9.2 Опред.перемещ. и напр.в т.цилиндре (Ещё один учебник Феодосьева)

9.2. Определение перемещений и напряжений в толстостенном цилиндре Рассмотрим пилиндр с внутренним радиусом а и внешним Ь (рис. 9.5). Зля общности будем полагать, что цилиндр. нагружен одновременно и внутРенним двлленкем Ра и внешним РЬ. В дальнейшем, прини- 'Ъ мая РЬ = 0 либо Ра = 0» можно будет проанализировать отдельно случаи действия только внутреннего и тольхо внешнего давле- я ния. При этом кадо еще учесть, что если цилиндр имеет днище (рис.9.6,а), то в нем возникает Рис.

9.6 ЗВЗ Рис. 9.6 осевая растягнвающая сила, равная Рата — РЬяЬ . 2 2 Осевое напрюкение >та будет следующим: Рва РЬ 62 (9.9) 62 аг Ялику цилиндра при этом предполагают достаточно большой для того,.чтобы можно было считать, что напряжение аа распределено по поперечному сечению равномерно н что удерживающее влияние диищ на радиальные перемещения цилиндра ничтожно мало.

КРОМЕ ухаэаННОГО, раССМОтрИМ СяуЧай, КОГда 3та = О, КаК, например, для цилиндра, показанного на ркс. 9.6, б. Возврыпаясь к формулам (9.7), определяем постоянные А и В из следующих граничных условий: ат = -ра при т = а; »т> = -Рь при т = Ь, т.е.

В В А — — = -р а а> А — — = -РЬ 6 2 откуда р аг — РЬЬ2 агЬ2 А= ', В= — (Р.— РЬ). 62 — аз ' 62 — аг 664 В итоге вместо (9.7) и (9.8) получаем рааг — РЬЬ2 агЬ2 ра — РЬ >т 62 — аг тг 62 — аг , 1 †,и Рааг — РЬЬ2 1 + гг а262 Р, - РЬ 3и и =' — т+ — — — — — аэ. (9.11) Е Ь вЂ” 2 Е т 62 — 2 Е (9.10) Наличие осевого напряжения ад сказывается только на радиальном перемещении а. В случае, если цилиндр нагружен силами давления в осевом направлении, то, согласно выражениям (9.9) и (9.11), получаем 1 — 233 раа2 — РЬЬ2 1 + ги 6262 ра — РЬ а = — т+ — — —. (9.12) Е 62 — аг Е 3' Ьг-аг Если осевая сила отсутствует, то 1 — Ьг Рааг — ' РЬ62 1+,и агЬ2 Ра — РЬ и— Е 62 — аг Е т Ьг-аг т+ Теперь рассмотрим два частных случая. Цилиндр нагружен внутренним д а в Л е н не м.

В этом слУчае Ра=Р> РЬ=О. фоРмУла(9.10) принимает вид (9.14) На рис. 9.7 похазаны эпюры изменения радиального н окружного налрюкений по толщине цилиндра прн нагружении внутренним давлением. Окружное напряженке, как и следовало Рис. 9.7 '3 С>щюе»иав аиа»»в>а» ЗВЗ эжидать, является растягивающим, а радкалъиое — сжимающим. У внутренней поверхности аг достигает налболъшего Значения: Ьг + аг >тг (> =а) = Р р 2 Радиальное напряжение при этом равно -р.

Согласно теории наибольших касательных напряжений (в :лучае отсутствия осевом силы, т,е, прн аа = 0), Ьг+ аг а'эав = а1 — »тэ = Р-У- — — (-Р)> Ь -62 2рг »тэав = Р 62 — аг (9.15) Проследим, как изменяются напряжения ат и аг по мере гменьшения толщины цилиндра. Примем Ь = а+ 6, где 6— щлшина цилиндра. 'Рогда (а+ 6)2 + аг 62 г(т=а) = Р 6(26+ 6)» г(т>аа) — Р 6(26+6) При малом значении 6 гли а гтг(т»аа) ~ аг(>'иЬ) ги Р 6' Радиальное напряжение ет у внутренней помрхиости равно -р, а у внешней — нулю, независимо от толщины цилиндра. Ганям образом, мы видим, что для циликдра с малой толциной стенки окружные напряжения распределены по толщиге почти равномерно, а радиальные — малы по сравнению с жружными в той же мере, в какой толщина 6 мала по сравнегию с радиусом. Если толщина цилиндра умличивается, то накболъшие гапряжения в нем прн неизменном давлении уменъшаются, но ге беспредельно.

Рассмотрим случай, когда Ь > оо, т.е. когда гилиндр имеет бесконечно большую толщину. Тогда выражегие (9.14) принимает вид 62 а, =~р —. тг 166 Рис. В.В Это значит, что для цилиндра с бесконечно большой толщиной стенки радиальное напряжение в любой точке равно окружному (рис. 9.8), и прн отсутствии осевых напряжений все точки находятся в состояник чистого сдвига. Палее, нвлрюкенкя, как видим, находятся в обратно пропорциональной зависимости от квадрата радиуса т. Если принять, например, т = 4а, то в точках, расположенных на таком расстоянии от оси, нвлряженим составляют всего 1/16 максимальных. Следовательно, когда можно довольствоваться точностью расчетов в пределах 5...6 та (практически бблъшая точность н недостижим, хотя бы из-за упругих несовершенств материала), то цилиндр с отношением Ь/а > 4 можно уже рассматривать как имеющий бесконечно большую толщину стенки. Супгественно, что при этом мы совершенно не связаны с формой внешнего контура.

Если все точки внешнего контура удалены от осн внутреннего отверстия более, чем на 4а, то форма внешнего контура оказывает влияния на распределение напряжений. Расчет упругих тел, таких, например, как на ркс. 9.9, сводктся, очевидно, х схеме цилиндра с бесконечно большой толщиной стенки, Рис. 9,9 Эквивалентное напряжение, согласно выражению (9.15), при 6- оо будет равно аэав = 2Р. 3 ззт Следовательно, если, например, предел упругости материала равен 600 МПа, то при бесконечно большой толщине пилиндра деформации будут упругими при давлении, не превышающем 300 МПа, О том, хакке возможности имеются для обеспечения прочности при более высоких давлениях, мы скажем несколько позже.

Цилиндр нагружен внешним давлением. В этом случае ра = О, рь = р. Выражение (9.10) принимает вид Эпюры напряжений по толщине цилиндра для этого случая нагружения представлены на рис. 9.10. Наибольшее эквивалентное напряжение имеет место у внутренней помрхкости цилиндра. При отсутствии осевой силы 262 г =3>1 — о'З=О— Ь вЂ” а илн 262 гтэвв = Р 62 62. Это выражение совпадает с тем, которое было получено для случал внутреннего давления. Рис.

9.19 Если внутреннее отверстие отсутствует, т.е. а = О, то напряжения в цилиндре распределены равномерно: ат = гтг = -Р. ЗВВ П р в и е р 9.1. Певебратэ раээ>вр Вае>вдето дваиатра 2Ь дваю>дра, вревваэвачеввоте даа гдериавва ввутреввете даваевва р = ЗО МПа» врв усаоввв двтаратаого воэффвввевта эаваеа. Правее тевг»веста ивтервааа е, р — — ' е>, = 660 МПа. Ваутреввй дваиетр задан: 2а = 16 еи.

Навбоаее овасвиив ааааа>тса тоаав» раеваавиеввые Г ввутреввея воверавеетв ввлввдра. Сотласво формулам (9.9) в (9.14), получаем Ьэ+ а' в>= р в>=Р— ~ е>=р— Ьэ — а> ' Ь* — а* 2Ь> Очеввдво, »»» = е>, еэ = в>. Отсюда в»» — — е» вЂ” еэ и р —. После Ьэ — аэ ' подстановки ввсаовыв эвачеввй ваходви 2Ь = 2»/З/З а = 12,9 си. .