Павельева Неопределенный интеграл (Павельева Е. Б. - Неопределенный интеграл), страница 2

д.12 x  5 d 4 x  5   cos 4 x  5  CЗамечание. Если f (t ) dt  F (t )  C ,то11 f  ax  b  dx  a  f  ax  b  d  ax  b   a F  ax  b   C.ПримерыПример 1.14.1 (2 x  4)5 dx.11Преобразуем dx : dx  d  2 x   d  2 x  4  . Тогда22dx1 d  2x  4 (2 x  4)5  2   2 x  4 5111 C. 2 x  4 5 d  2 x  4     2 x  4 4  C  4288 2x  4Пример 1.15. tg x dx.Преобразуем sin x dx   d  cos x  . Тогдаsin x tg xdx   cos x dx   Пример 1.16.d  cos x   ln cos x  C.cos x1 sin x dx.Способ 1.

Умножим числитель и знаменатель на sin x , преобразуем sin x dx   d  cos x  и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством. Тогда1sin xd  cos x d  cos x  sin x dx   sin 2 x dx   1  cos2 x   cos2 x  1 1 cos x  111  cos x  ln C  ln   C.2 cos x  12  1  cos x Учитывая, что 1  cos x  cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x  2 sin 2 x2222213и что 1  cos x  cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x  2 cos 2 x , оконча22222тельно получим2 x 11  1  cos x 1  2sin 2  sin x dx  2 ln  1  cos x   C  2 ln  2cos2 x   C 21 ln tg 2 x  C  ln tg x  C.222Способ 2.

Учитывая, чтоsin xxx2 cos 2 x  2 tg x cos2 xsin x  2sin cos  222222cos x2и что1cos 2x2 dx  2d tg x , получим2 d tg x1112x sin x dx   2tg x cos2 x dx   tg x  ln tg 2  C.222Пример 1.17.Учитывая,1 cos x dx.чтоcos x  sin x   ,2cos x     sin x , легко получить интеграл2лаdx  d x  21 cos x dxи1чтоиз интегра- sin x dx: 1  cos x  112  1 ln dxdx cos x  sin x  22  1  cos x 221  1  sin x  ln   C.2  1  sin x 14   C  Также справедливо:x 11 cos x dx   sin x   d x  2  ln tg  2 2   C 2 ln tg x    C.2 4Пример 1.18.x3 dx 3 x4  1 .1 x4  1Преобразуем x3 dx  d    d  x 4   d  x 4  1 .

Тогда4 4  43231 d  x 4  1 131  3   x 4  1 3 d  x 4  1   x 4  1  C.8x4  1 4x4  1 4x3dxПример 1.19.e x dx e2 x  4.Преобразуем e x dx  d  e x  . Тогдаd ex e x dx1ex C.arctg e 2 x  4   e x 2  4 22Пример 1.20.sin  x  1 x 1x 1x 11Преобразуемsinx 1 dx.dx  2dx  1 . Тогдаdx  2  sin  x  1  d  x  1   2 cos  x  1   C.Пример 1.21.xdx.1  x41Преобразуем xdx  d  x 2  . Тогда215xdx1  x4d  x2 11 arcsin x 2  C.22 1   x2 2dxПример 1.22.xПреобразуем1dx  d  ln x  и вынесем множитель 4 за знакxрадикала. Тогдаx1  4ln 2 x.d  ln x  ln x 1 arcsin  1   C 211  4ln 2 x 2  ln 2 x241 arcsin  2ln x   C.2dxПример 1.23. x  5 x 2  38dx.11 11Преобразуем xdx  d  x 2    d  5 x 2   d  5 x 2  3 .

Тогда22 510 x  5 x 2  38dx Пример 1.24.1x2 arcsin x 21  x21Преобразуем arcsin x 211 5x 2  38 d  5 x 2  3   5x 2  39  C.10901  x2dx.dx  d  arcsin x  . Тогда123dx    arcsin x  d  arcsin x    arcsin x   C.3Пример 1.25.1 xdx.1  x2Разобьем интеграл на сумму двух интегралов:xx1 x1 1  x 2 dx   1  x 2 dx   1  x 2 dx  arcsin x   1  x 2 dx.16В последнем интеграле внесем x под знак дифференциала:111xdx  d  x 2    d   x 2    d 1  x 2  .222Тогда 1 d 1  x 2 dx  arcsin x   2 arcsin x  1  x 2  C.221 x1 x1 xx   arccos3x 2dx .1  9x2Разобьем интеграл на сумму двух интегралов:Пример 1.26.x   arccos3 x 21  9 x2dx  x1  9 x2dx   arccos3 x 21  9 x2dx.В первом интеграле внесем x под знак дифференциала:11 11xdx  d  x 2     d  9 x 2    d 1  9 x 2  .22 918Тогда1 d 1  9 x 2 1x 1  9 x 2 dx   18  1  9 x 2   9 1  9 x 2  C .1под знак дифференциала:Во втором интеграле внесем1  9x 211dx   d  arccos 3 x  .231  9xТогда arccos 3 x 21  9 x2dx  11 arccos3 x 2 d  arccos3 x     arccos3 x 3  C.39Итак,x   arccos3 x 1  9x22dx  1131  9 x 2   arccos3 x   C.9917Пример 1.27.e2 xdx.ex  1Представим e2 x в виде произведения e2 x  e x e x , внесем ex подзнак дифференциала e x dx  d  e x  и сделаем замену переменнойt  e x .

Тогдаe2 xexe x dx  3exd ex  ex  1ex  1ex  11t t  1  1dt  dt   t  1dt  dt t 1t 1t 1dx   t  1 2 2 t 1  C 32Пример 1.28.32 x e  1 2  2 e x  1  C.3sin 2 xdx.cos 4 x  3Представим sin 2x в виде произведения sin 2 x  2sin x cos x,внесем sin x под знак дифференциала sin xdx   d  cos x  и сделаем замену переменной t  cos x. Тогдаsin 2 xdx  cos 4 x  32cos x cos 4 x  32cos xcos 4 x  3sin x dx d  cos x    2tt4  3dt.В получившемся интеграле внесем 2t под знак дифференциала2t dt  d  t 2  .

Тогдаsin 2 xcos 4 x  3  ln t 2 Пример 1.29.18dx   2tt4  3dt   d t 2  t 2 2  3 t 2 2  3  C   ln  cos 2 x  cos 4 x  3   C.1dx.x 1  x Учитывая, что подынтегральная функция определенаx 1  x   x 1  x . Преобразуемпри x   0, 1 , получим1dx  2d x . Тогдаx 1x 1  x dx  111dx  2 d1 x x1 x1 21Пример 1.30*. x2d x  x   2arcsin  x   C.dx 1  sin x .Воспользовавшись формулой приведения sin x  cos   x  и2формулой 1  cos   2cos2 , учитывая, что2x xdx  2d     2d    , 24 2получимdxdxdxx2cos 2   x24 2 1  sin x   1  cosd x4 2   tg   x  C  tg x    C. 4 22 42cos   x4 2Пример 1.31*.xdx.x2  1Вынесем x 2 за знак радикала:111x 2  1  x 2  1  2   x 1  2  sgn x  x 1  2x xx11и преобразуем 2 dx  d   .

Тогдаx x19xdxx21dxsgn11 2xx  x2  sgn x 1d  x11    x211 1  2  C.xx  sgn x lnx2  1 x4  1 dx .При x  0 разделим числитель и знаменатель на x 2 . ИмеемПример 1.32*.x2  1 1  1 x2.x4  1 x2  1 x221111Учитывая, что 1  2  dx  d  x   и что x 2  2   x    2,xxx xполучимx2  11  1 x21 x4  1 dx   x2  1 x2 dx   x2 1x2d x 1 x1 x  1x 22d x 1 x x 1 21x   C  1 arctg  x  1   C.arctg  2 22 2x Примеры для самостоятельного решения51.14.x1.18. x  2  3ln 2 x . 1.19.

 21.22. 3  4 cos2042  3 x 2 dx. 1.15.dxcos x2xdx. 1.23.xxdx. 1.16.74 xdx. 1.20.x 4 dx  x 5  14 .1.17.xdx.1  x4e x dxdx  5  e 2 . 1.21.  1  x x2 x  arcsin xdx. 1.24.1  x2cos 3 xdx.4x sinx.1.25.  dx . 1.26.sh x1  x 2x2  1dx. 1.27.dx1.28. x ln x ln  ln x . 1.29.  sin1.31.1.34.*2x 1dx. 1.32.9 x2  4dx sin x cos3 x .2dxdx.

1.30.x 4 ctg xln x dx x 1  ln 2 x . 1.33.  x1.35.*при x  0.x 1  x x24xdx. 3x2  2tg 2  x 3  3 dx.x2  1dx.41x1.3. Замена переменной в неопределенном интеграле.Некоторые специальные подстановкидля интегрирования отдельных классов функцийВ приведенных выше примерах мы сначала подводили функцию под знак дифференциала, а затем (чаще мысленно) выполнялизамену переменной.

Однако часто, чтобы найти интеграл, надосразу выполнить замену переменной.Пусть требуется вычислить  f  x  dx. Сделаем заменуx  (t ), где (t ) — дифференцируемая и строго монотоннаяфункция новой переменной t. Тогда  f ( x ) dx   f ((t )) (t ) dt .Закончив интегрирование, надо вернуться к первоначальной переменной.Для удобства изложения материала определим рациональнуюфункцию. Рациональной функцией или рациональной дробьюназывается отношение двух алгебраических многочленов:R ( x) Pn ( x ) a0  a1 x  a2 x 2  ...

 an x n.Qm ( x ) b0  b1 x  b2 x 2  ...  bm x mPn ( x)называется правильной, есQm ( x )ли степень многочлена Pn ( x ), стоящего в числителе, меньше степени многочлена Qm ( x), стоящего в знаменателе, т. е. n  m. Еслиn  m, то рациональная дробь называется неправильной. Любуюнеправильную рациональную дробь можно представить в видесуммы многочлена степени n  m и правильной рациональнойРациональная дробь R ( x ) 21дроби. Для этого надо разделить числитель на знаменатель столбиком.Алгебраическим многочленом Pn  x, y  степени n от двухаргументов называется функция видаPn  x, y   a 00  a10 x  a01 y  a20 x 2  a11 xy  a02 y 2  ...

 an 0 x n  an 1 1 x n 1 y  ...  a0 n y n .Рациональной функцией или рациональной дробью от двухаргументов называется отношение двух многочленов от двух аргументов:P ( x, y )R ( x, y )  n.Qm ( x, y )В табл. 1.2 приведены некоторые виды интегралов и рекомендуемые для них замены переменной.Таблица 1.2№п/п1234567822Вид интеграла R  x,nЗамена переменной (подстановка)t  n ax  bax  b dxax  b dxcx  d dx  x   n ax 2  bx  c R  x,nax  bcx  dtnt1x R x q1 , x q2 , ..., x qn dx,x  t k , где k — наименьшее общеекратное чисел q1 , q2 , ..., qnpi , qi  N , i  1, 2,..., n k  НОК  q1 , q2 , ..., R  e  dx R  a  dx R  tg x  dx R  ctg x  dx R  x, a  x  dxxt  exxt  axp1p22pn2qn  t  tg xt  ctg xx  a sin t или x  a th tОкончание табл.

1.2№п/п910Вид интеграла R  x, R  x,Замена переменной (подстановка) dxa 2  x 2 dxx  a tg t или x  a sh tx2  a2xaили x   a ch tcos tРассмотрим подробнее тригонометрические и гиперболические подстановка.1. Интегралы вида  R x, a 2  x 2 dx.Положим x  a sin t или x  a th t.При x   a, a  интеграл берется с помощью подстановкиx  a sin t , t     ,   . Тогда 2 2xt  arcsin , dx  a cos t dt ,a2222a  x  a 1  sin t   a cos 2 t  a cos t  a cos t.При x   a, a  можно применить подстановку x  a th t. То-гдаdx adt ,ch 2tach 2t  sh 2t sh 2t a 2  x 2  a 2 1  2   a.2ch tcht ch t 2.

Интегралы вида R  x,a 2  x 2 dx.Положим x  a tg t или x  a sh t.При подстановке x  a tg t , t    ,  , справедливо2 2axt  arctg , dx dt ,acos 2 t1aaa 2  x 2  a 2 1  tg 2t   a.2cos t cos t cos tПри подстановке x  a sh t справедливоdx  a ch t dt ,a 2  x 2  a 2 1  sh 2t   a ch t.23 R  x,3. Интегралы видаx 2  a 2 dx.aили x   ach t.cos ta, t  0,    ,   справедливоПри подстановке x  22 cos taat  arccos , dx sin t dt ;cos 2 txПоложим x  1a sin t  a sin 2 t  a sin t x 2  a 2  a 2 1.22cos tcos tsgn  cos t  cos t cos t Заметим, что sgn(cos t )  sgn x.При x   a,    можно применить подстановку x  a ch t ,t   0,    ; при x   ,  a  — подстановку x  a ch t ,t   0,    .

Тогдаdx   ash t dt ,x 2  a 2  a 2  ch 2t  1  a sh 2t  ash t.Примерыdx.2x 1Задан интеграл вида  R  x, n ax  b  dx. Положим t  2 x  1.Пример 1.33.xТогда x  1  t 2  1 , dx  tdt и2xdx2x  1tdtdtt 1 2 2 ln C  ln1  t 2  1 ttt112Пример 1.34. x2dx4  x2Задан интеграл видаТогда242x  1  12x  1  1 C..  x   ndxax 21. Положим t  .x bx  c11x  , dx   2 dt ,tt4  x2  4 14t 2  14t 2  1sgnt.t2ttЗаметим, что sgn t  sgn x, sgn x  x  x, 12 dttdtt x 2 4  x 2  sgn t  1 4t 2  1   sgn t  4t 2  1.tt2В получившемся интеграле внесем t под знак дифференциала:dx111tdt  d  t 2   d  4t 2   d  4t 2  1 .288Тогда x2dx  sgn t tdt  sgn t1 d  4t 2  18  4t 2  14  x24t 2  1114  sgn t  2 4t 2  1  C   sgn x 2  1  C 84x14  x21 4  x2  sgn xC   C.xx44Замечание.