Соболев С.К., Томашпольский В.Я. Векторная алгебра. Методические указания к решению задач по курсу Аналитическая геометрия (2010), страница 11

Значит, z + 3 = 0 , поскольку точка D лежит в плоскостиXOY, отсюда находимz = − 3 . ДалееAB 2 = BC 2 , поэтому( x − 2) 2 + (0 − 3)2 + ( z − 5)2 = 49 + 16 + 9 = 74 ⇒ ( x − 2) 2 = 1 ⇒ x = 1илиx = 3.ВпервомслучаеA(1; 0; − 3), D (8; − 4; 0) ,[ AB × AD ] =i j k= 1 3 8 = 41i + 53 j − 25k ,площадьромбаравна7 −4 350С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.S ABCD = [ AB × AD ] =A(3; 0; − 3), D (10; − 4; 0) ,412 + 532 + 252 =5115 . Во втором случаеij k[ AB × AD ] = − 1 3 8 = 41i + 59 j − 17k ,7 −4 3S ABCD = 412 + 592 + 172 = 5451 .Ответ: A1 (1; 0; − 3), D1 (8; − 4; 0) , S1 = 5115 ; илиA2 (3;0; − 3), D2 (10; − 4;0), S2 =5451 .Пример 30.

Для трех векторов а, b и с известно их смешанное произведение: ( abc ) = λ . Вычислить смешанное произведение ( pqr ) , гдеp = 2a + 5b , q = 3a − c , r = b + 4c .Решение. Вычислим это смешанное произведение, применяя свойства(3.10):( pqr ) = ( (2a + 5b)(3a − c )( b + 4c ) ) == 2 ( a(3a − c )( b + 4c ) ) + 5 ( b(3a − c )( b + 4c ) ) == 2 ⋅ 3 ( aa( b + 4c ) ) − 2 ( ac ( b + 4c ) ) + 5 ⋅ 3 ( ba( b + 4c ) ) − 5 ( bc ( b + 4c ) ) == 0 − 2( acb) − 8( acc ) + 15( bab) + 15 ⋅ 4( bac ) − 5( bcb) − 20( bcc ) == 2( abc ) + 0 + 0 − 60( abc ) − 0 − 0 = − 58( abc ) = − 58λ .Ответ: ( pqr ) = − 58λ . ■Пример 31.

В тетраэдре ABCD известны координаты его вершин:A(4; − 1; 3), B (1; 2; 2), C (3;1;1) и D (2; 3; 4) . Проверить, что точки А, В, С и Dне лежат в одной плоскости, и найти: (а) объем тетраэдра ABCD; (б) площадьграни ACD; (в) высоту тетраэдра, опущенную из вершины В; (г) расстояниемежду прямыми АВ и CD; (д) угол между прямой АВ и плоскостью АСD.Решение. Найдем координаты векторов:AB { − 3; 3; − 1}, AC { − 1; 2; − 2 }, AD { − 2; 4;1}и вычислим их смешанное произведение:−3 3 −1( AB AC AD ) = − 1 2 − 2 = − 6 + 12 + 4 − 4 + 3 − 24 = − 15 ≠ 0.−2 4 1Следовательно, эти векторы не компланарны, и значит, точки А, В, С и Dне лежат в одной плоскости.(а) Объём тетраэдра ABCD равен VABCD = 16 ( AB AC AD ) = 16 − 15 = 52 .(б) Сначала вычислим векторное произведение:i j k[ AC × AD ] = − 1 2 − 2 = 10i + 5 j + 0k = 5{2;1; 0} .−2 4 1Тогда площадь грани ACD равнаS ACD = 12 [ AC × AD ] = 12 ⋅ 5 4 + 1 = 52 5 .51С.К.

Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.(в) Высота hВ тетраэдра, опущенная из вершины В на плоскость проти3Vвоположной грани ACD, равна hB = ABCD = 15: 25 5 = 3 .2S ACD5(г) Расстояние между скрещивающимися прямыми АС и BD вычислим( AC AB BD ) .

Находим координаты векторапо формуле ρ ( AC , BD ) =[ AC × BD ]BD{1;1; 2} и вычислим произведения:−1 2 −2( AC AB BD ) = −3 3 − 1 = − 6 − 2 + 6 + 6 + 12 − 1 = 15;1 1 2i j k[ AC × BD ] = − 1 2 − 2 = 6i + 0 j − 3k = 3{2; 0; − 1}.1 1 2Поэтому ρ ( AC , BD ) =( AC AB BD )[ AC × BD ]= 15 =3 55.(д) Угол α между прямой АВ и плоскостью ACD равен π − β , где β –2угол между вектором AB и нормальным вектором nACD к этой плоскости.Таковым является любой вектор, пропорциональный векторному произведению (уже найденному) векторов AC и AD , например,nACD = 15 [ AC × AD ] = {2;1; 0} . Потомуsin ( AB ^ ACD ) = sin α = cos β = cos ( AB ^ nACD ) ==( AB i nACD )AB ⋅ nACD=−6 + 3 + 0= 3 .9 + 9 +1⋅ 4 +195Ответы: (а) VABCD = 5 ; (б) S ACD =2(д) ( AB ^ ACD ) = arcsin(395).

■525 ; (в) hB = 3 ; (г) ρ ( AC , BD ) = 5 ;5Пример 32. (продолжение примера 24 на стр. 34). В тетраэдре ABCD известны длины рёбер, выходящих из одной вершины С и углы между ними:CA = 4, CB = 5, CD = 6 , ∠ ACB = 60 ° , ∠ ACD = arccos 13 , ∠ BCD = 120 °.Найти: (а) объем тетраэдра ABCD; (б) площадь грани ABD; (в) расстояние отвершины С до плоскости ABD; (г) расстояние между прямыми АС и BD;(д) угол между прямой АС и плоскостью ABD.Решение. Рассмотрим базис, состоящий из векторов CA = a,CB = b, CD = d (см.

Рис. 23) и составим таблицу скалярных произведенийэти векторов друг на друга:52С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.a 2 = 16, b 2 = 25, d 2 = 36 , ( a i b) = 4 ⋅ 5 ⋅ cos 60 ° = 10 , ( a i d ) = 4 ⋅ 6 ⋅ 13 = 8 ,( b i d ) = 5 ⋅ 6 ⋅ cos120 ° = − 15 .(а) Объем тетраэдра равен VABCD =( CA CB CD )16=16( abd ) , где16 1084 1 422( abd ) = Γ ( a, b, d ) = 10 25 − 15 = 2 ⋅ 5 ⋅ 1 1 − 3 = 3200.8 − 15 364 − 3 362Следовательно, VABCD =163200 =2032.(б) площадь грани ABD равна S ABD =[ AB × AD ]2 = Γ ( AB, AD ) =AB122( AB i AD )[ AB × AD ] , где( AB i AD ) .AD2Находим: AB = AC + CB = b − a , AD = d − a , далее:2AB = ( b − a )2 = b2 − 2( a i b) + a2 = 25 − 20 + 16 = 21 ,2AD = ( d − a )2 = d 2 − 2( a i d ) + a 2 = 36 − 16 + 16 = 36 ,( AB i AD ) = ( (b − a) i (d − a) ) = (b i d ) − (a i d ) − (a i b) + a2 == − 15 − 8 − 10 + 16 = − 17.21 − 17= 467 и S ABD = 12 467 .Поэтому Γ ( AB, AD ) =− 17 36(в) Расстояние от вершины С до плоскости ABD равно высоте CH = hCтетраэдра ABCD, опущенной из вершины СDна плоскость грани ABD, она равна3Vρ ( C , ABD ) = hC = ABCD =S ABD.d4021= 20 2 : 2 467 =.HhC467(г) По формуле (3.15), расстояние межbду скрещивающимися прямыми АС и BD СACA CB BD )α(равно ρ (CA, BD ) =.aРис.

23[CA × BD ]AНаходим:( CA CB BD ) = ( ab(d − b) ) = (abd ) − (abb) = (abd ) = 3200 = 40 2 , CA × BD 2= Γ ( CA, BD ) =2CA( CA i BD )( CA i BD ) , гдеBD2CA = a 2 = 16, DB = ( b − d )2 = b 2 − 2( b i d ) + d 2 = 25 + 30 + 36 = 91,( CA i BD ) = ( a i (d − b) ) = (a i d ) − (a i b) = 8 − 10 = − 2 , значит,53BС.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.16 − 2= 1452 ⇒ [CA × BD ] = 1452 = 22 3− 2 91Следовательно, ρ (CA, BD ) = 40 2 = 20 6 .3322 3(д) Угол α между прямой АС и плоскостью ABD – это угол между АС и её ортогональной проекцией АН на эту плоскость, т.е.

α = ∠ CAH , поэтомуsin α = CH , где CH = hA уже найдена в п. (в), поэтомуCAsin α = 40 2 : 4 = 10 2 .467467Ответы: (а) 202 ; (б) 12 467 ; (в) 40 2 ; (г) 20 6 ; (д) arcsin 104672 .333467Γ ( CA, BD ) =()Пример 33. Для каждой грани тетраэдDра построили вектор, перпендикулярныйэтой грани, направленный во внешнюю сторону и по длине равный площади этой граN ACDни. Доказать, что сумма этих четырех векN BCDторов равна нулю.N ABDРешение. Пусть в тетраэдре ABCD векbacторы a = DA, b = DB и c = DC образуют,Cнапример, левую тройку.

Обозначим черезAN ABC , N ABD , N ACD и N BCD векторы, перпендикулярные граням АВС, ABD, ACD иN ABCBРис.24BCD соответственно, направленные вовне иравные по длине площади соответствующейграни (см. Рис. 24). Тогда, очевидно,N ABC = 12 [ AC × AB ] , N ABD = 12 [ DA × DB ],N ACD = 12 [ DC × DA] иN BCD = 12 [ DB × DC ] . Обозначим далее: [a × b ] = p , [b × c ] = q , [c × a] = r .Находим: AC = c − a , AB = b − a , поэтому[ AC × AB ] = [( c − a) × ( b − a)] = [c × b] − [a × b] − [c × a] + [a × a] = −q − p − r;[ DA × DB ] = [a × b ] = p , [ DC × DA] = [c × a] = r ,[ DB × DC ] = [b × c ] = q .Следовательно,N ABC + N ABD + N AС D + N B СD = 12 ( ( − q − p − r ) + p + r + q ) = 0 . ■Задачи для самостоятельного решения к главе 3.3. 1. Даны три вектора a{3; 4; − 2}, b{1; − 2; 5} и c{4; 2; − 1} .

Найти(а) p = [b × c ] (б) повторное векторное произведение q = [a × [b × c ]] ипроверить полученный ответ с помощью формулы «БАЦ – ЦАБ».3. 2. Найти координаты единичного вектора, перпендикулярного плоскости АВС, где A(4; 7; − 2), B( − 1; 3; 2) и C (3; 4; 2) .54С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.3. 3. Найти площадь треугольника АВС, где A(2; 3; 7), B( − 1;1; 4) иC (3; 2; 6) .3. 4.

Про векторы a и b известно, что a = 6, b = 7, ( a ^ b ) = 30 ° . Найтиплощадь параллелограмма, построенного на векторах p = 2a + 3b иq = a − 4b .3. 5. Найти смешанное произведение ( abc ) векторов a{− 2; 4; 5} , b{3;1; 2}и c{1; 3; 4} .3. 6. В тетраэдре ABCD известны координаты его вершин: A ( − 1;1; 2 ) ,B ( 0; 2; 3 ) , C ( 1; 4; 2 ) , D ( − 3; 4;1 ) . Найти: (а) объем тетраэдра;(б) площадь грани BCD; (в) высоту, опущенную на грань BCD; (г) уголмежду прямой ВС и плоскостью ABD; (д) расстояние между прямымиАС и BD.3. 7.

Даны три вектора а, b и с, известно, что ( abc ) = λ . Вычислить смешанное произведение ( pqr ) , где p = 4a − 3b , q = 2a − 7c , r = 3b + 5c .3. 8. Найти угол между ненулевыми векторами а и b, если известно, чтоa × b = k ( a i b) , где k∈ .3. 9. Доказать тождество [a × b]2 + ( a i b )2 = a 2 b 2 .3. 10. Найти ( a i b ) , если a = 5 , b = 4 , и [a × b ] = 10 .3. 11. Дана левая тройка векторов a , b и c . Найти (abc ) , если a = 2 ,b = 5 , c = 3 , a ⊥ b , a ⊥ c и ∠(b; c ) = 3π 4 .3. 12. Упростить выражение:[ i × ( 2 j + 3k )] − [ j × ( 4i − 5k )] + [( i − 6 j + 2k ) × k ] .3. 13. Найти значение выражения4( ijk ) − 2( jik ) + 3( iki ) + 7( kij ) + ( jki ) − 8( kji ) − 13( kkj ) + 9( ikj ) .3.

14.В ромбе ABCD известны координаты вершин A( −4; 5; 4) ,B( −3;11; 3) , вершина С лежит в плоскости YOZ, а вершина D – вплоскости XOZ. Найти координаты вершин С и D и площадь ромба.3. 15. В квадрате ABCD известны координаты вершин A(7;1; 8) ,B(5; − 2; 2) , вершина С лежит в плоскости XOY. Найти координаты вершин С и D и площадь квадрата.3. 16.

В трапеции ABCD, в которой AD – большее основание, известныкоординаты вершин A( −1; 2;11) , B(3; 5; 4) и точки пересечения диагоналей E (9; 7; −4) . Найти координаты вершин С и D, если площадь трапеции равна 49 3 .23. 17. В параллелограмме ABCD известны координаты вершин A(1; 8; 2) ,B(4; 3; − 5) , вершина С лежит в плоскости XOZ, а вершина D – на осиOY. Найти координаты вершин С и D и площадь параллелограмма.55С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.3. 18.