Соболев С.К., Томашпольский В.Я. Векторная алгебра. Методические указания к решению задач по курсу Аналитическая геометрия (2010), страница 2

Пусть некоторая точка О принята за начало отсчета. Радиусомвектором точки А называется вектор OA . Если точка С делит отрезок АВ вβзаданном отношении: AC : CB = α : β , то OC = α + β OA + α α+ β OB . В частности, радиус-вектор середины отрезка АВ есть12( OA + OB ) .1.13. Декартова система координат на плоскости (в пространстве) состоит из точки О (начала отсчета) и базиса в этой плоскости (пространства)т.е. двух неколлинеарных векторов этой плоскости (соответственно трех некомпланарных векторов). Напомним, что числовой осью (или координатнойпрямой) называется прямая, на которой заданы начало отсчета, направлениеи масштаб. Каждой точке Р координатной прямой однозначно соответствуетнекоторое вещественное число xP ∈ и наоборот. Координатные прямые с1Критерий – это синоним для словосочетания «необходимое и достаточное условие».6С.К.

Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.началом отсчета в точке О, сонаправленные соответствующим базисным векторам a; b; c и с единицей масштаба, равной длине этих векторов, называются координатными осями ОХ, OY и OZ, а также осями абсцисс, ординат иаппликат соответственно. Координатами точки М в декартовой системекоординат называются координаты её радиус вектора OM в базисе { a; b; c },т.е. запись M ( x; y; z} означает, что OM = x a + y b + x c . Если базис ортонормированный {i, j , k} , то соответствующая декартова система координат называется прямоугольной.

В общем случае любая координата точки М естьпроекция точки М на соответствующую координатную ось параллельноплоскости, содержащей две другие координатные оси (см. п. 1.16 далее).В частности, в случае прямоугольной системы координат это прямоугольные(ортогональные) проекции точки М на эти оси.1.14. Если точки А и В имеют координаты A( x A ; y A ; z A ) и B( x B ; y B ; z B )то вектор AB имеет координаты AB( x B − x A ; y B − y A ; z B − z A ) .Координаты точки С, делящей отрезок АВ в заданном отношении:AC : CB = α : β , выражаются через координаты точек А и В формулами:βββxC = α + β x A + α α+ β x B , yC = α + β y A + α α+ β y B , zC = α + β z A + α α+ β z B .Расстояние между точками А и В в прямоугольной системе координатвыражается формулой: AB = ( x A − x B )2 + ( y A − y B ) 2 + ( z A − z B )2 .

Далее, поумолчанию, система координат всегда прямоугольная.1.15. Пусть в пространстве даны прямая ℓ и не паℓ1раллельная ей плоскость π.π1ПроекциейпроизвольнойAℓточки А на плоскость π паА2раллельно прямой ℓ называπA1ется точка А1 пересеченияэтой плоскости с прямой ℓ1,проходящей через точку АРис. 3параллельно2 прямой ℓ. Проекцией точки А на прямую ℓ параллельно плоскости π называется точка А2пересечения этой прямой с плоскостью π1, проходящей через точку А параллельно плоскости π. (см. Рис.

3). Проекция фигуры Ф на плоскость (прямую)состоит из проекций всех точек фигуры Ф на эту плоскость (прямую). На.рис. 4 изображена линия L1 – проекция кривой L на плоскость π параллельнопрямой ℓ. Проекция точки или фигуры на плоскость параллельно прямой,перпендикулярной этой плоскости, называется прямоугольной или ортогональной.

Параллельная (в частности, ортогональная) проекция на плоскость2В этом и в двух следующих пунктах две совпадающие прямые или плоскости тоже считаютсяпараллельными.7С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.широко используется для изображения пространственных фигур на плоскости. Отметим свойства параллельных (и, в частности, ортогональных) проекций на плоскость, известные их курса школьнойгеометрии:L(а) проекция прямойℓесть прямая (или точка);(б) проекции парал4L1лельных прямых тоже параллельны (или совпадают);Рис.

4(в) длины проекцийотрезков, расположенных на одной прямой пропорциональны длинам самихотрезков.1.16. Проекцией вектора AB на плоскость на плоскость π параллельнопрямой ℓ называется вектор A1B1 , где А1 и В1 – проекции точек А и В соответственно на плоскость π параллельнопрямой ℓ, она обозначаетсяBA1B1 = Prπ ( AB ) . Анаℓ1B2ℓлогично определяетсяAпроекция вектора ABна прямую ℓ паралA2B1лельно плоскости π –A1это вектор A2 B2 , где А2πи В2 – проекции точекРис.

5А и В соответственнона прямую ℓ параллельно плоскости π, она обозначается A1B1 = Prπ ( AB ) .(см. Рис. 5).Свойства параллельной проекции вектора на плоскость:(а) Если A1B1 = A2 B2 , π 1 π 2 и 1 2 , то Prπ11 ( A1B1 ) = Prπ22 ( A2 B2 ) ;(б) свойство линейности: для любых векторов a1 , a2 и чисел λ1 , λ2 ∈ :Prπl ( λ1a1 + λ2 a2 ) = λ1 ⋅ Prπl ( a1 ) + λ2 ⋅ Prπl ( a2 ) .Аналогичные свойства верны и для проекции вектора на прямую.(в) Если прямая ℓ и плоскость π не параллельны, то для любого вектора асправедливо представление:a = Prπ ( a) + Prπ ( a) .Это представление называется разложением вектора а по прямой ℓ иплоскости π.8С.К. Соболев, В.Я.

Томашпольский. Векторная алгебра.Чтобы найти проекцию вектора b на плоскость π параллельно прямой ℓ,или проекцию вектора b на прямую ℓ параллельно плоскости π надо выбратьв плоскости π два неколлинеарных вектора a1 и a2 , выбрать на прямой ℓ ненулевой вектор а3 и разложить вектор b по базису {a1; a2 ; a3} :b = λ1a1 + λ2 a2 + λ3a3 . Тогда Prπ ( b ) = λ1a1 + λ2 a2 , Prπ ( b ) = λ3a3 .1.17.

Пусть в пространстве задан ненулевой вектор а и непараллельнаяему плоскость π. Проекцией вектора b на направление вектора а (параллельно плоскости π) называется число ± b1 , где вектор b1 = Prπ ( b ) – проекция вектора b на прямую ℓ параллельно плоскости π (где ℓ – любая прямая,параллельная вектору а), а знак + или – выбирается в зависимости от того,совпадает или нет направление вектора b1 с направлением вектора а.Проекция вектора b на направление вектора а (параллельно плоскости π)обозначается Praπ ( b) , она обладает свойствами:(а) Если векторыa1 иa2одинаково направлены:a1 ↑↑a2 , тоPraπ1 ( b ) = Praπ2 ( b ) , а если векторы a1 и a2 противоположно направлены:a1 ↑↓a2 , то Praπ1 ( b ) = − Praπ2 ( b ) ;(б) свойство линейности: для любых векторов b1 , b2 и чисел λ1 , λ2 ∈ :Praπ ( λ1b1 + λ2 b2 ) = λ1 ⋅ Praπ ( b1 ) + λ2 ⋅ Praπ ( b2 ) .Чтобы найти проекцию вектора b на направление вектора а параллельноплоскости π (не параллельной вектору а), надо в плоскости π выбрать два неколлинеарных вектора c1 и c2 , разложить вектор b по базису { a; c1 , c2 } :b = λ a + µ1c1 + µ2 c2 , тогда проекция вектора b на направление вектора а (параллельно плоскости π) равна:Praπ ( b) = λ ⋅ a .Пример 1.

Даны произвольные векторы p и q. Доказать, что векторыa = 2 p + 5q , b = 3 p − q и c = − 4 p + q линейно зависимы.Решение. Построим плоскость π на векторах p и q , отложенных отобщего начала. Тогда векторы а, b и с лежат в той же плоскости π и поэтомукомпланарны, а значит, и линейно зависимы. Можно найти и конкретнуюлинейную комбинацию векторов а и b, дающую вектор с. Пустьλ a + µ b = c ⇔ λ (2 p + 5q) + µ (3 p − q) = − 4 p + q ⇔⇔ (2λ + 3µ ) p + (5λ − µ )q = − 4 p + q.Для наших целей достаточно найти λ и µ, удовлетворяющих системе:1222λ + 3µ = − 4,Решив её, находим:λ = − , µ = − .

Итак,5λ − µ = 1.1717122c = − a − b , это и значит, что векторы а, b и с линейно зависимы. 1717{9С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.Пример 2. Векторы a, b, и с имеют в некотором исходном базисе координаты a( − 1; 2; 3), b(3;1; 4), c (5; 3; 2) . Доказать, что эти векторы тоже образуют базис, и разложить по новому базису вектор d (11;16; 9) .Решение. Докажем, что векторы a, b, и с линейно независимы.

Допустим, что какая-то линейная комбинация этих векторов даёт нулевой вектор:α ⋅ a + β ⋅ b + γ ⋅ c = 0 . Записав координаты векторов по столбцам, получим: − 1 3 5   0   −α + 3β + 5γ = 0,α 2 + β 1 + γ 3  =  0  ⇔  2α + β + 3γ = 0,       3 4 2   0  3α + 4 β + 2γ = 0.Для решения последней системы применим формулы Крамера. Главныйопределитель равен−1 3 5∆ = 2 1 3 = − 2 + 27 + 40 − 15 − 12 + 12 = 50 ≠ 0,3 4 2а все вспомогательные определители, очевидно, равны нулю (у них одинстолбец полностью нулевой). Поэтому решение системы α = β = γ = 0 . Это изначит, что векторы a, b, и с линейно независимы, и поэтому образуют базисв пространстве.

Далее нам надо найти коэффициенты х, у и z разложенияx ⋅a + y ⋅b + z ⋅c = d : − 1 3   5   11   − x + 3 y + 5z = 11,x  2  + y  1  + z  3  =  16  ⇔  2 x + y + 3z = 16,        3 4   2   9   3x + 4 y + 2 z = 9.Решив последнюю систему, например, методом Крамера, получим:x = 3, y = − 2, z = 4 . Ответ: d = 3a − 2b + 4c .Пример 3. Выразить радиус вектор точки М пересечения медиан треугольника АВС через радиус-векторы его вершин.Решение.

Как известно, точка М лежит на медиане AD и делит её в отношении AM : MD = 2 : 1 , и D – середина отрезка BC. Тогда, если О – началоотсчета (не важно, где оно находится!), то OD = 12 (OB + OC ) , иOM = 13 OA + 23 OD = 13 OA + 23 ( 12 OB + 12 OC ) =13( OA + OB + OC ) . Пример 4. Считая известными длины сторон треугольника АВС:BC = a , AC = b, AB = c , выразить радиус-вектор центра Р его вписаннойокружности через радиус-векторы его вершин.Решение. Как известно, во-первых, центр вписанной окружности лежитна пересечении биссектрис, а во-вторых, биссектриса треугольника делит егосторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Пусть Р – точкапересечения биссектрис AD и BE треугольника АВС (см. Рис.

6.; треугольникможет лежать в плоскости, не параллельной плоскости чертежа, и поэтомувписаннаяокружностьвыглядиткакэллипс).Тогда10С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.Следовательно,BD : DC = AB : AC = c : b .bcAOD =OB +OB . Далее, положим:Рис.6b+cb+cBD CD== x , тогда BD = cx , DC = bx иcbPEоткудаcx + bx = BD + DC = BC = a ,aacBx=⇒ DB = cx =. Аналогично, вDCb+cb+cтреугольнике ABD биссектриса ВР делит стороacb+cну AD на части AP : PD = AB : BD = c :== (b + c ) : a . Поэтомуb+caaOP =OA + b + c OD =a+b+ca+b+cab OB + c OB ==OA + b + ca+b+ca+b+c b+cb+cabc=OA +OB +OC. àa+b+ca+b+ca+b+cПример 5.

В треугольнике АВС известны координаты его вершин:A(2; 3; − 1), B (1; 5;1), C (4; 7; − 5) Найти координаты центра вписанной окружности и длину медианы BD.Решение. Сначала найдем длины сторон треугольника:a = BC = (1 − 4)2 + (5 − 7) 2 + (1 + 5)2 = 9 + 4 + 36 = 7,b = AC = 4 + 16 + 16 = 6, c = AB = 1 + 4 + 4 = 3.Следовательно, радиус вектор центра вписанной окружности выражается через радиус-векторы вершин треугольника так:abcOP =OA +OB +OC =a+b+ca+b+ca+b+c76= 16OA + 16OB + 163 OC.Аналогичная формула справедлива и для каждой из трёх координатточки Р:1 ( 7 x + 6 x + 3 x ) = 1 ( 7 ⋅ 2 + 6 ⋅ 1 + 3 ⋅ 4 ) = 1 ⋅ 32 = 2 ,xP = 16ABC1616()1 (1 (1y P = 167 y A + 6 y B + 3 yC ) = 167 ⋅ 3 + 6 ⋅ 5 + 3 ⋅ 7 ) = 16⋅ 72 = 92 ,1 ( 7 z + 6 z + 3z ) = 1 ( 7 ⋅ ( − 1) + 6 ⋅ 1 + 3 ⋅ ( − 5 )) = − 1 .z P = 16ABC16Следовательно, P ( 2; 92 ; − 1 ) .