Соболев С.К., Томашпольский В.Я. Векторная алгебра. Методические указания к решению задач по курсу Аналитическая геометрия (2010)

Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Высшая математика»С.К. Соболев, В.Я. ТомашпольскийВекторная алгебраЭлектронное учебное изданиеМетодические указания к решению задачпо курсу "Аналитическая геометрия"Москва(С)2010 МГТУ им. Н.Э. БауманаС.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.УДК: 512+514.12Рецензент: Приказчиков Данила АлександровичСоболев С.К., Томашпольский В.Я.

Векторная алгебра. Методическиеуказания к решению задач по курсу "Аналитическая геометрия" – М., МГТУим. Н.Э. Баумана, илл. 24.Изложены основы теории по векторной алгебре: линейные операции надвекторами, базис и координаты, скалярное, векторное и смешанное произведения, определитель Грама, приложения к геометрии и механике. Разобранобольшое количество примеров как стандартных, так и повышенной сложности. Содержит задачи для самостоятельного решения, снабженные ответамии указаниями.Для студентов, изучающих и применяющих векторную алгебру.Рекомендовано Учебно-методической комиссией факультета "Фундаментальные науки" МГТУ им.

Н.Э. Баумана.2С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.ОглавлениеВведение ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 3Глава 1. Линейные операции над векторами. Базис и координаты ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 3Задачи для самостоятельного решения к главе 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅22Глава 2.

Скалярное произведение векторов⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 28Задачи для самостоятельного решения к главе 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 36Глава 3. Векторное и смешанное произведения векторов⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 42Задачи для самостоятельного решения к главе 3 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 53Литература ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 59Ответы и указания ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 60Введение⋅Векторы имеют широкое применение в различных разделах математики, например, в элементарной, аналитической и дифференциальной геометрии, в теории поля. Векторная алгебра широко используется во многих разделах физики и механики, в кристаллографии, геодезии.

Без векторов немыслима и не только классическая математика, но и многие другие науки.В данном пособии особый акцент делается на применении векторной алгебры, на решении задач как стандартных, так и повышенной сложности. Вкаждой главе приводится краткие, но исчерпывющие теоретические сведенияи разбираются разнообразные примеры (всего более 30). Конец решения каждого примера обозначен черным квадратиком . В пособии рассматриваются и ряд дополнительных тем, например, барицентрические координаты,центр масс, определитель Грама и его связь с векторным и смешанным произведениями.

В конце каждой главы дано большое количество задач для самостоятельного решения, к которым имеются ответы и указания. Пособиебудет полезно всем студентам, которые хотят углубить свои познания и навыки в векторной алгебре, но в первую очередь – студентам факультета ФН.1. Линейные операции над векторами. Базис и координаты.Краткие теоретические сведения. Напомним основные понятия векторной алгебры. Геометрический вектор (или просто вектор) – это отрезокАВ, на котором задано направление, например, от А к В, и обозначаемый AB .Точки А и В называются соответственно началом и концом вектора AB .Длиной вектора AB называется расстояние между его началом и концом,она обозначается AB .

Два вектора называются равными, если они одинаково направлены и имеют одинаковые длины.3С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.1.1. Лемма о равенстве двух векторов. Для любых четырех точек пространства A, B, C и D AB = CD тогда и только тогда, когда AC = BD .1.2. Свойство равенства векторов. Отношение равенства векторовобладает свойствами:(а) если AB = CD , то и CD = AB (симметричность);(б) если AB = CD , CD = EF , то AB = EF (транзитивность).Вектор, положение начала которого не имеет значения, обозначаетсямаленькой латинской буквой полужирным курсивом: a, b, c1 , d2 и т.д.

Определение суммы векторов a и b : от произвольной точки А пространства отложить первый вектор a = AB , от полученной точки В отложить второй вектор b = BC , тогда, по определению, a + b = AC . Это правило называетсяdefправилом треугольника сложения векторов и выражается формулой:AB + BC = AC .1.3 Замечание. Вышеприведенное определение правила сложения векторов корректно, т.е.

оно не зависит от выбора точки А. Это значит, чтоесли вместо точки А взять другую точку A1 , то результат будет тот же:Если AB = A1B1 и BC = B1C1 , то и AC = A1C1 .(докажите это самостоятельно с помощью леммы 1.1 и свойства 1.2).1.4. Нулевым вектором называCется вектор, начало и конец которогосовпадают: 0 = AA = BB = CC = ... .Ba−bДля произвольного вектора a = ABвектор BA называется противопоba+bложным, он обозначается −a . Разностью векторов а и b называетсяDвектор a + ( −b) . Можно доказать, чтоaРис.1c = a − b ⇔ b + c = a . Правило па- Aраллелограмма сложения и вычитания векторов: векторы а и b отложить от одного начала: a = AD , b = AB идостроить до параллелограмма: ABCD (см.

рис. 1), тогда a + b = AC ,a − b = BD .1.5. Произведение числа (скаляра) λ ∈ на вектор a есть векторb = λ a , длина которого b = λ ⋅ a , а направление определяется так: еслиλ = 0 или a = 0 , то и b = 0 , а если a ≠ 0 , то вектор b одинаково направлен свектором а (символически b ↑↑ a ) при λ > 0 , и противоположно направлен(символически b ↓↑ a ) при λ < 0 .1.6. Свойства операций сложения векторов и умножения их начисла.Для любых векторов a, b, c и чисел λ , µ ∈ :(а) a + b = b + a (коммутативность);4С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.(б) ( a + b) + c = a + ( b + c ) (ассоциативность);( в) a + 0 = a ;(г) a + ( −a) = 0 ;( д) λ ( a + b ) = λ a + λ b ;(е) (λ + µ )a = λ a + µ a (дистрибутивность);(ж) (λµ )a = λ ( µ a) ;(з) 1a = a .1.7.

Благодаря свойствам (а) и (б) можно складывать любое количествовекторов в произвольном порядке. Правило многоугольника сложения нескольких векторов a1 , a2 , ..., an : от произвольной точки A0 отложим первыйвектор a1 = A0 A1 , от его конца A1 отложим второй вектор a2 = A1 A2 , и.т.д., иот конца An −1 предпоследнего вектора отложим последний векторan = An −1 An .

Тогда a1 + a2 + ... + an = A0 An (см. Рис.2). Таким образом, например, не глядя на чертеж, легко найти сумму:CM + AC + DE + MD = AC + CM + MD + DE = AE.a1a5A1a2A4a2A2a1a4a4a3A0a3a5A3a1 + a2 + a3 + a4 + a5A5Рис.21.8. Условимся считать нулевой вектор параллельным любой прямой илюбой плоскости. Совокупность векторов называется коллинеарной (компланарной), если все они параллельны некоторой прямой (соответственноплоскости).

Это определение равносильно следующему: совокупность векторов является коллинеарной (компланарной) тогда и только тогда, когдавсе эти векторы, будучи отложенными от общего начала, лежат на однойпрямой (соответственно в одной плоскости). Поэтому два вектора всегдакомпланарны.1.9. Линейной комбинацией векторов a1 , a2 , ..., an называется суммапроизведений этих векторов на произвольные числа λ1 , λ2 , ...λn ∈ ; её результат – тоже некоторый вектор: λ1a1 + λ2 a2 + ... + λn an = b . Например3a + 25 b − 7c – одна из линейных комбинаций векторов а, b и с. Линейнаякомбинация называется тривиальной, если все её коэффициенты нулевые.Понятно, что тривиальная комбинация любых векторов дает нулевой вектор.Совокупность векторов a1 , a2 , ..., an называется линейно зависимой (илипросто зависимой), если существует их нетривиальная линейная комбинация, дающая нулевой вектор, т.е.

когда найдутся числа λ1 , λ2 , ...λn ∈ , неравные одновременно нулю и такие, что λ1a1 + λ2 a2 + ... + λn an = 0 . Совокуп5С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.ность векторов a1 , a2 , ..., an называется линейно независимой (или простонезависимой), если она не является зависимой, т.е. если только тривиальнаялинейная комбинация этих векторов (и больше никакая!) дает нулевой вектор, иными словами, когда равенство λ1a1 + λ2 a2 + ... + λn an = 0 обязательновлечет λ1 = λ2 = ... = λn = 0 .Например, для любых трех точек А, В и С векторы AB, AC , BC линейнозависимы, т.к. их линейная комбинация с коэффициентами 1, − 1 и 1 равнанулевому вектору: AB − AC + BC = AB + BC + CA = AA = 0 .1.10. Общий критерий1 линейной зависимости нескольких векторов:совокупность векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда одиниз них есть линейная комбинация остальных.

Следовательно, совокупностьвекторов линейно независима тогда и только тогда, когда ни один из них неявляется линейной комбинацией остальных.Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов: Двавектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны. Четыре или более геометрических вектора всегда линейно зависимы.1.11.

Упорядоченная совокупность векторов плоскости (или пространства) называется базисом, если эти векторы, во-первых, линейно независимы,а, во-вторых, через них можно выразить всякий вектор плоскости (пространства). Коэффициенты разложение вектора по базису определены однозначно, они называются координатами вектора в данном базисе. На плоскостибазис образуют любые два неколлинеарных вектора, а в пространстве – любые три некомпланарных вектора. Базис, состоящий из трех единичных попарно перпендикулярных векторов i, j и k, называется ортонормированным.Координаты вектора в заданном базисе мы будем указывать в круглых илифигурных скобках, а именно, запись a{x; y; z} означает, что a = x i + y j + z k .При сложении векторов и умножении их на числа с их координатами выполняются те же самые операции.1.12.