7.4 (Ещё один учебник Феодосьева)

7.4. Круговаи диаграмма ианрлисеииого состоянии Как мы увидим в дальнейшем, определение главных напряжений является необходимым прозлпкуточным зтвлом при ' ведении расчетов на прочность в сложном пелряженном состоянии. Поэтому вычислять значения главных напряжений приходится довольно часто. Однако это не значит, что всегда необходимо решать кубическое уравнение (7.8).

Пело в том, что в абсолютном большинстве встречающихся на практике случаев положение одной из главных пляцадок в исследуемой точке может быть указано заранее. Тогда две другие главные площадки можно определить в семействе площадок, перпендикулярных первой, что значительно упропьэет задачу. Рассмотрим условия равновесия треугольной призмы, показанной на рис. 7.13. Эта призма образована путем сеченкя элементарного параллелепипеда наклонной шкипадкой, лотерея, независимо от угла наклона а, остается параллельной одной из главных осей. В данном случае такой осью является главнпл ось у. Проепкруя все силы, действующие на отсеченную призму, на оси, параллельные'векторам а и т (см. рис.

7.13, б), получим ~Ь а4у — = а1 йуйгсова+ оз йуИгзбавша; сов а 4г тйу — = а1 Иуйяв1ва — азйуйязбасова, сов а нли о = игсов а+азвш а; т =(а1 — аз)в1пасова. 2 2 Эти выражения можно переписать в виде а1 + аэ а1 — аэ а1 — аэ . а= 2 2 ' 2 + — сов 2а; Г = вш 2а. (7.15) Таким образом определяют напряжения в семействе площадок, параллельных одной из главных осей.

Выражениям 21З (7.15) можко дать простое геометрическое толкование. Переа1 +аэ несем полусумму главных напряжений в левую часть первого уравнения. белее, возводя в квадрат левые и правые части уравнений, исключаем угол а. Получим о1+аэ 2 а1 — аэ В системе координат а, т это есть уравнение окружно'т1 + оз стн, центр которой находится на оск а на расстоянии от начала координат. Радиус окружности равен полуразности главных напряжений. Иначе говоря, окружность построена на отрезке а1 — аз как на диаметре (рис.

7.14). Полученный круг называется кругом Мора, или круговой диаграммой напряженного состпояния. Что касается уравнений (7.15), то их можно рассматривать как уравнение окружности, написанное в параметрическом виде. Роль параметра играет угол а, устанавливающий соответствие между точкой окружности к секущей площадкой. Каждой секупий площадке соответствует определенная точка на круге Мора. В частности, если угол а = О, секущвл площадка совпадает с главной площадкой наибольшего напряжения а1 (точка В на рис.

7.14). Если а = 90о, секущая площадкв, совпадает с другой главной площадкой из того же семейства (точка С на'окружности). Ркс. Т.14' Показанная на рис. 7.14 окружность построена для семейства площадок, параллельных вектору аз. Аналогичным'образом можно построить круги Мора и для семейств площадок, З1Е параллельных векторам о1 и аз. В этих спучелх круги сгроят соответственно на отрезках аз — аз и а1 — аз как на диаметрах. Таины образом может быть построено три круга Мора. Поскольку знак т пе оговаривают, обычно ограничиваются построением только верхней половины круга (рис.

7.15); Дпп пзппппок. Дпп площадок, Дпп ппоаавок, Рис. Т.1З Каждой точке любой окружности соответствует определенная секущая площадка в соответствующем семействе. Понятно, однако, что точки, расположенные на трех кругах, не исчерпывают всего множества секупшх площадок.

Площадхи, не параллельные ни одной из главных осей, не вписываются в рассматриваемую схему. Можно показать, что секущим площадкам соответствуют на плоскости а, т точки, лежащие внутри заштрихованного криволинейного треугольника ВСЮ, образованного тремя совмещенными кругами Мора (рис. 7.16). Имеются также Рвс. Т.16 217 к методы определения иапряжюшй в соответствующих площадках. Поскольку ни одна ю точек не выходит за пределы заштриховаююго криволинейного треугольника, наибольшее касательное напряжение равно радиусу наибольшего круга а1 аэ т'шпх = 2 Это напряжение возникает в площадке, разнонаклоненной к главным площадкам, на которых действуют максимальное и минимальное из главных нвлряжений, что уже было установлено ранее (см.

выражение (7.14)). Круговак диаграмма может быть построена не только, когда заданы главные напряжения. достаточно знать напряжения в двух любых площадках из рассматриваемого семейства площадок, параллельных главной оси. Положим, нелример, задано напряженное состояние, показанное на рис. 7.17, е.

Ось у является главной. Среди семейства ей параллельных плюшадок есть две, в которых напряжения ювестны. Это площадки 1 и П, Следовательно, на круговой диаграмме могут быть Рис. Т.1Т найдены две соответствующие им точки. Эти точки должны располагаться на противоположных концах одного диаметра, так как угол между площадками равен 90о, а на круговой диаграмме он удваивается. Однако, поскольку знак напряжений т не оговаривглн, ординаты обеих точек откладываем вверх, На форме круговой диаграммы это не скажется (рис.

7.17, 5). 21К Из круговой диаграммы легко опредаиить главные найрвь женил: оп+оп . и о'п+<Ь а= — — И 4т 2 3 1 где Л вЂ” радиус круга, Л = Такам образом, о = —— 2 (7.16) и оп+а, Ф = — + 2 После того как напряжения а' и оп найдены, их сопоставляют с оя, и все главные напряженка переименовывают на гы аз и оз в порядке убывания.

П р и и е р 2.4. Опрояпгптп ггавпме папипжопкп ягп напряженного состопппп, показанного па рпс. 7.12. Нппршоппп эаяапм и успоппык епппппвк. Рие. Т.1$ В ппояяожоппох прпноро ояко пз гппппик пмпцаппк и овпо пз гяпппых папрпиоппй ваяапм. Сгоюввтогьпо, и» пупбогпп к пошоппа кубакоского ураппоппк (Т.В), мокко осткпьпмо гпаппме ыппрпаоппп опропвкпть пэ круга Морг япп семейства ппапгпок, ппраггопьпык осп и (сн.

рпс. 7.1В). Нппоспн пв япагрпмнт кочкп, ооотпггстптппцпг ппошппквм 1 и 11, и :тпопн крггопгпо яппгрпнмг: Сгопопвтеквпо, пв Зб, г = ЗО, гв = -1б. Прп опполопоппп гпаппмк пвпрппппгпя ножке было ем попзоопктпа акме форнупамп (Т.16). Прп этом пообкоппно осогоо пппмавпо обраппка па ко, чтобы пе аппбптпсп и пппппсаппп паппкаоппй по оспн. Рассмотрев ппо окпп пппноп. П р и х о р Т.З.

Оппоппапть гппвпыо пвпрппаппп и сптчао папрпмоп. пого сосгопппп, показанного па рпс. Т.19. Нкпрплоппп лапы и Тспопппо ипппкак. Нопрпмоппоо соскопппе — пгоскоо. Папнапка А ппапгксп ггпппоа Дпо группо ппкояктсв и семейство пгошппок, перпопппкугпрпых первой. С тон, чтобы поопопьпопвтпсп попоспопстпоппо формулами (7.16), папрвппн ось В порпопппкуппрпо гпаппой ппащппко (сн. рпе. Т,19).

Тогда гк ~ -ЗО,' пк = ЗО~ = ЗО. По формулам (Т.16) 'ппкояпн а' = -40, гп = 60. Поропнекоппшап пвпркаекпя и порядке убмпаппп, погучаон п1 ж 60, оэ ~ Е, гк = -40. Рвс. Т.1Е .