Соболев С.К., Томашпольский В.Я. Векторная алгебра. Методические указания к решению задач по курсу Аналитическая геометрия (2010) (1004048), страница 4
Текст из файла (страница 4)
1.20. Барицентрические координаты на плоскости очень удобны дляграфического представления смеси трех веществ. А именно, если смесь содержит вещества А, В и С в пропорции α : β : γ , то эта смесь изображается17С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.точкой M треугольника АВС с барицентрическими координатамиM{ α : β : γ }. Как известно, на экранах мониторов и телевизоров каждый цветзаданной яркости есть комбинация трех основных цветов: красного (цвет№1), зелёного (цвет №2) и синего (цвет №3), взятых в определённой пропорции. Следовательно, различные оттенки цветов одной яркости заполняют собой внутренность треугольника, вершины которого соответствуют этим трёмосновным цветам.
Этот треугольник называется цветовым. (см. Рис. 11).Цвет, состоящий, например на 50% из красного, на 30% из зеленого и 20%синего цвета, находится в точке этого треугольника с барицентрическимикоординатами {5:3:2}.1.21. Положение точки М относительно сторон треугольника АВС можно определить по знаку её приведенных барицентрических координат{α : β : γ } .
А именно:точка М лежит внутри треугольника АВС ⇔ (α > 0, β > 0, γ > 0) ;точкаМлежитнапрямойАС⇔ β = 0;точка М лежит вне треугольника АВС, но внутри угла АСВ⇔ α > 0, β > 0, γ < 0 .Теперь дадим другое решение Примера 8. А именно, ту часть решенияпримера 8, которая расположена на стр. 13 и 14 внутри красных фигурныхскобок, следует заменить следующим текстом:Возьмем в качестве точки отсчета точку D, и выразим через радиусвекторы вершин Е, В и F радиус-вектор точки М: DE = 12 a ⇒ a = 2 ⋅ DE ,DB = b, DF = 23 c ⇒ c = 23 DF , поэтомуDM = 43 x ⋅ a + 14 x ⋅ b + 13 (1 − x ) ⋅ c = 23 x ⋅ DE + 14 x ⋅ DB + 12 (1 − x ) ⋅ DF .Но точка М принадлежит плоскости EBF тогда и только тогда, когдасумма коэффициентов последнего разложения равна 1.
Следовательно,3x + 14 x + 12 (1 − x ) = 1 ⇒ 6 x + x + 2 − 2 x = 4 ⇒ x = 25 . 2Пример 12. Точка М имеет относительно точек А, В и С барицентрические координаты M {3; − 2; 4} . Зная декартовы координаты вершин A( − 2;1; 4) ,B (3; 2; 5) и C (1; 3; 2) , найти декартовы координаты точки М.Решение. Радиус вектор точки М выражается через радиус-векторы точек А, В и С формулой:3−24OM =OA +OB +OC =3 + ( − 2) + 43 + ( − 2) + 43 + ( − 2) + 4= 3 OA − 2 OB + 4 OC.555Поэтому для декартовых координат точки М справедливо аналогичноепредставление:18С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.xM = 15 ( 3x M − 2 x B + 4 xC ) = 15 (3 ⋅ ( − 2) − 2 ⋅ 3 + 4 ⋅ 1) = − 85 ;y M = 15 ( 3 y M − 2 y B + 4 yC ) = 15 (3 − 4 + 12) = 11;5z M = 15 ( 3z M − 2 z B + 4 zC ) = 15 (12 − 10 + 8) = 2.Итак, точка М имеет декартовы координаты M ( − 85 ; 11; 2) .
51.22. Барицентрические координаты в пространстве. Пусть данычетыре точки А, В, С и D, не лежащие в одной плоскости, и произвольнаяточка отсчета О. Тогда для любой точки М существуют четыре числа α, β,γ и δ такие, что α + β + γ + δ = 1 и OM = α ⋅ OA + β ⋅ OB + γ ⋅ OC + δ ⋅ OD .Числа α, β, γ и δ определены однозначно и не зависят от выбора точки О.Числа α, β , γ и δ , а также любая другая четверка чисел, ей пропорциональная, называется барицентрическими координатами точки М относительноточек А, В, С и D. Если вектор DM = α ⋅ DA + β ⋅ DB + γ ⋅ DC , точка М имеетприведенныебарицентрическиекоординатыгде{α : β : γ : δ } ,δ = 1 − α − β − γ .
Обратное утверждение тоже справедливо.Пример 13. В тетраэдре ABCD точки Е иF расположены на ребрах АВ и CD соответственно и делят их в отношении AE : EB = 3:1 ,CF : FD = 2 :1 . На прямой EF расположенаточка М так, что F – середина отрезка ЕМ (см.Рис. 12). Найти барицентрические координаты точки М относительно точек A, B, C и D.Решение. Разложим по трем некомпланарным векторам a = DA , b = DB и c = DCсначала вектор EF :EF = EA + AD + DF = 43 BA − a + 13 DC == 43 ( a − b ) − a + 13 c = − 14 a − 43 b + 13 c ,MРис.
12DFCAE Bа затем вектор DM :DM = DA + AE + EM = a + 43 AB + 2 EF = a + 43 ( b − a ) + 2 ( − 14 a − 43 b + 13 c ) == − 14 a − 43 b + 23 c.Следовательно, α = − 14 , β = − 43 , γ = 23 ⇒ δ = 1 − α − β − γ = 43 .Искомые барицентрические координаты точки М – любая четверка чисел, пропорциональная числам α, β, γ и δ, например (если коэффициент пропорциональности взять равным 12), M {− 3: − 9 : 8 :16} . 1.23. Центр масс совокупности материальных точек.Пусть даны п точек A1 , A2 , , ..., An , в которых сосредоточены массыm1 , m2 , ..., mn соответственно. Векторным статическим моментом этойсистемы точек относительно точки отсчета О называется вектор19С.К.
Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.MO = m1OA1 + m2 OA2 + ... + mn OAn . Точка С называется центром масс системы материальных точек, если относительно точки С векторный моментэтой совокупности равен нулю: MC = m1 CA1 + m2 CA2 + ... + mn CAn = 0 .Центр масс определен не только для конечной совокупности точек, но идля любой сплошной материальной линии, поверхности или тела.Центроидом совокупности геометрических точек, называется центрмасс точек, в которых сосредоточены одинаковые (например, единичные)массы.
Центроид определяется и для любой геометрической фигуры – этоцентр масс этой фигуры, наделенной некоторой (не важно, какой) постоянной плотностью, например, равной единице. И тогда в роли массы линии, поверхности или тела выступает её длина, площадь или объем соответственно5.Центр масс С совокупности точек определен однозначно, и его радиусвектор относительно любой точки отсчета О вычисляется по формуле:1OC =m OA + m2 OA2 + ... + mn OAn .m1 + m2 + ... + mn 1 1Радиус-вектор центроида С совокупности п точек A1 , A2 , , ..., An равен(OC =1n)(OA1 + OA2 + ... + OAn ) .Если совокупность точек (геометрическая фигура) имеет ось или плоскость симметрии, то и её центроид лежит на этой оси симметрии (соответственно в плоскости симметрии).
Если фигура имеет центр симметрии, то этотцентр симметрии и является её центроидом.1.24. Если говорить о центроиде многоугольника, то надо иметь в виду,что последний можно рассматривать как:1) совокупность его вершин;2) совокупность всех его сторон, т.е. контур этого многоугольника;3) часть плоскости, ограниченной сторонами многоугольника, т.е.сплошной многоугольник (как, например, вырезанный из листа картона).Центры масс этих трёх фигур, вообще говоря, не совпадают.Аналогично, многогранник можно рассматривать как:1) совокупность всех его вершин;2) как совокупность всех его рёбер, т.е. это каркас данного многогранника;3) как совокупность всех его граней, т.е.
это поверхность многогранника;4) как часть пространства, ограниченного гранями многогранника, т.е.сплошной многогранник (как например, выпиленный из куска дерева).Центры масс этих четырех фигур, вообще говоря, не совпадают.1. 25. При нахождении центра масс полезен следующий принцип.5Для точных определений и вывода формул для центра масс или центроида линии, поверхностиили тела требуется понятие интеграла (определенного, двойного, тройного, криволинейного илиповерхностного).20С.К.
Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.Принцип группировки: еслиBпервая совокупность материальРис. 13ных точек суммарной массой m1bимеет центр масс в точке C1 ,M3C1A1вторая группа материальных точек суммарной массой m2 имеетM4центр масс в точке C2 , то центрM1M2масс объединённой совокупности CaB1точек совпадает с центром массточек C1 и C2 , в которых сосредоточены массы m1 и m2 соответственно.Обобщенный принцип группировки: Если имеется k групп совокупностей материальных точек, и первая совокупность суммарной массой m1имеет центр масс в точке C1 , вторая группа суммарной массой m2 имеетцентр масс в точке C2 , и т.д., и последняя совокупность суммарной массойmk имеет центр масс в точке Ck , то центр масс объединённой совокупности точек совпадает с центром масс точек C1 , C2 ,…, Ck , в которых сосредоточены массы m1 , m2 , ….
mk соответственно.Пример 14. Используя принцип группировки, найти положение центроида контура6 произвольного треугольника.Решение. Контур треугольника АВС состоит из линий (трех его сторон),поэтому роль массы здесь выполняет длина. Заменим каждую сторону треугольника её центром масс (т.е её серединой), в котором сосредоточена масса, равная длине этой стороны. Получим точки: А1 (середина ВС), В1 (середина АС) и С1 (середина АВ), в которых сосредоточены массы а, b и с соответственно.
Тогда искомый центроид Q контура треугольника – это центрмасс данных трех материальных точек, и его радиус-вектор равенabcOQ =OA1 +OB1 +OC1 . Заметим, что стороны треa+b+ca+b+ca+b+cугольника A1B1C1 вдвое меньше соответствующих сторон треугольника АВС,поэтому эта формула выражает радиус-вектор центра вписанной окружноститреугольника А1В1С1.Ответ: центроид контура треугольника находится в центре окружности,вписанной в треугольник, образованного средними линями исходного треугольника. Пример 15. Доказать, что центроид сплошного треугольника расположен в точке пересечения его медиан, т.е. совпадает с центроидом вершинтреугольника.6Контуром многоугольника называется совокупность всех его сторон. Сам (сплошной!) многоугольник представляет собой часть плоскости, ограниченной своим контуром.21AС.К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
