Соболев С.К., Томашпольский В.Я. Векторная алгебра. Методические указания к решению задач по курсу Аналитическая геометрия (2010) (1004048), страница 8
Текст из файла (страница 8)
■452735С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.Задачи для самостоятельного решения к главе 2.2. 1. Справедливы ли для векторной алгебры следующие формулы:(а) ( a + b)3 = a3 + 3( a 2 ⋅ b ) + 3( a ⋅ b 2 ) + b3 ;(б) a 3 − b 3 = ( ( a − b ) ⋅ ( a 2 + ( a ⋅ b ) + b 2 ) ) ?2. 2. Доказать следующие свойства скалярного произведения:(а) ( a + b ) 2 + ( a − b) 2 = 2( a 2 + b 2 ) ; (б) ( a i b) = 14 ( a + b )2 − ( a − b)2 ;()(в) ( a + c ) 2 + ( b − c )2 = ( a − b + c ) 2 + c 2 + 2( a i b) .(г) ( a + b) 2 + ( a + c )2 + ( b + c )2 = a 2 + b2 + c 2 + ( a + b + c )2 .2. 3. Вывести формулу для ортогональной проекции вектора a{x; y; z} наось с направляющими углами α , β и γ .2.
4. Найти координаты вектора т длины 3, образующего с координатными осями одинаковые: (а) острые углы; (б) тупые углы.2. 5. Найти координаты вектора р длины 6, если он образует с осью OZугол arcsin 2 , а с осью ОХ в два раза меньший угол, чем с осью OY.32. 6. Найти направляющие углы луча, выходящего из начала координат,если известно, что он образует с осью ОZ угол в два раза меньший, чемс осью OY, и в три раза меньший, чем с осью OX.2. 7.
Первый луч имеет направляющие углы α1 , β1 , γ 1 , а второй –α 2 , β 2 , γ 2 . Найти косинус угла ϕ между этими лучами.2. 8. Введем для земного шара прямоугольную систему координат, поместив её начало О в центр Земли, плоскость OXY совместим с экваториальной плоскостью, положительное направление оси ОХ проведемчерез гринвичский меридиан, оси OY – через Индийский океан, оси OZ– через Северный полюс.
Каждая точка земной поверхности имеет географические координаты (θ ; ϕ ) , где θ – широта ( − π ≤ θ ≤ π , положи22тельные значения соответствуют северной широте, отрицательные –южной), ϕ – долгота ( −π < ϕ ≤ π , положительные значения соответствуют восточной долготе, отрицательные – западной). (а) Выразить декартовы координаты точки М на земном шаре через её географическиекоординаты (θ ; ϕ ) и радиус Земли R; (б) найти направляющие косинусы луча OM, где О – центр Земли, а М – точка на земном шаре с географическими координатами (θ ; ϕ ) .2.
9. Выразить формулой кратчайшее расстояние по земной поверхностимежду двумя точками M 1 и M 2 на земном шаре радиуса R с географическими координатами M 1 (θ1 , ϕ1 ) и M 2 (θ 2 ; ϕ 2 ) (неровностями рельефапренебречь).36С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.2. 10. Даны векторы a{3; − 1; 5}, b{2; 5; − 2} и c{5; 3; 4} . Найти ортогональную проекцию вектора p = a + 2b на направление вектораq = b − c.2.
11. Даны векторы а, b и с, причем, a = 3, b = 5 , c = 8 ,( a ^ b ) = arccos 13 , (a ^ c ) = 60 °, (b ^ c ) = 120 ° . Найти ортогональнуюпроекцию вектора p = a + 2b на направление вектора q = b − c .2. 12. В треугольнике АВС известны координаты его вершин:A(1; 4; 3), B (3;1; 4), C (2; 3; 5) . Найти: (а) косинус угла при вершине С;(б) ортогональную проекцию р вектора m{3; − 2; 2} на плоскость АВС.2. 13.
С помощью скалярного произведения доказать следующиетеоремы планиметрии:(а) свойство диагоналей прямоугольника;(б) свойство диагоналей ромба;(в) теорему о пересечении трех высот треугольника (или их продолжений)(г) если α , β , γ – внутренние углы плоского треугольника, тоcos 2α + cos 2 β + cos 2γ ≥ − 23 . В каком случае достигается точное равенство?2. 14.
Пусть Н – ортоцентр (точка пересечения высот или их продолжений) треугольника, вписанного в окружность с центром в точке О. Доказать, что OH = OA + OB + OC .2. 15. Около треугольника ABC описана окружность радиуса R , H –точка пересечения его высот. Доказать, что AH 2 + BC 2 = 4 R 2 .2. 16. Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC . Доказать,что ( HA i HB ) = ( HB i HC ) = ( HC i HA ) .2. 17. Доказать, что точка М пересечения медиан треугольника лежит наотрезке, соединяющим центр описанной окружности О и ортоцентр Н,и делит этот отрезок в отношении OM : MH = 1 : 2 .2. 18.
Пусть О – центр окружности радиуса R, описанной около треугольника, стороны которого равны a, b, c, Н – его ортоцентр, М – точка пересечения медиан. Доказать, что:(1°) OH 2 + a 2 + b 2 + c 2 = 9 R 2 ;(2°) a 2 + b2 + c 2 = 9( R 2 − OM 2 ) .2. 19. Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC , O – произвольная точка. Доказать формулу Лейбница:OM 2 = 13 ( OA2 + OB 2 + OC 2 ) − 19 ( AB 2 + BC 2 + AC 2 ) .2. 20. Пусть М – середина отрезка, соединяющего середины рёбер АВ иCD тетраэдра ABCD, O – произвольная точка.
Доказать, что суммаквадратов всех рёбер тетраэдра равна4 ⋅ OA2 + OB 2 + OC 2 + OD 2 − 16 ⋅ OM 2 .()37С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.2. 21. Найти вектор r , направленный по биссектрисе угла между векторами p(4;−7;−4) и q ( − 1; 2; 2 ) , если r = 4 6 .2. 22. При каком значении λ векторы a{1; 2; λ } и b{− 1;1; 4} : (а) ортогональны; (б) образуют угол 45°?2. 23. Даны векторы а и b такие, что a = 4, b = 3, ( a ^ b) = 60 ° . При какомзначении λ векторы p = λ a + b и q = a − 2b : (а) ортогональны; (б) обра-(зуют угол arccos −12 7)?2.
24. Найти угол между векторами a и b , если a = 2 ,b =1 и(2a − b )2 + (a + 3b )2 = 28 .2. 25. Доказать, что сумма квадратов медиан любого треугольника составляет 3 4 от суммы квадратов его сторон.2. 26. Даны два вектора p и q , причем длина вектора р в k раз большедлины вектора q, p + q = m и p − q = n . Найти косинус угла междувекторами p и q .2. 27. Найти 5a + 3b , если a = 2 , b = 3 , и 3a − b = 5 .2. 28.
Найти угол при вершине А треугольника АВС, если сторона АВ вполтора больше стороны АС, а медианы, проведенные к этим сторонам,перпендикулярны.2. 29. Найти косинус угла, образованный медианами, проведенными извершин острых углов прямоугольного треугольника, катеты которогоотносятся как 2 : 3 .2. 30. Каким условиям должны удовлетворять векторы a и b , чтобы имели место соотношения: (а) a − b = a + b ; (б) a − b < a + b ;(в) a − b > a + b ?2.
31. При каком взаимном расположении ненулевых векторов a , b и ссправедливо равенство ( a i b ) c = a ( b i c ) ?2. 32. Центр окружности на плоскости совпадает с точкой пересечениямедиан треугольника, лежащего в этой плоскости. Доказать, что суммаквадратов расстояний от произвольной точки окружности до всех вершин треугольника постоянна.2. 33.
Центр окружности на плоскости совпадает с точкой пересечениядиагоналей параллелограмма, лежащего в этой плоскости. Доказать,что сумма квадратов расстояний от произвольной точки окружности довсех вершин параллелограмма постоянна.2. 34. На плоскости даны треугольник АВС и точка О. Чем для треугольника АВС является точка О, если:(а) OA = OB = OC ;(б) OA + OB + OC = 0 ;38С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский.
Векторная алгебра.(в) OA ⋅ OB = OB ⋅ OC = OC ⋅ OA ;(г) AB ⋅ OC + BC ⋅ OA + AC ⋅ OB = 0 ?2. 35. В параллелограмме АВСD известны стороны АВ = 3, ВС = 5. Надиагоналях АС и ВD выбраны точки Е и F так, что AE : EC = 3 : 1 ,BF : FD = 2 : 1 , а прямые AF и DE перпендикулярны.
Найти косинусугла ВАD.2. 36. В треугольнике АВС известны стороны АВ = 9, АС = 12. Точка K –середина медианы ВD, а точка М делит медиану СE в отношенииCM : ME = 1 : 2 . Расстояние между точками М и K равно 4. Найти уголВАС.2. 37. На плоскости даны векторы а(3; 1) и b(–2; 5). Найти на плоскостивектор х, удовлетворяющий условиям: (а) ( a i x ) = 9 , x = 5 ;(б) ( a i x ) = 5, ( b i x ) = 8 . (в) a ⊥ x, ( b i x ) = 34 ; (г)·b ⊥ x, x = 4 .2. 38. На плоскости даны неколлинеарные векторы а и b, а также числа pи q. Найти в этой плоскости вектор х такой, что ( a i x ) = p , ( b i x ) = q(разложить вектор х по векторам а и b).2. 39.
Три ненулевых вектора образуют между собой углы, косинусы которых равны х, у и z. При каком соотношении между х, у и z эти тривектора компланарны?2. 40. Доказать что для любых трех ненулевых векторов плоскости, a, b иc справедливо неравенство:a+b + a+c + b+c ≤ a + b + c + a+b+c .2. 41. Доказать, что для любых ненулевых векторов p , q и r пространства имеет место неравенствоp+q + p+r + q+r ≤ p + q + r + p+q+r .2.
42. С помощью скалярного произведения доказать следующиетеоремы стереометрии:(а) квадрат любой диагонали прямоугольного параллелепипеда равенсумме квадратов трех его измерений.(б) сумма квадратов всех четырех диагоналей параллелепипеда равнасумме квадратов всех его 12 рёбер.(в) если в тетраэдре ABCD AB ⊥ CD и AC ⊥ BD , то и AD ⊥ BC .(г) сумма квадратов всех шести рёбер произвольного тетраэдра, вписанного в сферу радиуса R, не превосходит 16 R 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
