7.7 Обобщ.з-н Гука.. (Ещё один учебник Феодосьева)

Т.Т. Обобщенный закон Гука и потенциальная энергия деформации в общем случае напряженного состояния До сих пор напряженное и деформированное состояния рассматривали независимо одно от другого и не связывали со свойствами материала. Однако между компонентами напряженного состояния, с одной, стороны, и деформированного — с другой, существует определенная зависимость. В пределах ма'лых деформапий эта зависимость является линейной и носит название обобщенного закона Гука. Наиболее простую форму обобщенный закон Гуиа принимает для изотропного тела.

В этом случае коэффициенты пропорциональности между хомпонентами напряженного и деформированного состояний не зависят от ориентации осей в точке. Для того чтобы составить аналитическое выражение обобщенного закона Гуиа, воспользуемся приицидом независимости действия сил и рассмотрим раздельно силы, возникающие на гранях элементарного параллелепипеда (рис.

7.29). Рнс. 7.39 В любой из иоординатпых плоскостей, например уОх~ угловая деформация определяется только соответствующим хасательным напРЯжением 7ув — — туз/О. Лве дрУгие паРы иасательных напряжений, а также нормаяьные нелряжения не бУдУт влиать на 7ув, что Явлиетса следствием свойств изотРопного материале. Сказанному можно дать следующее объяснение. Допустим, что на гранях элемента вознииают только касательные напряжения тву — — туз (рис. 7.30, а). Спрашивается, может лн при этом поивитьси Угловая дефоумапии 7ув В плОскОсти, перпендикулярной плоскости действия хасателыгых напряжений тву7 Рис.

7.99 Если эта деформация возникает, то указать ее знак для изотропного материала невозможно, поскольку "предпочтительность" того или иного направления для тву не обнаруживается, а в свойствах материала она отсутствует. Положим, например, что сдвиг происходит в направлении, указанном на рис. 7.30, а. Тогда, поворачивая элемент на 180в относительно оси г, получаем точно ту же систему сил тву и противоположный знак 7ву (рис. 7.30, б). Ясно, что указанное противоречие устраняется только в том случае, если 7ув = О. Следовательно, принимал принцип независимости действия сил, можно сказать, что Угловая дефоРмациЯ 7у, от тву не зависит. Аналогичным образом доказывается, что она не зависит от всех прочих иомпонент напряженного состояния, кроме ту,.

Лля аннзотропного материала приведенные соображения не имеют силы. В итоге для трех угловых деформаций получаем тув твв, тв у 7ув = ~ '1 7в*= ~ ~ 7ву — — ~ . (7.20) Из этих выражений видно, что для изотропного тела евавиыв оси иапряхсениоео и деформированного состпояний совпадают, поскольку одновременно с касательными напряжениями обра- щаются в нуль и угловые деформации. Подобно тому иая угловые деформации не зависят от нор- мальных напряжений, линейные деформации не зависят от касательных напряжений. Это может быть довольно просто показано при помощи приведенных выше рассуждений.

Кро- ме того, это следует тахже и из теоремы взаимности работ (см. з 6.6). Если нормальные напряжения не вызывают сдви- га, на котором касательные силы могли бы совершить работу, то касательные напряжения не вызывают линейных смешений, па которых могли бы совершить работу нормальные силы. Относительное удлинение в направлении оси х, обусло- вленное напряжением ав, равно ав/Е. Напряжениям ау и а соответствуют удлинения по оси х обратного знака, равные — аау/Е и — ив~/Е.

Следовательно, ав ау ав вв = — р — — р Е Е Е Такие же выраженим получуем по аналогии и для су и в,. В итоге 1 Е 1 ~у — Е [~у Р(вв + ~в)]~ 1 Е Сложив левые и правые части этих равенств, получим вы- ражение объемной деформации (7.19) в виде 1 — 2и Е (7.22) Полученные соотношения (7.20) — (7.22) являются анали- тическим выражением обобщенного зехона Гуиа для изотроп- ного тела. ззг Выражение объемной деформации (7.22) позволяет установить предельное значение хозффициента Пуассона для любого изотропного материала. Оно справедливо для любогон апряженного состояния и применимо, в частности, при а= ау — — ав = р. В этом случае 1 — 2н в=3 р.

При положительном р изменение объема е должно быть также положительным, а при отрицательном р — отрицатель- ным. Это возможно только в том случае, если и < 1/2. Сле-' довательно, значение коэффициента Пуассона для изотропного материала не может превышать О,б. Полученный вывод, несмотря на то, что он вытекает нз частного случал напряженного состояния, является общим, по- скольку и, является характеристикой магпериала и в пределах упругих деформаций от напряженного состояния не зависит. Перейдем и определению потенциальной энергии дефор- мации в общем случае напряженного состояния.

Очевидно, потенциальная энергия, нахопленнел в элементарном объеме, определяется суммой работ сил, распределенных по поверхно- сти этого объема. Нормальнэх сила а Ыудх (см. Рис. 7.29) па перемещении в дх совершает работу. Эта работа равна 1 — а, ду<Ь ввдх, 2 где вв — относительное удлинение вдоль оси х, вызванное всеми действующими силами. Аналогичные выражения работ дают и остальные нор- мальные составляющие. Касательная сила ту, дудх на пере- мещении ууз ах совеРшает РаботУ 1 "уз ауах '7уя аз (см.

также З 2.1). Выражения для остальных слагаемых внутренней энергии получаем простой перестановкой индексов. В итоге имеем д7/ = — дх ау ах(а~в~ + ауву+ аввв + туз7у*+ твид + ву7ву). 1 т 2 ззз Если энергию отнести, хах это обычно делают, х единипе объема и, кроме того, по формулам (7.20) и (7.21) выразить деформации через напряжения, то окончательно получим Ц~ =' — [а + ау + а — 2Р (ауая + аяа + авау)]+ 3 2 2 + 1 ( з +тз +тзу), (7.23) 2а ув или в главных напряжениях 1 77о = — [аг + ог + аэ 2Р(азаз + азад + агаз)).

(7.24) Для того чтобы найти потенциальную энергию во всем объеме деформированного тела, выражение Ц~ следует умножить на элементарный объем и проинтегрировать по объему тела: 77о "~ Выведем выражения для тах называемых энереии изменения формы и эиереии изменения объема. Эти выражения потребуются в дальнейшем при изучении вопросов, связанных с пластическими деформациями и предельными напряженными состояниями. Леление внутренней потенциальной энергии на две указанные составляющие является условным; в его основе лежит следующий принцип.

Каждое из главных напряжений представляют в виде суммы двух величин: / ~1 Р+аг аз =у+ам аз =р+аз> (7.25) в результате чего напряженное состояние разбивается на два. Первое из ннх представляет собой всестороннее растяжение, а второе является дополнительным я нему до заданного напрюяенного состояния (рис. 7.31).

Напряжения р подбирают с таким расчетом, чтобы изменение объема в дополнительном напряженном состоянии отсутствовало, т.е. / / 1 аг+ з+ з =О 334 Рнс. 7.31 Складывая выражения (7.25), получают Р (в1+ аз+ аз). 1 3 (7.26) При укаэанном условии система сил первого напряженного состояния (р) не производит работы на перемещениях, вызванных силами второго состояния. Точно тая же и силы второго напряженного состояния не производят работы на перемещениях первого. Взаимные работы отсутствуют, поэтому внутреннюю энергию разбивают на две части', соответствующие двум напряженным состояниям: ~79 = 779 а + 77оф, где 779 е — энергия изменения объема, а Уеф -энергия изменения формы, илн энергия формоиэмеивиия.

Подставляя в выражение (7.24) вместо всех главных напряжений величину р из (7.26), получают для первого состояния 779 а = (аг + аз + аз) . 1 — 2и 3 6Е (7.27) Энергию формоизменения можно найтя, вычитал Уевб из Уе. После 'несложных преобразований имеем По = — (аг + оз + аз — азаз — азаг — агаз), 1+И 2 2 3 ЗЕ или оеф [(а1 оз) + (аз аз) + (аз в1) ] (7 23) 6Е Ззв Если это выражение написать для произвольных осей, то в соответствии с (7.23) 17оф= [(ах — ау) +(ау — а ) +(ав — ггв) )+ 1+И 3 3 3 6Е + — ~~(тз.+т,'.+ту,) (7.29) 20 В частном случае всестороннего равномерного сжатия или растяжения, т.е. при о'г = аз = аз = а, 31 — 2н 3 770ов — Е а з ~УОф = О.

При чистом сдвиге, т.е. если аг = а, оз = О, аз = -а, составлюощие потенциальной энергии имеют вид 1+и 77... = О; (79Ф = Е Сравнивая выражение (7.27) с (7.12), а (7,28) с (7.11), легко заметить любопытную особеппостгс энергия изменения объема и энергия формоизмепения соответственно пропорциональны квадратам нормального и хасательпого охтаэдричесяих напряжений. .