Соболев С.К., Томашпольский В.Я. Векторная алгебра. Методические указания к решению задач по курсу Аналитическая геометрия (2010), страница 12

В тетраэдре ABCD известны длины рёбер, выходящих из однойвершины А и углы между ними: AC = 3, AB = 5, AD = 6 ,∠ CAD = 60 ° , ∠ CAB = arccos 15 , ∠ BAD = 120 ° . Найти: (а) объем тетраэдра ABCD; (б) площадь грани BCD; (в) расстояние от вершины A доплоскости BCD; (г) расстояние между прямыми АD и BC.3. 19. Даны векторы a ( 1; λ ;1 ) , b ( λ ; − 1; 3 ) и c ( 5; 0; 7 ) .

При каких значениях λ эти векторы (а) компланарны; (б) образуют правую тройку;(в) образуют левую тройку.3. 20. Площадь параллелограмма, построенного на векторах a = λ m + nи b = 3m − 4n , равна 18. Найти значение λ, если m = 1 , n = 4 ,( m ^ n ) = 5π 6 .3. 21.Объем тетраэдра ABCD равен 4, его вершины имеют координатыA ( 3;1; 2 ) , B ( − 1; 4;1 ) , C ( 2;1; 5 ) и D ( 2; λ ; 0 ) . Найти значение λ.3.

22. Найти сумму всех значений α , при которых объем параллелепипеда, построенного на векторах a ( 3; − 1;1 ) , b ( α ; 5; 3 ) и c ( 1; 4; α ) ,равен 2.3. 23. Найти значения λ, если известно, что векторы a , b и c не компланарны и ( ( a + λ b )( b + λ c )( c + λ a ) ) = 7( cba) .3. 24. При каких положительных значениях α точки A ( 3; 0; α ) ,B ( α ;1; 8 ) , C ( 2; 4; 3 ) и D ( 4; 5; 6 ) лежат в одной плоскости?3. 25. При каких отрицательных значениях λ площадь параллелограмма,построенного на векторах a ( 1;1; 2 ) и b ( λ ;1; 3 ) , равна 59 ?3. 26.

Объем тетраэдра ABCD равен V0. Найти объем тетраэдра, построенного на векторах AK , BM и CN , где K ∈ BD , M ∈ CD , N ∈ AD иDK : DB = α , DM : DC = β , DN : DA = γ .3. 27. Выразить формулой площадь треугольника АВС на плоскости черезкоординаты его вершин: A( x1; y1 ), B ( x2 ; y2 ), C ( x3 ; y3 ) .3. 28. Выразить через скалярные произведения (наподобие формулыБАЦ–ЦАБ) следующие повторные векторные произведения:(а) [b × [c × a ]] ; (б) [a × [b × a ]] ; (в) [[a × b ] × c ] ;3. 29.

Даны произвольные векторы p , q , r и n . Доказать, что векторыa = [ p × n] , b = [q × n] и c = [ r × n] компланарны.3. 30. Найти необходимое и достаточное условие на векторы а, b и с, прикотором выполняется равенство [a × [b × c ]] = [[a × b ] × c ] .3. 31. Векторы p , q и r удовлетворяют условию p + q + r = 0 . Доказать,что [ p × q] = [q × r ] = [ r × p] .3.

32. Векторы p , q , r и n связаны соотношениями [ p × q] = [ r × n] и[ p × r ] = [q × n] . Доказать коллинеарность векторов a = p − n иb = q−r.56С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.3. 33. Доказать, что векторы p , q и r , удовлетворяющие условию[ p × q] + [q × r ] + [ r × p] = 0 , компланарны.3. 34. Три ненулевых вектора а, b и с связаны соотношениями a = [b × c ] ,b = [c × a ] , c = [a × b ] .

Найти длины этих векторов и углы между ними.3. 35. Доказать, что ( pqr ) ≤ p ⋅ q ⋅ r . В каком случае имеет место знакравенства?3. 36. Три вектора a = OA , b = OB и c = OC удовлетворяют условию[a × b] + [b × c ] + [c × a] = 0 .Доказать, что точки A , B и C лежат на одной прямой.3. 37. Из точки О проведены три некомпланарных вектора a = OA ,b = OB и c = OC . Доказать, что плоскость АВС перпендикулярна вектору n = [a × b] + [b × c ] + [c × a] .3. 38.

Доказать, что для любых трех векторов а, b и с справедливы следующие тождества:(а) [ [a × b ] × [a × c ] ] = ( abc )a ;(б) ( [a × b ] i [a × c ] ) = a 2 ( b i c ) − ( a i c )( a i b ) ;(в) [a × [b × [c × a ]]] = ( a i b)[a × c ] ;(г) [a × [b × c ]] + [b × [c × a ]] + [c × [a × b ]] = 0 ;(д) ( [a × b ][b × c ][c × a ] ) = ( abc ) 2 ;22 2 2222222(е) ( abc ) = a b c − a ( b i c ) − b ( a i c ) − c ( a i b ) + 2 ( a i b )( a i c )( b i c ) .3. 39. Доказать, что для любых четырех векторов а, b, с и d справедливыследующие тождества:(а) ( [a × b ] i [c × d ] ) = ( a i c )( b i d ) − ( a i d )( b i c ) ;(б) [[a × b ] × [c × d ]] = ( abd )c − ( abc )d = ( acd )b − ( bcd )a ;(в) [a × [b × [c × d ]]] = ( b i d )[a × c ] − ( b i c )[a × d ] ;(г) [a × [b × [c × d ]]] = ( acd )b − ( a i b)[c × d ] ;(д) ( [a × b ] i [c × d ] ) + ( [a × c ] i [d × b ] ) + ( [a × d ] i [b × c ] ) = 0 ;(е) ( a i b )[c × d ] + ( a i c )[d × b] + ( a i d )[b × c ] = ( bcd )a .3.

40. Доказать, что если векторы a = [ p × q ], b = [q × r ] и c = [ r × p ] ,компланарны, то и векторы p , q и r тоже компланарны.3. 41. Доказать, что если векторы a = [ p × q ], b = [q × r ] и c = [ r × p] ,компланарны, то они коллинеарны.3. 42.

Доказать, что объем параллелепипеда, построенного на диагоналяхграней данного параллелепипеда, равен удвоенному объему данногопараллелепипеда.3. 43. Выразить с помощью задачи 3.39(а) объем тетраэдра ABCD, еслиизвестны длина ребра АВ, величина ϕ двугранного угла при этом ребреи площади соседних граней АВС и АВD.3. 44. Доказать, что для любых векторов a, b, c, p, q и r справедливыформулы:57С.К. Соболев, В.Я.

Томашпольский. Векторная алгебра.( a i p) ( a i q)= ( [a × b ] i [ p × q ] ) ;( b i p) ( b i q)(a i p) (a i q) (a i r )(б) ( b i p ) ( b i q ) ( b i r ) = ( abc )( pqr ) .(c i p) (c i q) (c i r )3. 45. Доказать, что для любых трех векторов а, b и с справедливы следующие неравенства:(а) ( a i b) 2 ≤ a 2 b 2 ;(а)(б) [a × b ]2 ≤ a 2 b 2 ;(в) ( abc ) 2 ≤ a2 b2 c 2 ;(г) ( abc ) 2 ≤ a 2 b 2 c 2 − a 2 ( b i c )2 ;((д) ( abc ) 2 ≤ a 2 b 2 c 2 − 13 a 2 ( b i c ) 2 + b 2 ( c i a ) 2 + c 2 ( a i b ) 2)3. 46.

При каких векторах a и b уравнение [a × x ] = b имеет решения?Найти все эти решения.3. 47. При каком условии на векторы а, b, c и d система уравнений[a × x ] + [ b × y ] = c ,[ b × x ] − [a × y ] = dимеет решение? Найти все эти решения.3. 48. Даны четыре некомпланарных вектора a, b, c и d. Найти нетривиальную линейную комбинацию этих векторов, дающую нулевой вектор(искомые коэффициенты выразить через скалярное, векторное и/илисмешанное произведения этих векторов).3. 49.

Даны три некомпланарных вектора a, b, c и еще один вектор d.Найти (выразить с помощью скалярного, векторного и/или смешанногопроизведения) координаты вектора по d в базисе {a, b, c}.3. 50. Даны три некомпланарных вектора a, b, c и еще один вектор d. Разложить вектор d по векторам p = [b × c ], q = [c × a] и r = [a × b] (коэффициенты разложения выразить с помощью скалярного, векторногои/или смешанного произведения).3. 51.

Выразить формулой объем тетраэдра, если длины трех его рёбер,выходящих из одной вершины равны а, b и с, а углы между этими рёбрами равны α , β и γ .3. 52. Доказать вторую теорему косинусов для тетраэдра: квадратплощади любой грани тетраэдра равен сумме квадратов площадейтрех его других граней минус удвоенная сумма попарных произведенийплощадей этих трех граней на косинус угла между ними; например,для грани ABC тетраэдра ABCD:2222S ABC= S ABD+ S ACD+ S BCD−− 2 S ABD ⋅ S ABD cos α − 2 S ABD ⋅ S BCD cos β − 2 S ACD ⋅ S BCD cos γ .где α , β и γ – величины двугранных углов при рёбрах AD, BD и CDсоответственно.{58С.К.

Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.3. 53. Доказать, что если три грани тетраэдра попарно перпендикулярны,то квадрат площади четвертой грани равен сумме квадратов площадейпервых трех граней.3. 54. Пусть в трехгранном угле плоские углы равны α, β и γ, а противолежащие им двугранные углы равны ϕ, ψ и θ соответственно. Доказать следующие равенства:cos γ − cos α ⋅ cos βcos θ + cos ϕ cosψ(а) cos θ =; (б) cos γ =;sin α ⋅ sin βsin ϕ sinψsin β sin γ(в) sin α =.=sin ϕ sinψ sin θ3.

55. Доказать, что, что если три плоских угла одного трехгранного угласоответственно равны трем плоским углам другого трехгранного угла,то и противолежащие им двугранные углы первого трехгранного угласоответственно равны двугранным углам другого трехгранного угла.3. 56. Доказать, что если три двугранных угла одного трехгранного угласоответственно равны трем двугранным углам другого трехгранногоугла, то и противолежащие им плоские углы первого трехгранного угласоответственно равны плоским углам другого трехгранного угла.3. 57. Доказать, что все четыре грани тетраэдра равновелики тогда итолько тогда, когда его противоположные рёбра попарно равны.3. 58. Доказать, что противоположные рёбра тетраэдра равны тогда итолько тогда, когда сумма косинусов двугранных углов при всех рёбрах тетраэдра равна 2.3. 59.

Сумма плоских углов трехгранного угла равна 180 0 . Доказать, чтосумма косинусов его двугранных углов равна 1.3. 60. Если от каждой грани многогранника во внешнюю сторону отложить вектор, перпендикулярный этой грани и равный по длине её площади, то сумма всех этих векторов равна нулю. Доказать это утверждение для: (а) произвольной пирамиды; (б) произвольного выпуклогомногогранника.Литература1. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия.

– М., Изд.МГТУ, 1998. – 392 с.2. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа: Учеб. пособие для втузов / Под ред.А.В. Ефремова, Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1993. – 478 с.3. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – Спб.:Профессия, 2001. – 240 с.4. Прасолов В.В., Шарыгин И.Ф. Задачи по стереометрии, – М.