Соболев С.К., Томашпольский В.Я. Векторная алгебра. Методические указания к решению задач по курсу Аналитическая геометрия (2010), страница 9

В каком случае достигается точное равенство?(д) сумма косинусов двугранных углов при всех шести рёбрах тетраэдра не превосходит 2. В каком случае достигается точное равенство?(е) два отрезка АВ и CD (на плоскости или в пространстве) перпендикулярны тогда и только тогда, когдаAC 2 + BD 2 = AD 2 + BC 2 .(ж) центр описанной сферы тетраэдра совпадает с его центроидом тогда и только тогда, когда его противоположные рёбра попарно равны;(з) длина медианы тетраэдра, выходящей из некоторой его вершины,39С.К. Соболев, В.Я.

Томашпольский. Векторная алгебра.меньше одной трети суммы трех его рёбер, выходящих из этой же вершины;(и) отрезок, соединяющий середины двух противоположных рёбер тетраэдра меньше одной четвертой суммы остальных его четырех рёбер.2. 43. В тетраэдре ABCD известно, что AB ⊥ CD , AC ⊥ BD . Доказать,что: (а) все четыре высоты тетраэдра (или их продолжения) пересекаются в одной точке (ортоцентре Н); (б) точка M пересечения медиантетраэдра является серединой отрезка, соединяющего ортоцентр Н ицентр описанной сферы О.2.

44. Доказать, что для любых четырех точек в пространстве A , B , C иD выполняется равенство ( AB i CD ) + ( AC i DB ) + ( AD i BC ) = 0 .2. 45. Центр сферы совпадает с точкой пересечения диагоналей параллелепипеда. Доказать, что сумма квадратов расстояний от произвольнойточки сферы до всех вершин параллелепипеда постоянна.2. 46. Центр сферы совпадает с точкой пересечения медиан тетраэдра.Доказать, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки сферы до всех вершин тетраэдра постоянна.2.

47. Записать и вычислить определитель Грама совокупности векторов:(а) а и b , где a = 3, b = 4, ( a ^ b) = 60 ° ;(б) a{2; − 5}, b{3; 7} ;(в) a{3; − 1; 4}, b{2; 3; − 1} и c{2; 5; 3} .(г) а, b и с, где a = 3, b = 4, c = 5, ( a ^ b) = 60 °, ( a ^ c ) = 90 ° ,( b ^ c ) = 120 ° .2. 48. Чему равен определитель Грама произвольных п геометрическихвекторов10 при n ≥ 4 ?2. 49. Как изменится определитель Грама совокупности векторовa1 , a2 , ..., an , если:(а) переставить местами два вектора;(б) один из векторов умножить на число λ ;(в) один из векторов заменить суммой этого вектора с каким-либо другим вектором этой совокупности;(г) один из векторов заменить суммой этого вектора и линейной комбинации других векторов этой совокупности.2. 50. Пусть а и b – некоторые векторы, λ1 , λ2 , λ3 , µ1 , µ2 , µ3 – произвольные числа, p1 = λ1a + µ1b , p2 = λ2 a + µ2 b , p3 = λ3a + µ3b.

Вычислитьопределитель Грама векторов p1 , p2 , p3 .2. 51. В тетраэдре ABCD известны длины рёбер, выходящие из однойвершины и углы между ними: AB = 2, BC = 3 , BD = 4 , ∠ ABC = 60 ° ,10В этом пособии все рассматриваемые векторы геометрические. Но в курсе линейной алгебры,которую вы будете изучать в следующем семестре, определитель Грама можно составить не только из геометрических векторов, но и из любых «векторов» (т.е. элементов) Евклидова пространства, и тогда ответ в этой задаче будет другим.40С.К.

Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.∠ ABD = arccos 14 , ∠ CBD = arccos ( − 13 ) . Точки М и N расположены нарёбрах ВС и AD соответственно и делят их в отношенииBM : MC = 2 :1 , AN : ND = 1: 3 . Найти: (а) длину отрезка MN; (б) косинус угла между прямыми АС и BD.2. 52. Векторы p , q и r удовлетворяют условию p + q + r = 0 , причемp = α , q = β , r = γ . Вычислить ( p i q) + ( q i r ) + ( r i p) .2. 53.

В пространстве даны некомпланарные единичные векторы а, b и с,образующие между собой углы ( b ^ c ) = α , ( a ^ c ) = β , ( a ^ b) = γ , атакже числа т, п и k. Вектор d таков, что ( a i d ) = m , ( b i d ) = n ,( c i d ) = k . Разложить вектор d по векторам а, b и с.2. 54. В тетраэдре ABCD даны длины всех его ребер: BC = a , AC = b ,AB = c , AD = d , BD = e , CD = f . Найти косинус угла ϕ между векторами AB и CD .2. 55.

В тетраэдре ABCD ребра АС и BD перпендикулярны,AB = 5, AD = 6, BC = 7 . Найти длину ребра CD.2. 56. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёберAB = 3, AD = 5, AA1 = 2 ,диагоналейбоковыхгранейAC = 7, AB1 = 4, AD1 = 6 . Найти длину диагонали AC1 .2. 57. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины диагоналейграней AB1 = 9 , A1D = 5 , диагонали B1D = 7 и ребра AA1 = 3 .

Найтискалярное произведение ( AB i AD ) .2. 58. Точки M и N – середины рёбер АB и CD тетраэдра ABCD . Доказать, что 4 MN 2 = AC 2 + BC 2 + BD 2 + AD 2 − AB 2 − CD 2 .2. 59. Доказать, что во всяком тетраэдре (или четырехугольнике) ABCDвыполняется неравенство:AC 2 + BD 2 ≤ AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2 . В каком случае достигается точное равенство?2. 60. Дан параллелограмм ABCD . Его вершины А, В и С лежат на сферерадиуса R с центром O . Доказать, что2222OD = R 2 + AB + BC − AC .2.

61. Дан трехгранный угол. Доказать, что (а) биссектрисы трех углов,смежных с его плоскими углами, лежат в одной плоскости; (б) еслибиссектрисы двух плоских углов угла перпендикулярны, то биссектриса третьего плоского угла перпендикулярна каждой из них.2. 62. Доказать, что если длины трех отрезков, соединяющих серединыпротивоположных ребер тетраэдра, равны, то эти пары противоположных ребер тетраэдра перпендикулярны.2. 63.

Доказать, что если общие перпендикуляры противоположных ребертетраэдра проходят через середины этих ребер, то противоположныеребра попарно равны.41С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.2. 64. Из точки в пространстве выходят четыре луча. Углы, образованныекаждыми двумя лучами, равны ϕ . Найти угол ϕ .2.

65. В тетраэдре ABCD плоские углы трехгранного угла с вершиной D –прямые, DH – высота тетраэдра. Разложить вектор DH по векторамDA , DB и DC , если известно, что DA = a , DB = b DC = c .2. 66. Из одной точки в пространстве выходят четыре луча, образующиемежду собой шесть углов. Доказать, что сумма косинусов этих углов неменьше (–2).2. 67. Дан прямоугольник ABCD . Доказать, что сумма квадратов расстояний от любой точки до пространства до вершин A и C равна сумме квадратов ее расстояний до вершин B и D .2. 68. Около треугольника ABC описана окружность. Прямая, содержащая медиану CK треугольника, пересекает окружность вторично вточке D . Доказать, что AC 2 + BC 2 = 2 ⋅ CK ⋅ CD .2. 69.

Тетраэдр ABCD вписан в сферу. Прямая, проходящая через вершину D и точку М – точку пересечения медиан грани АВС – пересекаетсферу вторично в точке Е. Доказать, чтоAD 2 + BD 2 + CD 2 = 3⋅ DM ⋅ DE .2. 70.К вершине куба приложены три силы, равные по величине 1, 2 и3 и направленные по диагоналям граней куба, проходящим через этувершину. Найти величину равнодействующей этих трех сил.Противоположные рёбра тетраэдра ABCD попарно равны:2. 71.AB = CD = 5, AC = BD = 6, AD = BC = 7 . К одной из вершин тетраэдра приложены три силы, направленные по рёбрам, выходящим изэтой вершины, и равные по величине длинам этих рёбер.

Найти величину равнодействующей этих трех сил.2. 72.Противоположные рёбра тетраэдра попарно равны. Доказать,найдется прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 , такой, чтоданный тетраэдр есть тетраэдр AB1CD1 , образованный диагоналямиграней параллелепипеда.2. 73.Противоположные рёбра тетраэдра попарно перпендикулярны.Доказать, что найдется ромбоэдр (параллелепипед с равными рёбрами)ABCDA1B1C1D1 , такой, что данный тетраэдр есть тетраэдр AB1CD1 , образованный диагоналями граней параллелепипеда.3.

Векторное и смешанное произведения векторов3.1 Геометрическая ориентация упорядоченной тройки некомпланарных векторов. Пусть даны три некомпланарных вектора а, b и с. Говорят, что эти векторы образуют правую (левую) тройку, если, отложив их отобщего начала: a = OA, b = OB, c = OC , и наблюдая за их концами из этогоначала, мы обходим их в указанном порядке A → B → C → A по часовойстрелке (соответственно против часовой стрелки).42С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.Геометрическую ориентацию можно также объяснить с помощью винта.Для понимания надо представлять себе, что если вращать головку винта (шурупа, буравчика) со стороны наблюдателя по часовой стрелке с целью ввинтить его куда-либо, то винт (шуруп, буравчик) получит поступательное движение перпендикулярно плоскости вращения в сторону от наблюдателя.DDACACРис.

18BBАльтернативное определение. Упорядоченная тройка векторов а, b, сявляется правой (левой), если, вращая головку винта в плоскости первыхдвух векторов в направлении наименьшего угла от вектора а к вектору b, самвинт получит поступательное движение перпендикулярно этой плоскости,образующее острый (соответственно тупой) угол с третьим вектором с.Из определения следует, что если упорядоченная тройка векторов( a, b, c ) – правая, то тройка ( b, c , a) – тоже правая, а тройка ( b, a, c ) – левая.Например, на рис. 18 в тетраэдре ABCD тройка векторов BA, BD, BC (в указанном порядке!) – правая, а тройка DA, DB, DC – левая.3.2.

Векторным произведением двух векторов а и b (в указанном порядке) называется вектор с, обозначаемый (в разных книгах)c = a × b = [ab] = [a, b] = [ a × b ] (в данном пособии принято последнее обозначение) и такой что:(а) c = 0 , если векторы a и b коллинеарны;(б) если векторы a и b не коллинеарны, то вектор с перпендикулярен векторам а и b, его длина равна произведению длин векторов а и b на синус угламежду ними: c = a ⋅ b ⋅ sin( a ^ b) , и векторы ( a, b, c ) образуют правуютройку. Последнее означает, что если вращать головку винта в плоскостивекторов а и b, по направлению от вектора а к вектору b по наименьшему углу, то винт получит поступательное движение в направлении вектора с.3.3.

Механические приложения векторного произведения.(а) вращательное движение. Напомним, что в механике угловая скорость – это вектор, длина которого равна величине угловой скорости, а направление совпадает с осью вращения. При вращении твердого тела с угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей через точку отсчета О, произволь-43С.К.

Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.ная точка А этого тела будет иметь линейную скорость v, связанную с угловой скоростью соотношением: v = [ ω × OA ] .(б) момент силы. Если к точке А приложит силу f (которая есть вектор!), то векторный момент т этой силы относительно точки отсчета О равенm = [ OA × f ] .3.4.

Геометрические приложения.(а) Площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b, равнамодулю (т.е. длине) их векторного произведения: Sпараллелогр = [ a × b ] ;(б) Площадь треугольника построенного на векторах а и b, равна половине длины их векторного произведения, в частности, площадь треугольникаАВС равна S∆ ABC = 12 [ AB × AC ] .3.5. Алгебраические свойства векторного произведения(верные для любых векторов а, b и числа λ ∈ ):(а) [ a × b ] = −[ b × a ] ;(б1) [ a × ( b + c ) ] = [ a × b ] + [ a × c ] ;(б2) [ ( a + b) × c ) ] = [ a × c ] + [ b × c ] ;( в) [ λ a × b ] = [ a × λ b ] = λ [ a × b ] ;(г) [ a × a ] = 0 .3.6. Если известны координаты векторов a1{x1 ; y1; z1} и a2 {x2 ; y2 ; z2 } вортонормированном базисе {i; j; k} , то векторное произведение этих векторов вычисляется по формуле:ij k[a1 × a2 ] = x1 y1 z1 = { ( y1 z2 − y2 z1 ); ( z1 x2 − z2 x1 ); ( x1 y2 − x2 y1 ) } .x2 y 2 z23.7.

Формула двойного векторного произведения. Для любых трехвекторов а, b и с справедлива формула[a × [b × c ]] = ( a i c )b − ( a i b)c .Замечание.Этуформулуиногдазаписываютввиде[a × [b × c ]] = b( a i c ) − c ( a i b) и шутливо называют формулой « БАЦ – ЦАБ».3.8. Векторное и скалярное произведения двух векторов связаны определителем Грама:a2(a i b)Γ ( a, b ) ≡= [a × b]2 .2( a i b) b3.9.