7.6 Деформ.сост (Ещё один учебник Феодосьева)

7.6. Лефорынраванное состоннне Изменение формы тела связано с перемещениями его точек. Расстоянке между положением некоторой точки А до и после изменении формы тела (рис. 7.26) называется ее нолным неремещением. Составляющие вектора полного перемещения цо осям х, у и х обозначаются соответственно через и, с и и>.

Рассмотрим элемент арньгй отрезах АВ, направление которого совпадает с направлением оси х (рис. 7.27, а). Расстояние между тачхами А и В обозначим через ах. Составляющие вектора перемещения в точке В отличаются от составляющих в точке А па величины, соответствующие изменению координаты х. Так, если точка А переминается вдоль оси х на ю, то точка В перемещается дю на ю+ — ~Ь и т.д.

дх Рнс. 2.3Е Рнс. 7.37 Приращение длины отрезка АВ составляет — Ых. Следоди дх вательно, относительное удлинение в точке А по оси х будет ди ди дю ;-» = —. Анэлогнчно еу — — —,' е» = —. дх у Угол поворота отрезка АВ в плоскости хОЕ равен отнонению разности перемещений точек В и А вдоль оси х х длине дю >трезка бх, т.е. 71 = —.

Угол поворота отрезка АС в плосдх ди юсти хОх (рис. 7.27, б) равен 72 = —, Сумма углов 7 и 7 дх 1 2 1редставляет собой юменение прямого угла ВАС, т.е. угол дю ди :дзига в плосхости хбх 7»» = — + —. Аналогично могут дх дх 5ыть написаны выраиитмя для углов сдвига в двух других координатных плоскостях. В итоге имеем сиедузащую связь меицгу перемещениями и кефармадиями в точхе: ди де дди> е»»» > еу= > дх' др дх де ди> дю ди ди д» 7у»= + — > 7»я= + > 7»у= — + —. дх ду' дх дх др дх Совокупность деформапий, возникающих по различным эсям и в различных шюскостях, пракааяцпнх через данную точку, носит название аефармироеаннаго состояния е точке, а 1» Еу Е» 7у»> 7»х Н 7*3 ИаэниаЮтСЯ тзииаигкииьии агфаРМи уоеанного сос»ваяния. Возникает естественный вопрос, достаточно лк этих шакти компонент> чтобы определить деформированное состояние, г.е.

можно лк по этим шести компонентам найти удлинение аа любсй осм и углы сдвига в любых плоскостях, проходивши через даниузэ тачку7 На этот вопрос можно отвеппь утвердительно. Рассмогрим некоторую ось н, проходя1дую через заданную точку ,'рис. 7.28, а). Нвправлякнпке косинусы прямой и будут 1, т, а. Выделим на этой прямой малый отрезок ОА = Ы к построим ка нем„как на диагонали, параллелепипед со староками Ах, бу, 4х (ркс.

7.28, б). Кслм параллелепипед получает удлкнеиме ех, точка А смезыется вжэль оси х нв ех ах, а диагональ ОА получает абсоКЮтиав УДЛИМЕНМЕ 1ИЬ с» Ех!ЙГ. ОтмаентЕЛЬНОЕ УДЛМПЕНИЕ циагаиаяи получим, разделив зто произведение иа Ы = Й~/1. 337 В итоге обнаруживаем, что удлинение е» вносит в удлинение е„слагаемое е»! . Аналогичные сявгаемые дают удлинения 2 еу и е». Теперь положим, что нижняя грань параллелепи- педа Ых бу остается на месте, а верхняя вследствие сдвига в плоскости хОх получает вдоль оси х перемещение 7»»ах. Это удлиняет диагональ АА на 7»» бх 1; делим это произведение на бХ = бх/н и видим, что сдвиг 7»» приводит к увеличению еэ иа 7,»н1. Остальные слагаемые можно написать па аналогии. Суммируя их, получаем е„= е»! + еут + е,и + 73»тн + 7»»н1 + 7»31т. (7,17) 2 2 2 Несколько сложнее определить угол сдвига в плоскости, определяемой двумя юаимно перпендикулярными прямыми и и 1» (см.

рис. 7.28, б). Лля этого надо найти перемеп1енке точ- ки А по направлению,н н разлепить его на АХ. Это лает угол поворота отрезка бХ в плоскости нр. Затем все то же самое проделываем для отрезка, расположенного по оси 1», Сумма найденных углов дает искомый угол сдвига в плоскости нОН. Но этих выкладок мы уже делать не будем. Главное ясно. де- формированное состояние в точке определяется шестью компо- иеп тамп. Теперь вернемся к выражению (7.17) и сравним его с най- денным ранее для напряженке а» выражением (7.4). Эти со- отношения имеют общую структуру, и все, 'что было получено ранее из выражения (7.4), можно получить и нз (7.17).

Йоста- гочно только во всех формулах замекить ах, ау, а» на е», еу, г», а 2ту»> 2т»»> 2г»у — на 73», 7»х, 7»у, Таким образом, анализ деформированного состояния поха- кывает, что оно обладает свойствами, совершенно аналогич- кыми свойствам нэлряжеиного состояния. Среди множества эсей, которые могут быть проведены через исследуемую точ- ку, существуют три взаимно перпендикулярные оси, в системе которых угловые деформапим отсутствуют. Эти осп называ- ются главными осями дсформироеанного состояния, а линей- кые деформапии в эпй системе — глаены,ни дгформациями. Главные деформапии определпотся ю кубического урав- цепия е —,71е +Лзе —.72 = О> 3 2 $3а :озффипиентвмк которого являются инеариаиты деформиро>анного состоянмя: 71 = е» + еу+ е»> 1 72 = еуе»+ е*е»+е*еу 4 7у» 47»» 4 7»у> 1 7»х 2 1 7»у 2 1 7у» 2 (7.18) 1 7*у 2 1 7*» 2 1 7у» 2 Из сопоставления этих выражений с соотношениями (7.8) 1( 7.9) видно, что аналогом нормального напряжения здесь 1вляется лииейнел деформапия, а аналогом касательного пагряжения — 'половина угла сдвига в соответствующей плоско:ти.

Продолжал эту аналогию, можно, подобно кругам Мора в кзлряжениях, построить хругк Мора в деформапиях. Анализ деформированного состояния основан па чисто геометрических соотношениях, и поэтому все сказанное оста>тся справедливым для любого однородного тела, независимо этм еханических свойств материала. Наряду с линейной и угловой деформациями в содротивлеции материалов приходится рассматривать шюгда обьемную деформацию, т.е. относительное юменепке объема в точке. Линейные размеры элементарного параллелепипеда бх, бу и >Ьв результате деформации меняются и становятся равными >1х(1 + е»), бу(1+ еу) и Ых(1+ е,). Абсолютное приращение объема определяется, очевидно, разностью ЬР = бх бу бх (1 + е ) (1 + еу) (1 + е ) — бх Ыу ~Ь.

Раскрывал схабхи и пренебрегая произведениями линейных деформапий как величинамм, малыми по сравнению с их первыми степенями, получаем гзУ = гхауа (е» + еу+ е»). 339 Относительное изменение объема обозначается буююй е и равно сумме линейных деформаций по трем осям: ,йУ с = — = Е~+ Еу+Е». (7.18) С поворотом осей относительное изменение объема е в точке, очевидно, пе меняется.

Это — один ю мнвариантов деформированного состояния (см формулу 17.1811. .