Соболев С.К., Томашпольский В.Я. Векторная алгебра. Методические указания к решению задач по курсу Аналитическая геометрия (2010), страница 6

37. Выразить через углы α, β и γ треугольника АВС барицентрическиекоординаты: (а) центра P вписанной окружности; (б) центра Q описанной окружности; (в) точки H пересечения высот (непрямоугольного)треугольника АВС.1. 38. Треугольник АВС с углами ∠ BAC = α , ∠ ABC = β , ∠ ACB = γ вписан в окружность с центром O .

Доказать, чтоOA ⋅ sin 2α + OB ⋅ sin 2 β + OC ⋅ sin 2γ = 0 .1. 39. ВнепрямоугольномтреугольникеАВСсуглами∠ BAC = α , ∠ ABC = β , ∠ ACB = γ высоты (или их продолжения) пересекаются в точке Н. ВычислитьHA ⋅ tg α + HB ⋅ tg β + HC ⋅ tg γ .1. 40. Внутри треугольника АВС дана точка М. Прямые АМ и ВМ пресекают стороны ВС и АС в точках А1 и В1 соответственно, причем,AM : MA1 = α1 : α 2 , BM : MB1 = β1 : β 2 . Найти барицентрические координаты точки М.1. 41. Высоты треугольника АВС, проведенные из вершин А, В и С равныhA , hB и hC соответственно. Внутри угла АСВ находится точка М, удаленная от сторон ВС и АС на расстояния d A и d B соответственно.

Найти расстояние от точки М до стороны АВ и барицентрические координаты точки М относительно вершин А, В и С. .1. 42. Из произвольной точки внутри K равностороннего треугольникаопущены перпендикуляры KD , KE и KF на его стороны ВС, АС и АВсоответственно. Доказать, что:KO = 23 ( KD + KE + KF ) , где O – центр треугольника.1. 43. Внутри треугольника АВС дана точка М. Прямые АМ и ВМ пресекают стороны ВС и АС в точках А1 и В1 соответственно, причем,BA1 : A1C = α1 : α 2 , CB1 : B1 A = β1 : β 2 .

Найти барицентрические координаты точки М относительно вершин А, В и С.1. 44. На плоскости данный три точки M1, M2 и M3, имеющие относительно вершин треугольника А, В и С барицентрические координаты (необязательно приведенные):M 1{α1 : β1 : γ 1 } ,M 2 {α 2 : β 2 : γ 2 } иM 3{α 3 : β 3 : γ 3 } . При каком необходимом и достаточном условии этитри точки лежат на одной прямой?1. 45.

В пространстве даны четыре точки M1, M2, M3 и М4, имеющие относительно вершин тетраэдра А, В, С и D барицентрические координаты26С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.(не обязательно приведенные): M 1{α1 : β1 : γ 1 : δ1} , M 2 {α 2 : β 2 : γ 2 : δ 2 } ,M 3{α 3 : β 3 : γ 3 : δ 3 } и M 4 {α 4 : β 4 : γ 4 : δ 4 } . При каком необходимом идостаточном условии эти четыре точки лежат в одной плоскости?1. 46.

Какие барицентрические координаты (относительно точек А, В, С иD) имеет точка Q – центр масс системы четырех точек А, В, С и D, в которых сосредоточены массы m A , mB , mC и mD соответственно?1. 47. Какие барицентрические координаты имеет фиолетовый цвет, отмеченный белой звёздочкой на цветовом треугольнике на Рис. 11?1.

48. Дано пять точек: A(4; − 2; − 1) , B(1; 4; 2), C (3;12; 8), D (5; 0;10) иM (14; − 18;15) . (а) Доказать, что точки А, В, С и D не лежат в однойплоскости; (б) найти координаты: (1°) точки N – проекции точки М наплоскость АВD параллельно прямой ВС; (2°) точки K – проекции точкиМ на прямую BC параллельно плоскости АВD; (в) найти проекцию вектора m {11; − 1;10} (1°) на плоскость BСD параллельно прямой AВ;(2°) на прямую AВ параллельно плоскости BСD; (3°) на направлениевектора BD параллельно плоскости АВС.1. 49. В тетраэдре ABCD точки M и K делят рёбра AD и ВС в отношенияхAM : MD = 1: 2 , BK : KC = 3:1 , N – середина отрезка MK. Пусть Р –проекция точки N на плоскость BCD параллельно прямой АС, Q – проекция точки N на прямую АС параллельно плоскости BСD.

Найти:(а) проекцию вектора MK на плоскость АCD параллельно прямой ВС;(б) проекцию вектора MK на прямую ВС параллельно плоскости AСD.(ответы разложить по векторам a = CA, b = CB, d = CD ); (в) барицентрические координаты точек Р и Q относительно вершин тетраэдра.1. 50. Пусть через точу О проходят три прямые ОА, ОВ и ОС, не лежащиев одной плоскости. Доказать, что любой вектор т однозначно представим в виде m = a + b + c , где векторы а, b и с лежат на прямых ОА, ОВи ОС соответственно.

Описать векторы а, b и с в терминах проекций.1. 51. Доказать, что векторные статические моменты совокупности материальных точек относительно двух разных точек О и Р связаны формулой:MO = ( m1 + m2 + ... + mn )OP + M P .1. 52. Где расположен центроид: (а) отрезка; (б) параллелограмма;(в) круга (окружности); (г) параллелепипеда; (д) призмы.1. 53. Найти барицентрические координаты центроида контура треугольника АВС относительно его вершин, если известны его: (а) стороны а,b и с, противолежащие вершинам А, В и С соответственно; (б) углыα , β и γ при вершинах А, В и С соответственно.1. 54.

В треугольнике АВС известны декартовы координаты его вершин:A(3;1; 4), B(4; 3; 2), C (6; 7; 6) . Найти декартовы координаты центроида:(а) сплошного треугольника АВС; (б) контура треугольника АВС.27С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.1. 55. Определить положение центроида поверхности произвольного тетраэдра.1. 56. Найти барицентрические координаты центроида каркаса тетраэдраABCD относительно его вершин, если известны длины всех рёбер:BC = a , AC = b, AB = c, AD = d , BD = e, CD = f .1.

57. Найти барицентрические координаты центроида каркаса тетраэдра,у которого противоположные рёбра попарно равны.1. 58. В тетраэдре ABCD известны площади его граней S ABC , S ABD , S ACDи S BCD . Найти барицентрические координаты (относительно вершинтетраэдра): (а) точки пересечения медиан тетраэдра; (б) центра его вписанного шара.Глава 2.

Скалярное произведение векторов.2.1. Напомним, что углом между ненулевыми векторами а и b – называется угол ∠ ACB между равными им векторами, отложенными от одной точки С: a = CA b = CB , этот угол обозначается ( a ^ b) и может изменяться впределах от 0° до 180° включительно. Скалярным произведением двух векторов а и b называется число (т.е. скаляр), обозначаемое (в разных книгах)ab = a i b = ( a, b) = ( a i b) (в данном пособии принято последнее обозначение), и которое равно нулю, если хотя бы один из векторов а или b нулевой, аесли оба вектора ненулевые, то равно произведению длин этих векторов накосинус угла между ними: ( a i b) = a ⋅ b ⋅ cos( a ^ b) .2.2. Алгебраические свойства скалярного произведения (верные длялюбых векторов а, b и числа λ ∈ ):(а) ( a i b) = ( b i a) (коммутативность);(б) ( a i ( b + c )) = ( a i b) + ( a i c ) (дистрибутивность);(в) ( a i λ b) = λ ( a i b) (ассоциативность);(г) ( a i a) = a 2 ≥ 0 , причем точное равенство выполняется, только когдаa = 0;(д) ( a i b) = 0 тогда и только тогда, когда один из векторов нулевой иливекторы а и b перпендикулярны.2.3.

Векторы а и b называются ортогональными, если их скалярноепроизведение равно нулю.Скалярным квадратом вектора а называется скалярное произведениеэтого вектора на себя: a 2 = ( a i a) . Поэтому свойство (г) можно записать так:defa2 = a2≥ 0 . Отсюда следует простая, но полезная формула для длины век-тора: a = a 2 . Отметим, что не существует скалярного куба, и подавно, более высоких скалярных степеней вектора.Из свойств (а) – (в) вытекает справедливость некоторых формул векторной алгебры, аналогичных хорошо известным формулам обычной алгебры:28С.К.

Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.(д) ( a ± b)2 = a2 ± 2( a i b) + b2 ;(е) ( ( a + b) i ( a − b) ) = a2 − b2 .2.4. Ортогональная проекция точки А на плоскость π – это точка пересечения этой плоскости с прямой, проходящей через точку А перпендикулярно плоскости π. Ортогональная проекция точки А на прямую ℓ – это точкапересечения этой прямой с плоскостью, проходящей через точку А перпендикулярно прямой ℓ.Ортогональной проекцией вектора AB на плоскость π (на прямую ℓ) –называется вектор A1B1 , где точки А1 и В1 – ортогональные проекции точек Аи В на эту плоскость (прямую). Ортогональная проекция вектора b на плоскость π (прямую ℓ) обозначаются Prπ⊥ ( b) и Pr⊥ ( b) соответственно (символ ⊥иногда опускается). Если на прямой задано направление, то она называютсяосью.

Ортогональная проекция вектора AB на ось т – это число ± A1B1 ,где точки А1 и В1 – ортогональные точек А и В на эту ось, а знак плюс илиминус выбирается в зависимости от того, совпадает ли направление вектораA1B1 с направлением на оси т. Проекция вектора b на ось, направленную повектору а, или короче, на направление вектора а, обозначается Pra⊥ ( b) илипросто Pra ( b) .Ортогональная проекция вектора b на прямую ℓ находится по формуле( a i b)Pr⊥ ( b) = λ a , где а – произвольный ненулевой вектор прямой ℓ, λ = 2 .aОртогональная проекция вектора b на направление вектора а находится по( a i b).формуле: Pra⊥ ( b) = b ⋅ cos ( a ^ b ) =a2.5.

Физический смысл скалярного произведения. Работа А, совершаемая силой f на перемещение s, равна скалярному произведению этих векторов: A = ( f i s ) .2.6. Неравенство Коши – Буняковского: ( a i b) ≤ a ⋅ b . Косинус угламежду двумя ненулевыми векторами а и b вычисляется по формуле:( a i b)cos( a ^ b ) =.a⋅b2.7. Свойства длины вектора.

Для любых векторов а, b и числа λ ∈ :( а) a + b ≤ a + b ;(б) a − b ≥ a − b ; (в) λ a = λ ⋅ a .Вектор длины 1 называется единичным или (почему-то) ортом. Из любого ненулевого вектора a можно получить коллинеарный ему единичный1вектор, для этого надо умножить его на число λ = ± , это операция назыa29С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.вается нормирование. В результате получатся два единичных взаимно противоположных вектора e1,2 = ± 1a a .82.

8. Скалярный квадрат алгебраической суммы нескольких векторов равен сумме скалярных квадратов каждого из этих векторов плюс алгебраическая сумма удвоенных попарных скалярных произведений этих векторов друг на друга, например,( a − b + c )2 = a 2 + b 2 + c 2 − 2( a i b ) + 2( a i c ) − 2( b i c ) .2. 9.

Полезное векторное тождество:( a + b + c )2 + b 2 = ( a + b )2 + ( b + c ) 2 + 2( a i c ) .2. 10. Следствие (теорема косинусов для тетраэдра или произвольного четырехугольника): Для любых четырех точек пространства А, В, С иD:AD 2 + BC 2 = AB 2 + CD 2 + 2 AC ⋅ BD ⋅ cos ϕ ,где ϕ – угол между лучами АС и BD.2. 11. Если известны координаты векторов a1{x1 ; y1; z1} и a2 {x2 ; y2 ; z2 } вортонормированном базисе {i; j; k} , то скалярное произведение этих векторов и длина вектора a1 вычисляются по формулам:( a1 i a2 ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 ;a1 = x12 + y12 + z12 .2.

12. Направляющими углами луча или вектора m называются углы α,β и γ , которые этот луч (вектор) образует с координатными осями ОХ, OY иOZ (прямоугольной системы координат) соответственно. Косинусы этих углов (их часто тоже называют направляющими) являются координатами (вортонормированном базисе) единичного вектора, одинаково направленному случом (вектором) т, и поэтому удовлетворяют равенству:cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 .2. 13. Определителем Грама9 нескольких векторов a1 , a2 , ..., an – этоопределитель, составленный из попарных скалярных произведений этих векторов друг на друга:a12( a1 i a2 ) ( a1 i an )(a i a )a22 ( a2 i an )Γ( a1 , a2 , ..., an ) = 2 1.def( an i a1 ) ( an i a2 ) an2Например, определитель Грама двух векторов а и b равен:a2( a i b)Γ ( a, b ) == a 2 b 2 − ( a i b )2 .2(b i a) b8Слово «нормированный» по отношению к вектору означает «равный по длине единице», а«орто» по-гречески означает «прямой», однако почему-то единичный вектор принято называтьортом, а вектор, перпендикулярный прямой или плоскости – её нормалью, хотя логичней былобы назвать их наоборот.9Грам Й.