Соболев С.К., Томашпольский В.Я. Векторная алгебра. Методические указания к решению задач по курсу Аналитическая геометрия (2010), страница 13

Наука,1989. – 288 с.59С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.ОтветыОбозначения: ♣ – указания11, – применить.К главе 1.1. 1. (а) AF ; (б) 0.1. 4. ♣ p − 3q + r = 0 .1. 5. ♣ (б) задачу 1. 11; (в) Выразить через радиус-векторы треугольникавершин радиус-векторы точек, делящих медианы треугольника в отношении 2 : 1, считая от вершины.1. 6.

♣ (а) Выразить через радиус-векторы вершин тетраэдра радиусвекторы точек, делящих медианы тетраэдра в отношении 3 : 1 , считаяот вершин; (б) разложить по базису AB, AD, AA1 векторы AK , AL ,AM и AN , где точки K, L, M и N – середины диагоналей параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 .1.

7. ♣ Разложить данные векторы по базису CA, CB .1. 8. ♣ Разложить данные векторы по базису CA, CB .CD = q − p ; (б) q − 2 p ; (в) p + q ; (г) 2q − p ; (е) 2q ; (ж) 2q − 2 p .1. 10. (а) λ ( q − p) ; (б) (λ − 1)q − λ p ; (в) λ − 1 q − λ p ; (г) λ q − (λ + 1) p1. 9.(λ)( λ = 2 cos 36 ° = = 12 (1 + 5 ).1. 11. ♣ Разложить данные векторы по векторам DA, DB, DC .1. 12. 0.1. 13.

λ = 1, λ = − 2 .1. 14. α = 31 , β = 3 2 .961. 15. ( 1 − λ1 ) AB − AD .1. 16. ♣ Если М – середина хорды АВ, то OM =12( OA + OB ) .1. 17. ♣ Разложить данные векторы по базису CA, CB .1. 18. ♣ Разложить данные векторы по базису DA, DB, DC .1. 19. ♣ (для тетраэдра) Вычесть разложения радиус-векторов точек Е и Е1через радиус-векторы вершин соответствующих тетраэдров.1. 20.

♣ Точка М лежит на прямой АВ ⇔ AM = λ ⋅ AB при некотором λ ∈ .1. 21. ♣ Пусть CA1 : CB = α , AB1 : AC = β , BC1 : BC = γ , A1M : AA1 = xB1M : BB1 = y , C1M : CC1 = z , a = CA, b = CB . Тогда:CM = x a + (1 − x )α b = (1 − y )(1 − β )a + y b = (1 − z ) ( γ a + (1 − γ )b ) . Выразить отсюда γ, х, у и z через α и β.11Выбор значка ♣ для «указаний» продиктован только его красотой.60С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский.

Векторная алгебра.1. 22. ♣ Пусть BA1 : BC = α , CB1 : CA = β , AC1 : AB = γ , выразить векторAA1 через векторы b = AB1 , c = AC1 и задачу 1. 20.1. 23.βα +βAB − α α+ β CD .1. 24. 3.1. 25. 13 ( p + q + r ) .64 r.1. 26. BC = 11p − 10q + 11111. 27. DM : MG = 4 : 7, EM : MF = 6 : 5 .631. 28. EM : MB1 = 7 : 6, BM = 13p + 13q.161 ; (б) 45 21 ; (в) M ( 3; 20; 16 ; (г) P ( 72 ; 7; 6 ) .3 3 )1.

30. C (8; 8; 8), D (9;16;13) .1. 29. (а)121. 31. (а)1a2( д)( ж)1. 32.1. 33.1. 34.1. 35.1. 36.1. 37.+ 12 b ; (б)sin α2cos β2 sinsin αsin α + sin β( α +2 β )cosαa2sin β sin(α + β )a+sin βa + sin α +sin β b ; (в) tg α ⋅ a + tg β ⋅ b ; (г)sin β2cos α2 sin( α +2 β )1a3+ 13 b ;b ; (е) ctg β ctg γ ⋅ a + ctg α ctg γ ⋅ b ;cos β+ 2sin α sin(α + β ) b .(б) N {7 : 6 : 15} .0.M { − 3 : − 9 : 8 : 16} .a.b.(а) P{sin α : sin β : sin γ } ♣ см. Пример 4; (б) Q{sin 2α : sin 2 β : sin 2γ }♣ CQ =12sin γα CA + cos β CB( cos)sin βsin αи тригонометрическое тождествоsin 2α + sin 2 β + sin 2γ = 4sin α sin β sin γ ; (в)H {tg α : tg β : tg γ }♣CH = ctg γ ( ctg β ⋅ CA + ctg α ⋅ CB ) и тригонометрическое тождествоctg α ctg β + ctg α ctg γ + ctg β ctg γ = 1 .1.

38. ♣ задачу 1. 36.(б) и 1. 32.1. 39. 0 задачу 1. 36.(в) и 1. 32.1. 40.{ α α+α212:β2β1 + β 2(: 1 − α α+2α − β11. 41. ( ρ , AB ) = hC ⋅ 1 − dh A − dhB ,Aβ21 + β22C{ dhAA) }.:dBhB(: 1−dAhAd− hBB)} .1. 42. ♣ OK = KD OA + KE OB + KF OC , где h – высота треугольника.hhh1. 43. M {α1β1 : α 2 β 2 : α1β 2 } .1. 44. det( P ) = 0 , где Р – матрица 3-го порядка, составленная из барицентрических координат данных точек.61С.К.

Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.1. 45. det( P ) = 0 , где Р – матрица 4-го порядка, составленная из барицентрических координат данных точек.1. 46. { m A : mB : mC : mD } .1. 47. {3:1: 6} .AB( m ) = {6; 9;15} ;1. 48. (б) (1°) N (15; − 14;18) ; (2°) K (0; 0; − 1) ; (в) (1°) PrBCDBCDABC(2°) PrAB( m ) = {5; − 10; − 5} ; (3°) PrBD(m) = 3 6 .1. 49. (а) − 23 a − 13 d ; (б) 14 b ; (в) P{0 :1: 5 : 2}, Q{1;0;2;0} .1. 50.

Векторы а, b и с суть проекции вектора т на прямую ОА, ОВ и ОС параллельно плоскости ОВС (соответственно ОАС и ОАВ).1. 51. ♣ Вычесть явные выражения для MO и M P .1. 52. (а) в его середине; (б) и (г) в точке пересечения диагоналей; (в) в центре; (д) в середине отрезка, соединяющего центроиды оснований.1.

53. (а) { (b + c) : ( a + c ) : ( a + b) } ;(б) { (sin β + sin γ ) : (sin α + sin γ ) : (sin α + sin β ) } или{cos α2 cos ( β 2−γ ) : cos β2 cos ( γ −2α ) : cos γ2 cos ( β 2−α ) } .1. 54. (а) Q1 ( 13; 11 ; 4 ) ; (б) Q2 ( 92 ; 4; 17.4 )3 31. 55. В центре вписанного шара второго тетраэдра, вершины которого совпадают с точками пересечения медиан граней данного тетраэдра.1.

56. {(b + c + d ) : ( a + c + e) : ( a + b + f ) : ( d + e + f )} .1. 57. {1 : 1 : 1 : 1}.1. 58. {1 : 1 : 1 : 1}; (б) { S BCD : S ACD : S ABD : S ABC } .2. 1.2. 2.2. 3.2. 4.2. 5.2. 6.2. 7.2. 8.2. 9.К главе 2.(а) и (б) нет, т.к. лишены смысла.♣ Раскрыть скобки в левой и правой частях доказываемых тождеств.x cos α + y cos β + z cos γ .(а) m{ 3; 3; 3} ; (б) m{− 3; − 3; − 3} .p { 2 3; − 2; 2 5 } или p { 15; − 1; 2 5 } .α = 3π , β = π , γ = π или α = π , β = π , γ = π .424236cos ϕ = cos α1 ⋅ cos α 2 + cos β1 ⋅ cos β 2 + cos γ 1 ⋅ cos γ 2 .(а) x = R cos θ cos ϕ , y = R cos θ sin ϕ , z = R sin θ ; (б) cos α = cos θ cos ϕ ,cos β = cos θ sin ϕ , cos γ = sin θ .R ⋅ arccos ( cos θ1 cos θ 2 cos(ϕ1 − ϕ 2 ) + sin θ1 sin θ 2 ) ♣ кратчайший путь поповерхности шара между двумя её точками есть дуга окружности, являющейся сечением сферы плоскостью, проходящей через её центр иэти две точки, задачи 2.7 и 2.8 (б).2.

10. − 9 .762С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.2. 11. − 17 .1292. 12. (а) − 1 ; (б) p 2; − 13 ; 11 .65 52. 13. ♣ (в) Пусть Н – точка пересечения высот АА1 и ВВ1, рассмотреть векторы a = HA, b = HB и c = HC , вывести ортогональность векторов{}с и AB из ортогональности пар векторов a, BC и b, AC ; (г) рассмотреть скалярный квадрат суммы векторов OA + OB + OC , где О центрописанной окружности треугольника АВС.2. 14.

♣ Пусть OH = OA + OB + OC , доказать, что HA ⊥ BC , HB ⊥ AC .2. 15. ♣ Пусть О – центр описанной окружности. Тогда AH = OB + OC ,BC = OC − OB .2. 16. ♣ ( HA i HB ) − ( HB i HC ) = ( HB i CA ) = 0 .()2. 17. ♣ OM = 13 OA + OB + OC и задачу 2. 14.2. 18. ♣ Пусть p = OA, q = OB, r = OA , задачу 2. 14 и OH 2 + a 2 + b2 + c 2 == ( p + q + r )2 + ( q − r ) 2 + ( p − r ) 2 + ( p − q ) 2 .2.

19. ♣ Пусть a = OA, b = OB, c = OA , тогда AB 2 + BC 2 + AC 2 + 9 ⋅ OM 2 == ( b − c ) 2 + ( a − c )2 + ( a − b)2 + 9 ⋅ ( 13 ( a + b + c ) )(2)2. 20. ♣ OM = 14 OA + OB + OC + OD .2. 21. r{4; − 4; 8} .2. 22. (а) λ = − 14 ; (б) λ = 2 .2. 23. (а) λ = 3 ; (б) λ = 45 .2. 24. arccos ( − 14 ) .2. 25. ♣ Разложить векторы сторон и медиан по базису a = CA и b = CB .(1 + k 2 )( m 2 − n 2 )2. 26..2k ( m 2 + n 2 )2.

27. 281 .2. 28. arccos 13.1513 .5 102. 30. (а) a ⊥ b ⇔ ( a i b) = 0 ; (б) ( a i b) > 0 ; (в) ( a i b) < 0 .2. 31. a c или a ⊥ b ⊥ c .2. 29.2. 32. задачу 2. 19.2. 33. ♣ Если О – середина АС, то MA2 + MC 2 = 2 ⋅ MO 2 + 12 AC 2 .63С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский.

Векторная алгебра.2. 34. (а) центр описанной окружности; (б) точка пересечения медиан;(в) точка пересечения высот; (г) центр вписанной окружности.2. 35. 23 .752. 36. arccos 3 .5; (б) x{1; 2} ; (в) x{−2; 6} ; (г) x1{2. 37. (а) x1{4; −3}, x2 { 75 ; 245}x2 {−2029;−2029;8},298}.292. 38.

x = α ⋅ a + β ⋅ b , где α =p b 2 − q ( a⋅b )2 2a b − ( a⋅b )2,β =q a2 − p ( a⋅b )a 2 b2 − ( a⋅b )2.2. 39. 1 + 2 xyz − x 2 − y 2 − z 2 = 0 . ♣ свойство определителя Грама.2. 40. ♣ Упорядочить эти векторы так, чтобы изображающие их направленные отрезки АВ, ВС и CD обладали свойством: либо АВ и CD либо ВСи AD имеют общую точку (векторы AB, BC и CD равны векторамa, b и c , но, возможно, в другом порядке).2. 41.

♣ Пусть a = p , b = q , c = r , x = cos( q ^ r ), y = cos( p ^ r ) , z = cos( p ^ q ) .При фиксированных а, b, c выражение p + q + r + p + q + r − p + q −− p + r − q + r есть функция f ( x, y , z ) , определённая в трехмернойвыпуклой области D, заданной неравенствами x ≤ 1 , y ≤ 1 , z ≤ 1 ,1 + 2 xyz − x 2 − y 2 − z 2 ≥ 0 (см. пример 23), её граница – поверхность Sвнутрикубаx ≤ 1, y ≤ 1, z ≤ 1 ,заданнаяуравнением1 + 2 xyz − x 2 − y 2 − z 2 = 0 , соответствующая компланарным векторам p,q и r. Показать, что f ( x, y , z ) монотонна по каждому переменному, ипоэтому для каждой точки M ( x, y , z ) ∈ D найдется точка M 1 ( x1 , y1 , z1 )на поверхности S, для которой f ( x, y, z ) ≥ f ( x1 , y1 , z1 ) , далее задачу2.

40.2. 42. ♣ (а) и (б): разложить векторы диагоналей параллелепипедаABCDA1B1C1D1 по базису a = AA1 , b = AB, c = AD ; (в) Пусть a = DA ,b = DB , c = DC , тогда AB ⊥ CD ⇔ ( ( b − a) i c ) = 0 ⇔ ( a i c ) = ( b i c ) ;(г) см. пример 20; (д) пусть О – центр вписанного в тетраэдр шара, касающегося его граней в точках K, L, M и N, рассмотреть скалярныйквадрат суммы радиус-векторов этих точек, точное равенство справед-ливо только когда противоположные рёбра попарно равны; (е) теорему косинусов для тетраэдра; (ж) Пусть О – центр описанной сферы,тогда сумма радиус-векторов вершин относительно О равна нулю;(з) Если М – точка пересечения медиан грани АВС тетраэдра ABCD, тоDM =13( DA + DB + DC ) ; (и) задачу 1.