Соболев С.К., Томашпольский В.Я. Векторная алгебра. Методические указания к решению задач по курсу Аналитическая геометрия (2010) (1004048), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Для любых трех векторов а, b и с справедливо равенство( a i [b × c ] ) = ( [a × b ] i c ) .Смешанным произведением трех векторов а, b и с (в указанном порядке) называется число, обозначаемое abc или ( abc ) и равное любому из вышеуказанных выражений, т.е.( abc ) = ( a i [b × c ] ) = ( [a × b] i c ) .def44С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.3.10. Алгебраические свойства смешанного произведения.(а) смешанное произведение не меняется при циклической перестановкевекторов: ( abc ) = ( bca) = ( cab) ;(б) смешанное произведение меняет знак на противоположный при перестановке местами двух векторов: ( abc ) = −( bac ) = −( cba) = −( acb) ;(в) смешанное произведение линейно по каждому из трех своих множителей, это значит, что для любых чисел λ1 , λ2 ∈ и векторов a, a1 , a2 ,b, b1 , b2 , c , c1 , c2 :(1°) ( (λ1a1 + λ2 a2 )bc ) = λ1 ( a1bc ) + λ2 ( a2 bc ) ,(2°) ( a(λ1b1 + λ2 b2 )c ) = λ1 ⋅ ( ab1c ) + λ2 ⋅ ( ab2 c ) ,(3°) ( ab(λ1c1 + λ2 c2 ) ) = λ1 ( abc1 ) + λ2 ( abc2 ) ;(г) ( abc ) = 0 тогда и только тогда, когда векторы а, b и с компланарны;(д) ( abc ) > 0 ( ( abc ) < 0 ) тогда и только тогда, когда векторы а, b и с образуют правую (соответственно левую) тройку.Замечание.
Из свойства (г) следует, что смешанное произведение трехвекторов, два из которых равны или пропорциональны, равно нулю, например: ( abb) = ( bab) = ( aab) = 0 .3.11. Геометрическое приложение смешанного произведения:(а) объем параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах а, b и с, равен абсолютной величине их смешанного произведения:Vпараллелепип = ( abc ) ;(б) объем тетраэдра, построенного на трех некомпланарных векторах,равен одной шестой абсолютной величины их смешанного произведения, вчастности, объем тетраэдра ABCD равен:VABCD = 16 ( AB AC AD ) ;(в) четыре точки А, В, С и D лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда ( AB AC AD ) = 0 .3.12. Если известны координаты векторов a1{x1; y1; z1} , a2 {x2 ; y2 ; z2 } иa3{x3 ; y3 ; z3} в ортонормированном базисе {i; j; k} , то их смешанное произведение вычисляется по формуле:x1 y1 z1( abc ) = x2 y2 z2 .x3 y3 z33.13.
Смешанное и скалярное произведения трех векторов связаны опреa2( a i b) ( a i c )( b i c ) = ( abc )2 .делителем Грама: Γ( a, b, c ) ≡ ( b i a) b 2( c i a) ( c i b) c 23.14. Пусть в пространстве даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Тогда расстояние от точки С до прямой АВ вычисляется по формуле:45С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский.
Векторная алгебра.[ AB × AC ]B.ABРис. 19Обоснование. Рассмотрим параллелоDграмм ABDC, построенный на векторах ABAhи AC , его площадь равна произведениюстороны АВ на высоту h опущенной из точки С на прямую АВ. (см. Рис. 19). ИскомоеCрасстояние как раз и равно высоте h:S[ AB × AC ]ρ ( C , AB ) = h = ABCD =.ABAB3.15. Пусть в пространстве даны четыре точки А, В, С и D, не лежащие водной плоскости.
Тогда расстояние между скрещивающимися прямыми АВ иCD вычисляется по формулам:( AB CD AC );( а)ρ ( AB, CD ) =[ AB × CD ]ρ ( C , AB ) =ρ ( AB, CD ) =Γ ( AB, CD, AC ).(б)Γ ( AB, CD )Обоснование. Построим параллелепипед, вершинами которого являются точки А, В, С, D, E, F, G и Н.Этот параллелепипед построенHDнавекторахa = AB = FE = CG = DH ,bиb = AF = BE = CD = GHCc = AC = FD = BG = EH . (см. GEFРис. 20). Как известно из курсаhcстереометрии, расстояние межbду скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любойaABРис. 20точки одной прямой до плоскости, проходящей через другуюпрямую параллельно первой прямой. В нашем случае искомое расстояниеравно расстоянию от любой точки прямой CD (например, от точки С) доплоскости, проходящей через прямую АВ параллельно CD, т.е. плоскостиABEF.
Это расстояние равно высоте h параллелепипеда ABEFCGHD, опущенной на плоскость грани ABEF, которая, в свою очередь, равна отношению объема этого параллелепипеда, (равного абсолютной величине смешанного произведения векторов, на которых он построен: a = AB , b = CD иc = AC ) к площади параллелограмма ABEF (равного модулю векторногопроизведения векторов a = AB и b = CD ). Следовательно, искомое расстоя-46С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.ние равно( AB CD AC )( abc )VABCDEFGH.==S ABEF[a × b ][ AB × CD ]Применяя формулы (3.8) и (3.13), выражающие модуль векторного исмешанного произведений через определитель Грама, получим и вторуюформулу 3.15(б).Замечание.
Первую формулу 3.15(а) целесообразно применять, когдавекторное и смешанное произведение можно вычислить непосредственно,например, если известны координаты векторов a = AB , b = CD и c = AC вортонормированном базисе. Вторую формулу 3.15(б) желательно применятьтогда, когда векторное и смешанное произведения непосредственно найтизатруднительно, например, если известны только длины векторов a = AB ,b = CD , c = AC и углы между ними.3.16. Пусть в пространстве даны четыре точки А, В, С и D, не лежащие водной плоскости. Тогда расстояние от точки D до плоскости, проходящей через три другие точки А, В и С, вычисляется по формулам:( AB AC AD );(а)ρ ( D, ABC ) =[ AB × AC ]ρ ( AB, CD ) = h =ρ ( D, ABC ) =Γ ( AB, AC , AD )Γ ( AB, AC ).(б)Обоснование.
Искомое расстояние равно высоте hD тетраэдра ABCD,опущенной из вершины D на плоскость АВС (см. Рис. 21). Поскольку объемпирамиды, в частности, тетраэдра, равен одной трети произведения площади3Vоснования на высоту, то высота hD , в свою очередь, равна hD = ABCD .S ABCПодставляя сюда выражения для объема тетраэдра и площади треугольникачерез смешанное и векторное произведения (3.11) и (3.4), получим первуюформулу (3.16(а)):1( AB AC AD )3VABCD 3 ⋅ 6 ( AB AC AD )ρ ( D, ABC ) = hD ===.1 [ AB × AC ]S ABC[AB×AC]2Вторая формула получается, еслиDподставить выражения связи векторногои смешанного произведений с определителем Грама.Замечание. Если a = AB , b = CD иhDc = AC , то AD = AC + CD = c + b , и тогдаA( AB AC AD ) = ( ac (c + b) ) =C= ( acc ) + ( acb) = 0 − ( abc ) =Рис.
21= − ( AB CD AC ) ,B47С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.но абсолютные величины этих смешанных произведений равны:( AB AC AD ) = ( AB CD AC ) .Пример 25. В пространстве даны три точки A( − 2; 2; 3) , B ( 2; − 1; 5 ) иC ( − 1; 4;1 ) .
Найти координаты единичного вектора, перпендикулярногоплоскости АВС.Решение. Вектор nABC = [ AB × AC ] перпендикулярен векторам AB иAC , а значит, и плоскости АВС. Находим: AB{4; − 3; 2}, AC{1; 2; − 2},i j k[]nABC = AB × AC = 4 − 3 2 = 2i + 10 j + 11k.1 2 −2Однако этот вектор не единичный: n = 4 + 100 + 121 = 15 . Нормируем его,разделив на его длину. Искомых векторов два, они противоположны друг1 {2;10;11} = ±{ 2 ; 2 ; 11} .другу: n0 = ± 1 ⋅ n = ± 1515 3 15n2 2 11 и211 .àОтвет: n01 { 15; 3 ; 15 } n02 { − 15; − 23 ; − 15}Пример 26. Про векторы p и q известно, что p = 5 , q = 4 ,( p ^ q) = 150 ° . Найти площадь треугольника, построенного на векторахa = 3 p + 2q и b = 4 p − 7 q .Решение.
Площадь искомого треугольника равна половине модуля векторного произведения векторов а и b: S∆ = 12 [a × b] . Сначала вычислим векторное произведение векторов а и b:[a × b] = [(3 p + 2q) × (4 p − 7q)] == 12[ p × p] + 8[q × p] − 21[ p × q] − 14[q × q] == 0 − 8[ p × q] − 21[ p × q] − 0 = − 29[ p × q].Следовательно,S∆ = 12 [a × b] = 21 − 29[ p × q] = 12 ⋅ 29 [ p × q] = 21 ⋅ 29 p ⋅ q ⋅ sin( p ^ q) == 12 ⋅ 29 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ sin150 ° = 290 ⋅ 12 = 145. ■Пример 27. Даны три вектора a{− 3; 2; 4}, b{1; 3; − 2} и c{5; 4; − 1} . Найтиповторное векторное произведение p = [a × [b × c ]] двумя способами: (а) непосредственно; (б) по формуле «БАЦ-ЦАБ».Решение.
(а) сначала найдемi j kd = [b × c ] = 1 3 − 2 = 5i − 9 j − 11k ⇒ d{5; − 9; − 11} ;5 4 −1ijkзатем вычислим p = [a × [b × c ]] = [a × d ] = − 3 24 = 14i − 13 j + 17k.5 − 9 − 1148С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.(б) Вычислим скалярные произведения:( a i b) = − 3 + 6 − 8 = − 5. Поэтомуp = [a × [b × c ]] = ( a i c )b − ( a i b)c = − 11b + 5c == − 11{1; 3; − 2} + 5{5; 4; − 1} = {14; − 13;17}.Ответ: p{14; − 13;17} .■( a i c ) = − 15 + 8 − 4 = − 11 ,Пример 28.
В трапеции ABCD, у которой основание AD втрое большеоснования ВС, известны координаты вершин A(2; 4;1), B( − 1; 3; 5) и точкипересечения диагоналей E ( − 4; 7;10) . Найти координаты вершин С, D и площадь трапеции.C1S3 0Решение. Как известно изS0курса планиметрии, диагоналиАС и BD трапеции ABCD с осно- BES0ваниями ВС и AD делят её на че3S0тыре треугольника (см.
рис. 22),hиз которых два равновеликиРис. 22(имеют одинаковую площадь):S∆ ABE = S∆ CDE , а другие два поAдобны: ∆ ADE ∆ CBE , поэтомуAE = DE = AD = 3 . Следовательно, точка Е делит отрезок АС в отношенииEC EB BCAE : EC = 3 : 1 , поэтому, xE = 14 ( x A + 3xC ) , откудаxC = 13 ( 4 x E − x A ) = 13 ( 4 ⋅ ( − 4) − 2 ) = − 6 .
Аналогично,yC = 13 ( 4 y E − y A ) = 13 ( 4 ⋅ 7 − 4 ) = 8 и zC = 13 ( 4 z E − z A ) = 13 ( 4 ⋅ 10 − 1 ) = 13 ,следовательно, точка С имеет координаты C ( − 6; 8;13) .Далее, BE : ED = 1 : 3 , следовательно, xE = 14 ( 3x B + xD ) , поэтомуxD = 4 x E − 3xB = 4 ⋅ ( − 4) − 3 ⋅ ( − 1) = − 13 . Аналогично,y D = 4 y E − 3 y B = 4 ⋅ 7 − 3⋅ 3 = 19 , z D = 4 z E − 3z B = 4 ⋅10 − 3⋅ 5 = 25 , и точка Dимеет координаты D ( − 13;19; 25) .{Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований навысоту:S ABCD = 12 ( AD + BC ) ⋅ hСначала найдём основания:BC = BC = ( x B − xE )2 + ( y B − y E ) 2 + ( z B − z E ) 2 = 25 + 25 + 64 = 114 ,AD = AD = 225 + 225 + 576 = 1026 = 3 114 .Высота h трапеции ABCD равна расстоянию от точки В до прямой AD, и,[]по формуле (3.14), равна h = ρ ( B, AD ) = AB × AD .
Находим:ADAB{− 3; − 1; 4}, AD{− 15;15; 24};49DС.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.ij k− 1 4 = − 84i + 12 j − 60k = 12{− 7;1; − 5} ;− 15 15 24[ AB × AD ] = − 3[ AB × AD ] = 12 49 + 1 + 25 = 60 3, AD = 3 114.Следовательно, h = 60 3 = 20 3 , и площадь трапеции равна1143 114S ABCD = 12 ( AD + BC ) ⋅ h = 12 ( 114 + 3 114 ) ⋅ 20 3 = 40 3 .}114Замечание. В данной задаче площадь трапеции можно было бы найти ине находя координат вершин С и D. А именно, вместо части вышеприведенного решения, заключенной в красные фигурные скобки, можно предложитьдругое решение:Треугольники АВЕ и ВСЕ имеют общую высоту (перпендикуляр из точки В на прямую АС), поэтому их площади относятся как S ABE : S∆ BCE =аналогично,и= AE : EC = 3 : 1 ,S∆ ABE : S∆ DAE = BE : ED = 1 : 3 ,ОбозначимплощадьтреугольникаS∆ BCE : S∆ CDE = BE : ED = 1 : 3 .S∆ABE = S0 , тогда S∆ BCE = 13 S0 , S∆CDE = S0 , S∆ ADE = 3S0 (см. Рис. 20).
Площадь всей трапеции равна сумме площадей этих четырех треугольников:S ABCD = S0 + 13 S0 + S0 + 3S0 = 163 S0 . Находим: AB{− 3; − 1; 4}, AE{− 6; 3; 9};ijk−639[ AB × AE ] = − 3 − 1 4 = − 21i + 3 j − 15k;[ AB × AE ] = 3 49 + 1 + 25 = 15 3 ⇒ S0 =12[ AB × AE ] = 15 3 ⇒2S ABCD = 16 S0 = 16 ⋅ 15 ⋅ 3 = 40 3 .33 2Ответ: C ( − 6; 8;13) , D ( − 13;19; 25) , S ABCD = 40 3 . ■Пример 29. В ромбе ABCD известны координаты вершин B(2; 3; 5) иC (9; − 1; 8) , вершина А лежит в плоскости XOZ, а вершина D – в плоскостиXOY. Найти координаты вершин A и D и площадь ромба.Решение. Найдем координаты вектора AD = BC{7; − 4; 3} . Пусть точка Аимеет координаты A( x; 0; z ) . Тогда точка D имеет координатыD ( x + 7; − 4; z + 3) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
