейших дробей, воспользовавшись первой и третьей строками табл. 3.1:1x  x 2  1A Bx  C A  x 2  1   Bx  C  x,x x2  1x  x 2  1где A, B, C — некоторые действительные числа.

Справедливотождество 1  A  x 2  1   Bx  C  x при x. Коэффициенты A, B, Cнайдем, приравняв коэффициенты при x 2 , x и x 0 :56x 2 : 0  A  B;x : 0  C;x 0 : 1  A.Таким образом, A = 1, B= –1, C = 0 и11x . Итак,x  x 2  1 x x 2  1имеемx3  x  11x1 x  x 2  1 dx   1  x  x 2  1  dx   1  x  x 2  1  dx  x  ln x Пример 3.6.1 d  x 2  11 x  ln x  ln  x 2  1  C .2x 122x2  x  1  x 2  2 2 dx.Знаменатель имеет кратные комплексные корни. Разложимподынтегральную функцию на сумму простейших дробей, воспользовавшись четвертой строкой табл. 3.1:x2  x  1 x 2  2 2 Ax  B   x 2  2   Cx  DAx  BCx  Dx 2  2  x 2  2 2 x 2  2 2Ax3  Bx 2   2 A  C  x   2 B  D  x 2  2 2,где A, B, C , D — некоторые действителньные числа.

Справедливотождество x 2  x  1  Ax3  Bx 2   2 A  C  x   2 B  D  при x.Коэффициенты A, B, C , D найдем, приравняв коэффициенты приx3 , x2 , x и x 0 :x3 : 0  A;x 2 : 1  B;x :1  2 A  C;x 0 :  1  2 B  D.Таким образом, A = 0, B = 1, C = 1, D = –3 и57x2  x  1x3 1  x 2  2 2 dx    x 2  2   x 2  2 2  dx dx1xxdx3arctg.222 x  2  2   x 2  2 2В интегралеxdx  x 2  2 2внесем x под знак дифференциала:x dx  1 d  x 2   1 d  x 2  2  , тогда221 d  x2  2x dx1 1  x 2  2 2   2 x2  2 2   2 x2  2  C.Второй интеграл обозначим через I 2 ( x) .

Найдем I 2 ( x )  dxx2 22,воспользовавшись рекуррентной формулой (2.2):dxdx1 x1  2I 2 ( x)  222 x  2 4 x  2 4 x  2x1 x1 C.arctg24 x 2 4 22Итак,x2  x  1  x 2  2 2 dx 34 2arctg1x 113xarctg  2  222 2 x 2 4 x 2x1x13xC arctg  2 C.224 22 2  x  2 4 x  2Примеры для самостоятельного решения3.1.x5  x 4  8 x3  4 x dx. 3.2.3.3.3.6.  x  1  x 2  2 x  5 dx. 3.7.

  x 2  6 x  132 dx.58x3  6 x 2  9 x  7 x  2   x  532 x 2  3x  34 x 2  15 x  5  x  1  x 2  5 x  6  dx.dx. 3.4.x x3  1 dx.3.5.5 x 2  12x2  2 x  3  x  1  x3  4 x 2  3x  dx.3.8.dx 1  x4 .Глава 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙРассмотрим несколько специальных видов интегралов от тригонометрических функций и рекомендуемые для них замены переменной (подстановки).4.1. Интегралы вида  sin n x dx , cosn x dxЕсли n — четное положительное число, то интегралы можноупростить применением формул понижения степени:1  cos21  cos2, cos2  .22Если n — нечетное положительное число, то рекомендуется отделить от нечетной степени множитель (заданную функцию в первойстепени) и эту отделенную функцию в первой степени ввести подзнак дифференциала. Затем надо воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, представив sin 2   1  cos 2  илиcos2   1  sin 2 .sin 2  ПримерыПример 4.1.

 sin 4 x dx.Поскольку степень синуса четная, то выделяем квадрат иприменяем формулу понижения степени:22 1  cos2 x  sin4 x dx    sin2 x  dx    2  dx 111  cos4 x   1  2cos2 x  cos2 2 x  dx   x  sin 2 x  dx  442111 sin 4 x 311  x  sin 2 x  x   C  x  sin 2 x  sin 4 x  C.422 4 843259Пример 4.2.  sin 3 x dx.Так как степень синуса нечетная, то отделяем от нечетнойстепени sin x и вводим под знак дифференциала: sin3 x dx   sin 2 x sin x dx   sin 2 x d   cos x  1   1  cos 2 x  d  cos x     cos x  cos3 x   C.3Пример 4.3.  cos5 x dx.Отделяем от нечетной степени cos x и вводим под знак дифференциала: cos5 x dx   cos4 x cos x dx   cos4 x d sin x  2  1  sin 2 x  d  sin x    1  2sin 2 x  sin 4 x  d  sin x  21 sin x  sin 3 x  sin 5 x  C.35Пример 4.4.  cos6 x dx.Выделяем квадрат и применяем формулу понижения степени:33 1  cos 2 x  cos6 x dx    cos2 x  dx    2  dx 1  1  3cos 2 x  3cos 2 2 x  cos3 2 x  dx 8131  cos 4 xdx   cos 2 2 x cos 2 xdx    x  sin 2 x  382213331  x  sin 2 x  x  sin 4 x    1  sin 2 2 x  d  sin 2 x  8228 1653311x  sin 2 x  sin 4 x   sin 2 x  sin 3 2 x   C 16166416 3605131x  sin 2 x  sin 4 x  sin 3 2 x  C.1646448Замечание.

Можно вывести рекуррентную формулу, позволяющуюсвести интеграл I n  x    sin n x dx к интегралу с меньшим индексомI n  2 ( x )   sin n  2 x dx , n  3, 4, ... .I n  x    sin n x dx   sin n 2 x sin 2 x dx   sin n 2 x 1  cos2 x  dx   sin n  2 x dx   sin n  2 x cos2 x dx  I n 2  x    cos x sin n 2 x cos x dx.Последний интеграл проинтегрируем по частям.

Полагаяu( x)  cos x, dv ( x )  sin n  2 x cos x dx,имеемdu( x )   sin x dx,v( x )   sin n 2 x cos x dx   sin n 2 x d sin x 1sin n 1 x.n 1Тогда11 cos x sin n2 x cos x dx  n  1 sin n1 x cos x  n  1  sin n x dx 11sin n 1 x cos x In  x .n 1n 111sin n 1 x cos x I n  x  . Выразив I n  x  изn 1n 1последнего неравенства, получим рекуррентную формулу:n 11In  x  I n 2  x   sin n 1 x cos x.nnТаким образом,Итак, I n  x   I n 2  x   sin n x dx n 11sin n 2 x dx  sin n 1 x cos x, n  3, 4, ... .n nВ частности,313 1  cos 2 x1dx  sin 3 x cos x 24 sin 4 x dx  4  sin 2 x dx  4 sin 3 x cos x  4 311  x  sin 2 x   sin 3 x cos x  C.82 4Аналогично можно получить рекуррентную формулу для вычисления  cos n x dx , n = 3, 4, ….614.2.