Павельева Неопределенный интеграл (Павельева Е. Б. - Неопределенный интеграл), страница 8

Выделим полный квадрат из квадратно2го трехчлена: t 2  t  2  t  1  7 4 и выполним замену21t   . Тогда2t    1 , dt  d 2и11   5711 t  1711  d 57d842 dt  4 t 2  t  2  2  7 4 d   4  2  7 4  8  2  7 4 11 d   2  7 4  57 22 arctg2 7 4887711572C ln   2  7 4  arctg84 7711572t  1ln  t 2  t  2  arctg C.84 7781Таким образом,dxt812 t 3  t  2 dt x  3 x  24 xt6 t4 2t2111 12    t 3   4t  ln t  1  ln  t 2  t  2  2486 4 311111572t  1 arctg  C  2 x 2  3x 3  8 x 4  6 x 6  48 x 12 4 77 112  1111331712x6 3ln x 12  1  ln x  x 12  2  C.arctg277Пример 5.11.  cos x dx.Выполним замену переменной t  x .

Тогда x  t 2 , dx  2tdtи  cos xdx  2  t cos t dt. Проинтегрируем полученный интегралпо частям. Полагая u(t )  t ,dv(t )  cos t dt , имеем du(t )  dt ,v (t )   cos t dt  sin t. Тогда cosxdx  2  t cos tdt  2 t sin t   sin t dt  2t sin t  2 cos t  C  2 x sin x  2 cos x  C .Пример 5.12.x 13 x 2  1 2dx.dx  tgt  11dt 1cos2 tcos3 tПоложим x  tg t , t    ,  . Тогда2 21t  arctg x, dx dt ,cos2 t1111  x 2  1  tg 2t ;2cos t cos t cos tx 1x2 132   tg t  1 cos t dt    sin t  cos t  dt   cos t  sin t  C.821Учитывая, что cos t 1x 1  1x232x2, sin t  tg t cos t  xdx  11x2x1  x211  x2, получим C.Примеры для самостоятельного решения5.1.arcsin x  3 x1 x2dx. 5.2.dx41 x3. 5.3.xdx 1  x 2 1  x2.1  tg x3sin x5.4. cos4 x dx.

5.5.  x ln  4  x 4  dx. 5.6.  sh 3 x dx. 5.7.  1  tg x dx.5.8.5.11.1  cos xdx. 5.9.sin x cos xsin xx 2 arctg xdx. 5.10.1  x2dx. 5.12.x 2 dxx dx  x  12  x 2  2 x  2 .. 5.13.x3 dx x4  x2  2.x2  9dx. 5.16.  sin 2 3 x cos 5 x dx.5.14.  x 2 ln 1  x dx. 5.15.  2sin x cos xdxdx5.17.

. 5.18. . 5.19.  x 4  2 x  x 2 dx.322211xx x  91  sin 2 x5.20.  x 2 4  x 2 dx. 5.21.5.23.dx e2 x  e x  2.5.24.1 x 1dx. 5.22.1 x xx 5 dx  x  12  x 2  1.dx sin 2 x  2 sin x .83ОТВЕТЫ К ПРИМЕРАМДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯГлава 1, поразд. 1.1393 2 93 5 33 8123x x x  C. 1.2.

2 x  6 72 x5  3 9 x 2  C.5852x 244 74e2 x1 x 1x  4  C. 1.4.  x  ln1.3. C. 1.5. e x  x  C.722 x 1x1 421ln  x  x 2    C.1.6.  e 2 x  ln x  C. 1.7.3525 3 x21 C.1.8. ln x  2 arctg x  C. 1.9. 2ctg 2 x  C. 1.10. x5 ln 5 5  2 x ln 21.11. sgn  cos x  sin x  cos x  sin x   C. 1.12. ctg x  tg x  C.11.13. x  13   x  13  C.31.1.3Глава 1, подразд. 1.21.14.2 4255 2  3x2   C. 1.15.15ln 51.17.11arcsin x 2  C. 1.18.ln22 61.19.1.22.1.24.1.27.1.30.84x C. 1.16.3 ln x  23 ln x  2115  x5  13 C. C.12 7  4 x C. 1.21. 2arctg x  C. C . 1.20.4ln 25  ex24  7  2sin x 2ln  arcsin x 3  C.  C. 1.23.

2 1  x 37  7  2sin x 11x C. 1.25. ln th  C . 1.26. x  ln 1  x 2   C.33sin x sin x24 4ctg3 x  C.2 ln  x  1  x   C . 1.28. ln ln  ln x   C . 1.29.32141  x2  1 9 x 2  4  ln x  x 2   C.ln  2 C. 1.31.9392  x 211ln 1  ln 2 x  C. 1.33.  tg  x3  3  x3   C.23 x2  2 x  1 11xClntg.1.34.1.35.ln  C.2cos 2 x2 2  x2  2x  1 1.32.Глава 1, подразд. 1.31111  C.8  97  2 x  197 49  2 x  198 99  2 x  199 1.36.

 1.37. 2x  1  ln 1 x 1  C.66 5 33 2x x  2 x  3 3 x  6 6 x  6ln 6 x  1  C.522444731.39.1  e x   4 1  e x   C. 1.40.  arctg x   C.73111.41. arcsin x  x 1  x 2  C.221.38. x 1 1  x 2 3 3 2374 C.1.42. x  1  3  x2  1  C. 1.43. 3x3148111 x2  91.44. arcsin x  x 1  x 2  C.

1.45. C.22x93Глава 2, подразд. 2.12.1. 2ln xx4x C. 2.2. x ln 2 x  2 x ln x  2 x  C.1 213 x  3x  cos 2 x   2 x  3 sin 2 x  cos 2 x  C.2442 xe2.4.  2sin x  cos x   C.5119 x 2  12 x  3  C.2.5.   2  3x  arcsin  2  3x  332.3. 852.6.

 x ctg x  ln sin x  C . 2.7.2.8. 2.9.1x  cos  3ln x   3sin  3ln x    C.102 x  x 2  2 x  ln 2 2   2 x  2  ln 2  2   C.ln 3 233x 2  6 sin 3 x  6 3 x cos 3 x  C.1 cos 2 x  2sin 2 x  5  C.10e x2.11. 2 1  x arcsin x  2 x  C .2.10.2.12. ctg x ln  sin x   ctg x  x  C . 2.13.1 3 x  1 e x3  C.3Глава 2, подразд. 2.32.14. 3 x 2  4 x  1  11ln x  2 x 2  4 x  1  C.322.15.  ln  x 2  6 x  10   13arctg  x  3  C. ln x  3   C. 10 sin x  3 ln  sin 2 x  8sin x  15   4ln   C. sin x  5 1 41x  2 x 2  3  ln x 2  1  x 4  2 x 2  3  C.2215x 1 C. x  1  x 2  2 x  4  arcsin22523 x 2  6 x  103   x  3 x 2  6 x  10 323 ln x  3  x 2  6 x  10  C.22x  25 arctg  x  1  C.2x  2x  2 22.16.

  ln 2 x  6ln x  1  3arcsin 2.17.2.18.2.19.2.20.2.21.86Глава 33.1.3.2.3.3.3.4.3.5.3.6.3.7.3.8.x3 x 2 4 x  2ln x  5ln x  2  3ln x  2  C.322 ln x  1  3ln x  2  ln x  3  C .3 ln x  5  C.22  x  21112x  1 C.ln x  1  ln  x 2  x  1 arctg3633111 ln x  ln x  1  ln x  3  C.x 1 2231x 1 C.ln  x 2  2 x  5  ln x  1  arctg22213 x  15953x3 arctg C.28  x  6 x  13 1622  x2  2 x  1 2ln  2 arctg  2 x  1  arctg  2 x  1   C.8  x  2x  1  4Глава 44.1.4.2.4.4.4.5.4.6.4.7.5131x  sin 2 x  sin 4 x  sin 3 2 x  C.16464481 6x 1 8x1 cos  cos  C.

4.3.  ctg 2 x  ln sin x  C.32 4221 3tg x  2 tg x  ctg x  C.3333 3 cos16 x  3 cos10 x  3 cos 4 x  C.1654111cos6 x  cos 4 x  cos 2 x  C.2416811 C . 4.8. arctg  3tg x   C.x32  tg287111ln 1  cos x   ln 1  cos x   ln  2  cos x   C.623 5 tg x  4 224.10. arctg   C.3332344.11.  ln cos x x  C.ln tg x  2 255  tg x  2  25254.9.tg3 xtg5 x tg x  x  C. 4.13. C.35xx2 tg  13tg  12122arctgarctg C.4.14.3322 24.15. arctg  2tg x  1  C .4.12.Глава 55.1.142 C. arcsin x 2  3 1  x 2  C.

5.2.  42x  1  4 x  1211 C.  C. 5.4.33cos x cos x11 2x2x ln  4  x 4   x 2  2arctg  C. 5.6. ch 3 x  ch x  C.5.5.322xx5.7.  ln tg x  1  ln cos x  C . 5.8. sgn  cos  2 ln tg  C .241125.9. x arctg x   arctg x   ln 1  x 2   C.2211175.10. ln  x 2  2 x  2   arctg  x  1  C .ln x  1 255  x  1 50255.3.5.11.882xarctg 2 1  x21 2  2  cos 2 x ln   C.2 2  2  2  cos 2 x 15.12.5.13.5.14.5.15.5.16.5.17.5.18.19x x 2  9  ln x  x 2  9  C.2211 2 x2  1 ln  x 4  x 2  2  arctg   C.42 77 1 31111x ln 1  x   ln 1  x   x3  x 2  x  C.6618126x 1ln tg     C. 2 4  sin x111sin 5 x  sin11x  sin x  C.10444111xxxarctg  C.226483 216 x  9 36  x  9 212 2ln2 x  1  x22 x  1  x2 C.3115x 1 C. 4  2 x  x 2  2   x  1 4  2 x  x 2  arcsin3225x 115.20.

2arcsin  x 4  x 2  x3 4  x 2  C.2 241 x1 x  1 x ln C.5.21. 2arctg1 x1 x  1 x5.19. 5.22.31911x2 2 x  ln x  1  ln x  1  C.2284  x  1 4  x  18111ln e x  1  ln  e x  2   x  C.3621115.24.  ln 1  cos x   ln 1  cos x   C .84 1  cos x  85.23.89ЛИТЕРАТУРАЗарубин В. С., Иванова Е. Е., Кувыркин Г. Н.

Интегральное исчисление функций одного переменного: учебник для вузов / под ред.В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. 3-е изд., исправл. М.: Изд-во МГТУим. Н. Э. Баумана, 2006. 528 с. (Серия «Математика в техническом университете»; вып. VI).Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическомуанализу. М.: АСТ; Астрель. 2007. 558 с.Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / подред. Б.

П. Демидовича. М.: АСТ; Астрель, 2007. 495 с.90ОГЛАВЛЕНИЕГлава 1. Непосредственное интегрирование и интегрированиепутем замены переменной ...........................................................1.1. Понятие неопределенного интеграла. Таблица интегралов.Простейшие правила и приемы интегрирования ...............Примеры для самостоятельного решения .....................................1.2. Интегрирование методом подведения под знак дифференциала .............................................................................Примеры для самостоятельного решения .....................................1.3. Замена переменной в неопределенном интеграле.Некоторые специальные подстановки для интегрирования отдельных классов функций ......................................Примеры для самостоятельного решения .....................................Глава 2.

Интегрирование по частям. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен .....................................2.1. Интегрирование по частям ...................................................Примеры для самостоятельного решения .....................................2.2. Интегралы вида  x 2  A dx,  a 2  x 2 dx,x2x2dx  x 2  An..................................x Aa x2.3. Интегрирование функций, содержащих квадратныйтрехчлен .................................................................................Примеры для самостоятельного решения .....................................Глава 3. Интегрирование рациональных дробей ........................Примеры для самостоятельного решения .....................................Глава 4. Интегрирование тригонометрических функций ..........2dx ,24.1. Интегралы вида4.2.