Соболев С.К., Томашпольский В.Я. Векторная алгебра. Методические указания к решению задач по курсу Аналитическая геометрия (2010), страница 14

11.64С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.2. 43. ♣ Пусть a, b, c , d – радиус векторы вершин А, В, С и D относительнопроизвольной точки отсчета О, тогда условие означает, что( a i b ) + ( c i d ) = ( a i c ) + ( b i d ) = ( a i d ) + ( b i c ) ; (а) Пусть О – центр описанной сферы, точка Н – конец вектора OH = 12 ( a + b + c + d ) , тогдаa = b = c = d , показать, что вектор DH = 12 ( a + b + c − d ) ортого-наленвекторамAB = b − a11= 4 ( a + b + c + d ) = 2 OH .иAC = c − a ;(б)OM =2. 44. ♣ Разложить указанные векторы по векторам a = DA, b = DB, c = DC .2. 45.

♣ см. ♣ к задаче 2. 33.2. 46. ♣ задачу 2. 20.2. 47.2. 48.2. 49.2. 50.(а) 108; (б) 841; (в) 4356; (г) 1800.0.(а) не изменится; (б) умножится на λ 2 ; (в) и (г) не изменится.0 ♣ векторы p1 , p2 и p3 компланарны.19 ; (б) 3 .32 72212. 52.

− 2 ( α + β + γ 2 ) .2. 51. (а)2. 53. d = x a + y b + z c ,гдеx=m sin 2 α + nr + kqmr + n sin 2 β + kp,, y=∆∆mq + np + k sin 2 γ, p = cos β cos γ − cos α , q = cos α cos γ − cos β ,z=∆r = cos α cos β − cos γ , ∆ = 1 + 2 cos α cos β cos γ − cos2 α − cos2 β − cos2 γ .2. 54. cos ϕ =a 2 + d 2 − b2 − f 2♣ теорему косинусов для тетраэдра .2ce2. 55. 2 15 .2.

56. 3 7 ♣ задачу 2. 2.(г) .2. 57. 24 ♣ задачу 2. 2.(в).2. 58. ♣ Разложить указанные векторы по векторам a = DA, b = DB, c = DC .2. 59. ♣ задачу 2.58. Точное равенство только когда ABCD – параллелограмм.2. 60. ♣Пустьa = OA, b = OB, c = OC ,тогдаOD = a + c − bиa2 = b2 = c 2 = R 2 .2. 61.

♣ Пусть a, b и c – единичные векторы, направленные по рёбрам трехгранного угла, тогда векторы ( a + b ), ( a + c ) и ( b + c ) направлены по65С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.биссектрисам его плоских углов, а векторы ( a − b ), ( a − c ) и ( b − c )направлены по биссектрисам смежных углов.2. 62. ♣ Пусть a = OA, b = OB, c = OC , тогда равенство трех указанных отрезков означает, что ( a + b − c )2 = ( a − b + c )2 = ( −a + b + c ) 2 , откуда(a i b) = (a i c ) = (b i c ) .2. 63.

♣ Пусть a, b, c , d – радиус-векторы вершин А, В, С и D относительноцентра описанной сферы, тогда условие означает, что вектор1( a + b − c − d ) ортогонален векторам ( a − b ) и ( c − d ) , а вектор2+ c − b − d)ортогонален векторам ( a − c ) и ( b − d ) , откуда( a i b ) = ( c i d ), ( a i c ) = ( b i d ), ( a i d ) = ( b i c ) .2. 64. arccos ( − 13 ) ♣ Пусть a, b, c и d – единичные вектора, направленные поданным лучам, и d = α a + β b + γ c , умножить это разложение скалярнона каждый из этих четырех векторов.12. 65. OD =α ⋅ OA + β ⋅ OB + γ ⋅ OC ) , где α = b2 c 2 , β = a 2 c 2 ,(α + β +γ1 (a2γ = a 2 b2 .2. 66. ♣ Рассмотреть скалярный квадрат суммы единичных векторов, направленных по этим лучам.2. 67.

♣ См. ♣ к задаче 2. 33.2. 68. ♣ Пусть a, b и c – радиус-векторы вершин А, В и С относительно центраописаннойокружностиО,тогдаa = b = c = R,CK = 12 ( a + b) − c , OE = c + λ ( 12 ( a + b ) − c ) , и условие OE = R 2 ⇒2⇒ 2λ ( 12 (( a i c ) + ( b i c )) − c 2 ) + λ 2 ( 12 ( a + b) − c ) = 0 ⇒2⇒ AC 2 + BC 2 = ( a − c )2 + ( b − c )2 = 4 R 2 − 2( a i c ) − 2( b i c ) == 2λ ( 12 ( a + b) − c ) = 2CK ⋅ CE .2.

69. Пусть a, b, c , d – радиус-векторы вершин А, В, С и D относительноцентраOописаннойсферырадиусаR,тогда2OE = d + λ ( 13 ( a + b + c ) − d ) и OE = R 2 .22. 70. 5 ♣ Диагонали граней образуют между собой углы 60°.2. 71. 2 55 .2. 72. ♣ Пусть тетраэдр построен на векторах p, q и r, тогдаp − q = r , p − r = q , q − r = p . Искомый параллелепипед построен навекторах а, b и с таких, что b + c = p, a + c = q, a + b = r . Выразить а, b,с через p, q , r и показать, что ( a i b) = ( a i c ) = ( b i c ) = 0 .2. 73. ♣ Пусть тетраэдр построен на векторах p, q и r, тогда( p i q) = ( p i r ) = ( q i r ) .

Искомый параллелепипед построен на векторах66С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.а, b и с таких, что b + c = p, a + c = q, a + b = r . Показать, чтоa=b=c.К главе 3.3. 1. (а) p{− 8; 21;10} ; (б) q{82; − 14; 95} .3. 2.±1{− 4;16;11} .393= 12 62 .3.

3. S3. 4. S = 231 .3. 5. 4.3. 6. (а) V = 11 ; (б) =63. 7. 114λ .3. 8. arctg k .3. 9.3. 10.3. 11.3. 12.3. 13.3. 14.3. 15.1293 ; (в) h = 11 ; (г) arcsin 6117 ; (д) 19 .933 26♣ [a × b]2 = a 2 ⋅ b2 ⋅ sin 2 ( a ^ b) .± 10 3 .− 15 2 .− i − 4 j + 6k .13.C1 (0; 6;1), D1 ( − 1; 0; 2), S1 = 819 ; C2 (0; 6; 5), D2 ( − 1; 0; 6), S2 =32C1 (2; 4; 0) D(4; 7; 6), C2 ( 152; − 13; 0 ) , D2 ( 178; 7 ; 6 ) , S = 49 .1313 133.

16. C (13; 9; − 10), D(24;12; − 24)S ABCD =3. 17.3. 18.3. 19.3. 20.3. 21.3. 22.3. 23.3. 24.3. 25.3. 26.♣ПустьADBC= λ > 1,603 .тогда(λ + 1)2⋅ S ABE .λC (3; 0; − 7), D (0; 5; 0), S = 486 .(а) V = 9 ; (б) S = 6 3 ; (в) h = 23 3 ; (г) = 23 3 .(а) λ ∈ { 2; 1 7 } (б) λ ∈ ( 1 7 ; 2 ) ; (в) λ ∈ ( −∞; 1 7 ) ∪ ( 2; +∞ ) .λ ∈ { − 3; 3 2 } .λ ∈ { 4; 4 13 } .− 38 .λ = −2 .α = 5.α = −2 .( 1 − αβγ )V0 .1 x13.

27. S ABC = 12 1 x21 x3y1y2 . 12y33. 28. (а) c ( a i b) − a( b i c ) ; (б) a2 b − ( a i b)a ; (в) b( a i c ) − a( b i c ) .3. 29. ♣ Векторы а, b и с ортогональны вектору п.3. 30. a c или ( a i b) = ( b i c ) = 0 .67С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.3. 31. ♣ r = −( p + q) .3. 32. ♣ Показать, что [a × b] = 0 .3. 33. ♣ Умножить левую и правую часть данного равенства скалярно на вектор r.3.

34. a = b = c = 1 , a ⊥ b ⊥ c ⊥ a .3. 35. ( pqr ) = p ⋅ q ⋅ r ⋅ sin α ⋅ sin β , где α = ( p ^ q ) , β -– угол между вектором r и плоскостью векторов р и q. Точное равенство только еслиα = β = 90 ° .3. 36. ♣ Показать, что [ CA × CB ] = [( a − c ) × ( b − c )] = 0 .3. 37. ♣ Вычислить ( n i AB ) = ( n i ( b − a)) и ( n i AC ) .3. 38. и 3.39. ♣ формулу 3.7.3. 40. ♣ задачу 3.38(д).3. 41. ♣ задачу 3. 40.3. 42.

♣ ( ( a + b)( b + c )( c + a) ) = 2( abc ) .2S⋅S⋅ sin ϕ3. 43. VABCD = ABC ABD.3 AB3. 44. ♣ (а) см. задачу 3. 39(а); (б) разложить определитель по первой строкеи задачу 3. 44(а) и 3. 39(е).3. 45. ♣ (а) и (б) задачу 3. 9; (в) задачу 3. 35; (г) неравенство( abc ) ≤ [a × b] ⋅ c и формулу 3.8. (д) три раза задачу 3.44(г).3. 46.

Если a = b = 0 , то х – любой вектор; если a ≠ 0 и ( a i b) = 0 , тоx=1 [b × a ] +a2λ a , λ ∈ ; в остальных случаях решений нет.3. 47. При a = b = c = d = 0 или a 2 + b 2 > 0 и ( a i c ) = ( b i d ) , ( b i c ) = −( a i d ) .Если a = b = c = d = 0 , то х, у – любые векторы. Если a 2 + b 2 > 0 , тоx = 2 1 2 ( [c × a] + [d × b] ) + λ a + µ b a +b λ , µ ∈ .y = 2 1 2 ( [a × d ] + [c × b] ) + µ a − λ b a +b3. 48. ( bcd )a + ( adc )b + ( abd )c + ( acb)d = 0 ♣ задачу 3.39 (б).( bcd )( adc )( abd ), β = ( abc ) , γ = ( abc ) .( abc )(b id )(c id )q + ( abc ) r ♣ задачу 3.

39(е).( abc )3. 49. d{α ; β ; γ } , где α =3. 50. d =(a i d )( abc )p+3. 51. V = 16 abc 1 + 2 cos α cos β cos γ − cos2 α − cos2 β − cos2 γ .3. 52. ♣Пример33,возвестивскалярныйквадратравенствоN ABC = − ( N ABD + N A С D + N B С D ) .68С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.3.

53. ♣ задачу 3. 52.3. 54. ♣ (а) Пусть а, b и с – единичные векторы, направленные по рёбрамтрехгранного угла, ( b ^ c ) = α , ( a ^ c ) = β , ( a ^ b) = γ . Тогда, согласно( [a × c ] i [b × c ] )задаче3. 38(б),cos θ = cos ( [a × c ]^[b × c ] ) ==[a × c ] ⋅ [b × c ]c 2 ( a i b) − ( a i c )( b i c ).

(б) пусть p, q, r – единичные векторы, перпенsin β sin αдикулярные граням трехгранного угла, и ( q ^ r ) = ϕ , ( p ^ r ) = ψ ,( p ^ q ) = θ , тогда векторы [q × r ], [ r × p] и [ p × q] сонаправлены век([q × r ] i [ r × p])торам а, b и с соответственно ⇒ cos γ ==[q × r ] ⋅ [ r × p]=( q i r )( p i r ) − r 2 ( p i q), (в) задачу 3. 38(а): ( abc ) = c ( abc ) =sin ϕ ⋅ sinψаналогично,= [ [a × c ] × [b × c ] ] = sin α ⋅ sin β ⋅ sin θ ;( abc ) == sin α ⋅ sin γ ⋅ sinψ = sin β ⋅ sin γ ⋅ sin ϕ .=3. 55. ♣ задачу 3.54(а).3. 56.

♣ задачу 3.54(б).3. 57. ♣Пример33,рассмотревскалярныйквадратравенстваN ABC + N ABD + N A СD + N B СD = 0 , гдеN ABC = N ABD = N A СD == N B СD , доказать, что противоположные двугранные углы тетраэдрапопарно равны, затем задачу 3.55.3. 58. ♣ См. ♣ к задаче 3.57.3. 59. ♣ Рассмотреть тетраэдр, все грани которого – равные треугольники суглами α, β и γ, и пример 33 и задачи 2.42(д) и 3.54.3. 60. ♣ Указанное свойство аддитивно в том смысле, что если произвольныймногогранник разрезать плоскостью на два других многогранника, длякоторых оно верно, то это свойство справедливо и для исходного многогранника; пример 33. Выпуклый многогранник можно разрезать напирамиды, а каждую пирамиду составить из тетраэдров.69.