Соболев С.К., Томашпольский В.Я. Векторная алгебра. Методические указания к решению задач по курсу Аналитическая геометрия (2010) (1004048), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.Решение. Рассмотрим треугольник АВС, пусть – М положение центроида этого (сплошного!) треугольника. Разложим вектор CM по базису a = CA ,b = CB : CM = λ a + µ b . Разобьем треугольник АВС средними линиями А1В1,А1С1 и В1С1 на четыре подобных ему треугольника вдвое меньших размеровА1В1С, АВ1С1, А1ВС1 и А1В1С1 (см.
Рис. 13). Обозначим через М1, М2, М3 и М4соответственно центроиды этих (сплошных!) треугольников. В силу их подобия, радиус-векторы центроидов этих треугольников относительно соответствующих точек имеют то же представление. Выпишем радиус-векторы этихцентроидов относительно точки С:CM 1 = λ CB1 + µ CA1 = λ ⋅ 12 a + µ ⋅ 12 b ;CM 2 = CB1 + B1M 2 = 12 a + λ ⋅ 12 a + µ ⋅ 12 b = 12 ( a + λ a + µ b ) ;CM 3 = CA1 + A1M 3 = 12 b + λ ⋅ 12 a + µ ⋅ 12 b = 12 ( b + λ a + µ b ) ;CM 4 = CC1 + C1M 4 = 12 a + 12 b − λ ⋅ 12 a − µ ⋅ 12 b = 12 ( a + b − λ a − µ b ) .Поскольку роль массы здесь выполняет площадь, и площадь каждого изменьших треугольников равна 1/4 от площади исходного треугольника, то,по принципу группировки,CM = 14 CM 1 + CM 2 + CM 3 + CM 4 ⇔()λ a + µb == 14 ( 12 ( λ a + µ b ) + 12 ( a + λ a + µ b) + 12 ( b + λ a + µ b) + 12 ( a + b − λ a − µ b) ) == 14 ( a + b + λ a + µ b ) ⇒ λ a + µ b = 13 ( a + b) ⇒ λ = µ = 13 .Отсюда радиус-вектор центроида сплошного треугольника относительно произвольной точки отсчета О равенOM = OC + CM = OC + 13 CA + CB = OC + 13 OA − OC + +OB − OC =((= 13 OA + OB + OC)())и совпадает с центроидом трех вершин треугольника АВС.
■Задачи для самостоятельного решения к главе 1.1. 1. В пространстве даны произвольные точки А, B, C, D, E и F. Найти:AB − ED + EF + BC − DC ; (б) AC + BA − BF + ED − EC + DF .1. 2. Дан треугольник АВС. Построить векторы: (а) AB + CB ;(б) AB − BC ; (в) 2 ⋅ AB − 3⋅ AC ; (г) 12 ⋅ AC + 2 ⋅ BC ; (д) AB − AC + BC .1. 3.
Дан тетраэдр ABCD. Построить векторы: (а) AB + С D ;(б) AB + CD − AD ; (б) 2 ⋅ AD − 23 ⋅ B С ; (г) AC − 2 BC + 12 BD .1. 4. Пусть а, b и с – произвольные векторы. Доказать, что векторыp = 2a − 3b − 2c , q = a + 2b − c и r = a + 9b − c компланарны.22С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.1. 5. С помощью векторной алгебры доказать следующие теоремы планиметрии:(а) свойство средней линии треугольника;(б) свойство среднейлинии трапеции;(в) теорему о пересечении медиан треугольника.(г) если медианы одного треугольника параллельны сторонам другоготреугольника, то и медианы второго треугольника параллельны сторонам первого.1. 6. С помощью векторной алгебры доказать следующие теоремы стереометрии:(а) Все четыре медианы7 любого тетраэдра пересекаются в одной точке,которая делит каждую медиану в отношении 3 : 1 , считая от вершины,и эта точка совпадает с точкой пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных рёбер из Примера 5 (эта точка называетсяцентроидом вершин тетраэдра).(б) Все четыре диагонали произвольного параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.1.
7. Пусть М – точка пересечения медиан треугольника ABC. Доказать,что MA + MB + MC = 0 .1. 8. В треугольнике АВС точки D, E и F делят стороны АВ, ВС и АС соответственно в одинаковом отношении: AD : DB = BE : EC = CF : FA .Доказать, что AE + BF + CD = 0 .1. 9. Дан правильный шестиугольник ABCDEF , AB = p , BC = q . Выразить через p и q векторы: (а) CD ; (б) CE ; (в) FD ; (г) AE ; (е) AD ;(ж) BE .1. 10. Дан правильный пятиугольник ABCDE, AB = p , AC = q .
Выразитьчерезp и q(cos36° = ) .векторы: (а)AD ; (б) CD ; (в)AE ; (г) BD .1+ 541. 11. Точки M и N – середины рёбер (сторон) AD и BC тетраэдра (четырехугольника) ABCD . Доказать, что MN = 12 AB + DC .()1. 12. Даны четыре вектора p , q , r и s . Найти их сумму, еслиp + q + r = λ s , q + r + s = λ p и векторы p , q и r не компланарны.1. 13. Даны три некомпланарных вектора p , q и r .
Найти значение λ, прикотором векторы a = λ p + q + r , b = p + λ q + r и c = p + q + λ r компланарны.1. 14. Даны три некомпланарных вектора p , q и r . Найти значения α иβ , при которых векторы α p + β q + r и p + 2α q + 3β r коллинеарны.7Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечениямедиан противоположной грани.23С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.1. 15. В трапеции ABCD известно отношение длин оснований:AB CD = λ .
Найти координаты вектора CB в базисе из векторов AB иAD .1. 16. Две взаимно перпендикулярные хорды AB и CD окружности сцентром O пересекаются в точке E . Доказать, чтоOE = 12 ( OA + OB + OC + OD )1. 17. Пусть точки A1 , B1 и C1 – середины сторон BC , AC и AB соответственно треугольника ABC . Доказать, что для любой точки O выполняется равенство OA1 + OB1 + OC1 = OA + OB + OC .1.
18. Пусть М – точка пересечения медиан тетраэдра ABCD. Доказать,чтоMA + MB + MC + MD = 0 .1. 19. В пространстве даны два параллелограмма (или два тетраэдра)ABCD и A1B1C1D1 , у которых E и E1 – точки пересечения диагоналей(соответственно, медиан).
Доказать, чтоEE1 = 14 ( AA1 + BB1 + CC1 + DD1 ) .1. 20. На плоскости даны две точки А и В и точка отсчета О. Доказать, чтопроизвольная точка М лежит на прямой АВ тогда и только тогда, когдаOM = α ⋅ OA + β ⋅ OB для некоторых α и β таких, что α + β = 1 .1. 21. Доказать с помощью векторной алгебры, что если M – произвольнаяточка внутри треугольника АВС и прямые АM, ВM и СM пересекаютстороны этого треугольника в точках А1, В1 и С1 соответственно, тоAC1 BA1 CB1( а)⋅⋅= 1 (теорема Чевы);C1B A1C B1 AAM BM C M( б) 1 + 1 + 1 = 1 .AA1 BB1 CC11.
22. Доказать с помощью векторной алгебры теорему Менелая: еслинекоторая прямая пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС вточках С1 и В1 соответственно, а продолжение стороны ВС – в точке А1, тоAC1 BA1 CB1⋅⋅=1C1B A1C B1 A1. 23. Пусть точки М и K делят рёбра AD и ВС тетраэдра ABCD в одинаковом отношении AM : MD = BK : KC = α : β . Доказать, что векторыAB, CD и MK компланарны, и разложить последний вектор по первым двум.1.
24. Основанием призмы ABCDA1B1C1D1 является трапеция ABCD, в которой AD BC . Известно, что векторы BA1 , CB1 и DC1 компланарны.Найти отношение длин ребер АD и BC.24С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.1. 25. Дана треугольная призма ABCA1B1C1 . Разложить вектор AA1 повекторам p = AC1 , q = BA1 и r = CB1 .1. 26. В тетраэдре ABCD точки М, N и K расположены на рёбрах АВ, АС иAD и делят их в отношении AM : MB = 1:1 , AN : NC = 1: 3 иAK : KD = 2 :1 . Доказать, что векторы p = BK , q = CM и r = DN некомпланарны и разложить по ним вектор BC .1.
27. В треугольнике АВС точки D и Е расположен на стороне АВ, а точки F и G – на сторонах АС и ВС соответственно, причем,AD : DB = 1 : 3, AE : EB = 3 : 1 , AF : FC = 1 : 2, BG = GC . Отрезки DGи EF пересекаются в точке М. Найти отношения DM : MG иEM : MF .1. 28. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка Е – середина ребра AD, аточка K делит ребро АА1 в отношении AK : KA1 = 2 :1 . Отрезок В1Е пересекает плоскость BC1K в точке М. Найти отношение EM : MB1 и разложение вектора BM по векторам p = BK и q = BC1 .1.
29. В треугольнике АВС известны координаты его вершин: A(1; 5; 2) ,B(3; 8; 8) и C (5; 7; 6) . Найти: (а) медиану AD ; (б) биссектрису BE ;(в) координаты точки пересечения медиан М; (г) координаты центра Рвписанной окружности треугольника АВС.1. 30. В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС. Знаякоординаты вершин A( − 1; 2; 5), B(3;1; 4) и точки пересечения диагоналей E (5; 6; 7) , найти координаты вершин С и D.1.
31. В треугольнике АВС проведены медиана СD, биссектриса СL и высота СK, точки О и Р – центры описанной и вписанной окружностейсоответственно, М – точка пересечения медиан, Н – ортоцентр треугольника АВС. Разложить по векторам a = CA и b = CB векторы:(а) CD ; (б) CL ; (в) CK ; (г) CM ; (д) CP ; (е) CH ; (ж) CO (коэффициенты разложения выразить через углы α = ∠ BAC и β = ∠ ABC ).1.
32. На плоскости дан треугольник АВС. (а) Построить точки с барицентрическими координатами (относительно вершин А, В и С):(1º) {0 : 0 : 1} ; (2º) {3 : 1 : 0} ; (3º) {2 : 3 : 5} ; (4º) {1 : − 2 : 3} ; (б) Найти барицентрические координаты точки N, лежащей на отрезке АK, где Kлежит на стороне ВС, KN : NA = 1 : 3 , BK : KC = 5 : 2 .1. 33. Точка М имеет относительно треугольника АВС барицентрическиекоординаты {x : y : z} .
Найти x ⋅ MA + y ⋅ MB + z ⋅ MC .1. 34. В тетраэдре ABCD точки Е и F расположены на ребрах АВ и CD соответственно и делят их в отношении AE : EB = 3 : 1 , CF : FD = 2 : 1 .Точка М центрально симметрична точке Е относительно точки F.Найти барицентрические координаты точки М относительно точек A, B,C и D.25С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.1. 35.
Пусть прямая ℓ и плоскость π не параллельны, b – проекция вектораа на прямую ℓ параллельно плоскости π, с – проекция вектора а наплоскость π параллельно прямой ℓ. Найти b + c .1. 36. Три плоскости π1 π2 и π3 пересекаются по трём разным прямым:π 2 ∩ π 3 = 1 , π 1 ∩ π 3 = 2 , π 1 ∩ π 2 = 3 . Пусть ak – проекция вектора bна прямую k параллельно плоскости π k ( k = 1, 2, 3 ). Найти a1 + a2 + a3 .1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
