9.1 Осн.ур-я для толст.трубы (Ещё один учебник Феодосьева)

Глава 9 ТОЛСТОСТЕННЫЕ ТРа БЫ 9.1. Основные уравненнн длн толстостенной трубы В технике для удержания высокого давления приходится иметь дело с толстостенными сосудамн. Обычно это — цилиндр, внешний диаметр которого в несколько раз превышает внутренний. Задача определения напряжений в таком цилиндре заметно сложнее, чем в тонкостенных сосудах, н одними только уравнениями равновесия обойтись не удается. Приходится также рассматривать возникающие в цилиндре перемещения. Эту задачу назыввют задачей Ламе но имени французского ученого, работавшего в 29-х годах прошлого столетия в Петербургской Ахаявмии наук.

Рассмотрим однородное тело цилиндрической формы (рис. 9.1), нагруженное твл, что внепшяя нагрузка является осесимметричной и вдоль оск цилиндра ке меняется. Размеры цилиндра могут быть произвольными, и на соотношение между внутренним и наружным радиусами цилиндра ограничений накладывать не будем. Ляпну дилнндра пока также зтв будем считать произвольной. В дальнейшем по этому поводу будут сделаны некоторые оговорки.

Каждая точка цилиндра при его деформапни получит какие-то перемещения. По условиям симметрии эти перемещения, очевкдно, будут происходить в радиальных плоскостях. Точка может перемещаться по наРис. 9.1 правлению радиуса и вдоль соответствуюшвй образующей. Радиальное перемещение пройзвольно взятой точки обозначим через и. Величина и является функцией текущего радиуса г и не изменяется по длине цилкндра. За положительное направлений для т примем направление от оси цилиндра (см. рис. 9.1). Что касается перемещений вдоль оси, то будем считать, что они возникают только как следствие общего удлинения или укорочения цилиндра.

Если осевые перемещения существуют, то они распределены тах, что поперечные сечения цилиндра остаются плоскими. Обозначим через гг и гт относктельные удлинения в пнлиндре в радиальном и окружном каправленнях н выразим их через перемещение и. Лля этого рассмотрим элементарный отрезок АВ = Й, выделенный в радиальном направлении (рис. 9.2), до и после нагружения цилиндра. Точха А получает перемещение и, а точка  — перемещение и+ Йа Легко установить, что новая вво длина элемента будет равна Й + Ыи, а его относительное удли пение Й~ Ег = ° (9,1 Й.

Рассмотрим, далее, длину окружности, проведенной внутрв цилиндра до и после его нагружения (ркс. 9.3) Ллина окруж ности до нагружеиия цилиндра равна 2ят. После нагруже ния радиус увеличится на и и длина окружности будет рави~ 2з (т + и). Относительное удлинение ее составит 2я (т+ и) — 2тт гг = 2ят клн св ж и!т. Исключая и иэ равенств (9.1) и (9.2), получаем И (гтт) — яг = О гвт Обратимся теперь к уравнениям равновесия. (9.2' (9.3,' Ло Рис, в.г Рис.

9.4 Выделим нз цилиндра элемент в форме криволинейного иестигранника (рис, 9.4). Ллнны сторон этого элемента равны 1т„Аг и тЙр. В осевых сечениях цилиндра (плоскость АВСЮ элеменва) по условиям осевой симметрии касательные напряжения отсутствуют и сохраняются только нормальные напряжения гг, называемые оируисиыии, В поперечных сечениях цилиндра вт куда 4Ьг аг + т аг = Ог Й вли — (а„т) — а1 = О, И (9.4) г1т Остальные уравнения равновесия для элемента удовлетвоэяются тождественно. Согласно обобщенному закону Гуха, напряжения а„ав и т, связаны с удлинениями ег и гг следующими соотношениями: 1 1 г = — ( ° -1 (ав+а )] е1 = — (ав - р(а~+ аг)).

(9.8) г Е г Е Будем считать, что напряжение аг нам известно нз условий загруження цилиндра осевыми силами по торцам. Подставим гг и гг в выражение (9.3). Тогда в дополнение в уравнению равновесия получим И вЂ” (агт) — т, = О. Й (9.6) ввг Складывая к вычитая почленцо уравнения (9.4) и (9.6), иолучим два новых уравнения: А а-' 1(ав + аг) т) — (ав + а,) = О; Й. — Цтв — аг) т) + (аг — аг) = О. Решал их, находим 2В аг+ аг = 2А; ав — аг — — — г, где А н  — произвольные постоянные. Палее определяем В аг =Ат (9.7) т (верхнему индексу соответствует верхний знак, нижнему— нижний).

Перемещение и можно найтк из выражения (9.2), если г1 определить предварительно по формулам (9.5): 2 ~ 1 и = — ~А(1 —,и)т+В(1+ р) — — ра т . (9.8) Е~ т 991 поверхность СЮЕУ элемента) касательные напряжения танке предполагают равнымк нулю. Осповаикем этому служит ~словце независимости перемещений и от координаты г. В поверечных сечениях могут существовать нормальные (осевые) пвпряжения а„которые возникают как следствие нагруження ~нлнндра силами вдоль оск. Этк напряжения предполагают неизменными как по осн, так и по радиусу цилиндра.

Поскольку площадки АВСЮ и СЮЕГ являются глеаныги, главной будет также и площадка АЮЕС. Напряжение на ггой площадке обозначим через а;. Оно называется радиалввым напряженнем. При переходе от радиуса т к радиусу т+ йт 1елряжение сг, получит приращение ааг. ' В рассматриваемой постановке, ках видим, задачу опрегеления напряжений и перемещений в теле вращения можно тешить в функции только одного независимого переменного— вадиуса т.

Проецируя силы, действующие на зяемент, па направлегие радиуса, получаем следующее условие равновесию (аг + ~Ьг) (т + г1т) гйрйг — агт Йр сЬ вЂ” аг г(т Аг йр = О, .