7.3 (Ещё один учебник Феодосьева)

7.3. Главные оси и главные напряжения Выразим через Х, У к И нормальное напряжение а„в наклонной площадке. Очевидно, >т„= Х1+ Уш+ Хи, ияи, согласно выражениям (Т.З), — + аутп + азп + 2тузши+ 2тзхв1+ 2тху1т. (7.4) г г 2 Рассмотрим множество секущих клоп~адах, проходящих через исследуемую точху.

По нормали к каждой длощашсе отложим отрезок т = Да„) (рнс. 7.7). Координаты конца этого вектора будут следующими: к= т1, у =тт, х= те. Рис. 7Л Исключая из выражения а,„направляющие косинусы 1, тп и и, получим геометрическое место точек концов вектора: а„т = ахя + ауу + азх + 2ту,ух+ 2гзххя+ 2тхуку. г г г Теперь решим, в какой зависимости от а„откладывать абсолютную величину отрезка т. Обычно такой вопрос решают из условий наглядности геометрического образа.

В данном ЯП7 же случае, не стремясь к наглядности, а исключительно в лелях простоты подученного выражения примем формально, что ,2 1 ъ!' где к — произвольная постоянная, отражающая масштаб построения. Тогда х = ахх + ауу + сгзх + 2тузух+ 2тзххх + 2тхуху. 2 г 2 Полученное соотношение мапо что говорит о законах изменения напряжений в точке, зато оно дает уравнение центральной поверхности второго порядка. А из курса аналитической геометрии известно, что путем поворота системы координат это уравнение может быть преобразовано таким образом, что в нем исчезнут попарные произведения координат, или, иначе говоря, обратятся в нуль коэффициенты при членах попарных произведений, В данном случае зто означает, что е каждой точке напряженного шала существует такая сисгпема Ояух, в которой касагпельные напряжения т„,, тзх и тху равны нулю.

Такие оси называются елаеными 'осями. Соответствующие им взаимно перпендикулярные площадки называются главными площадками, анормальные напряжения на них — плавными напряжениями В порядке возрастания эти напряжения обозначают через аз, аг и а>. Если в окрестности исследуемой точхи элементарный объем выделен главными площадками, то система сил, возникающих на гранях элемента, упрощается (рис.

7.8). Существенно упрощаются также выражения (7.3), они принимают вид Х =а11; У =агт; л =сгзп. Так как 12 + тп + п = 1, то Х2 У2 Иг — + — + — = 1. 02 с,2 аг 1 2 3 Этому соотношению можно дать не только простое, но на этот рэз и наглядное толкование. Величины Х, У, Я можно рассматривать ках координаты конца вектора полного напряжения р, возникающего на произвольно ориентированной 308 Рис.

7.9 Рис. 7.$ плошапке. Геометпричггское место концов еектпора полного напряжения образует злак«саид, полуосями ка>пораео являются главные напряжения аг, аг и аз (рис. 7.9). Полученный ылипсоид носит название 3 сан«саида напряжений. Из этого геометрического образа вытекает следствие, что наибольшее из трех главных напряжений является одновременно наибольшим нз возможных полных нелряжений на множестве площадок> проходящих через исследуемую точку.

Наименьшее же нз главных напряжений будет наименьшим среди множества возможных полных напряжений, В случае равенства двух главных иапужкеиий эллипсоид принимает форму теда врапгения. Тоуда. ииисдяя плоскость, проходящая через ось вращения, станови>гси главной, В случае, когда равны не два, а все три главных напряжения, элпипсоид принимает форму сферы и в исследуемой точке все плоскости являются главными. Перейдем теперь к определению главных нэлряжений по заданным шести компонентам напряженного состояния в произвольной системе Охух.

Возвратцвясь к ркс. 7.5 и соотношениям (7.3), положим, что наклонная площадка является главной. Тогда полное напряжение на этой площадке (оно же главное) будет направлено по нормали гг. Обозначим его через Я: Х=Я1> У=Ят, И=Яи. Соотношения (7.3) примут теперь вид Я1 ах1+ тухт + тзхв Ятп = тху1 + аутп + тзуп; Яп = 1хз1 + туз»в+ сгзи> зпе (а — Я) 1+ ту тв + т и = 0; тху1 + (ау — Я) ш + тзуп = О; 1+ т + (а — Я) п = О. Их кожно рассматривать кял систему уравнений относительно неизвестных 1, тв н п, опрепаиякицкх ориентацию главной пяопгадки в исходной системе Окуз. Подученная система является однородной.

Вместе с тем она жгкжла давать для 1, ш и и ненулевое решение, так как нацравяяюпгке косинусы не могут быть все одновременно равны нулю, поскольку: 12+ту+„'=1. (7.6) Б дя того чтобы система однородных уравнений (7.5) имела решение, отличное от куяевого, необтсоднмо, чтобы определитель этой системы быя ранен нулю: . а,— Я ту тх тку ау — Я гзу — — О. (Т.7) тхз туз аз — Я Постигается это надлежащим выбором величины Я. Если условие (7.7) выполнено, одно из трех уравкений (7.5) представляет собой линейную комбинацию двух других, которые совместно с условием (7.6) образуют новую скстему, достаточную дяя нахождения 1> ш и и, определягпгцих положение главных площадок.

Эту часть задачи мы оставим, однако, без рассмотрения и перейдим х определению главных напряжений Я из уравнения (Т.Т). Раскрыв определитель к расположив его члены цо степеням Я, получим сяепующее кубическое уравнение: Я вЂ” Я дъ + Я Тг 73 = 6. (7.8) в котором .Тт = а .т. сгу + сгх' 2 2 2. + азсгх + ахая туз тзх тху> .Тг = ауа. (7.9) ах 13 = т'ху гхз сгу туз ые Можно показать, что все три корня уравнения (7,8) явхя. ются вещественными. Они дают трн значения главных напряжений сг|, аг и аз.

Понятно, что главные нелряжения, т.е. корни уравнения (7.8), определяются характером напряженного состояния и не зависят от того, хакая система осей была принята в качестве исходной. Следовательно, при повороте системы осей Окуз коэффициенты,11, .Тг и .13 уравнения (7.8) должны оставаться неизменными. Они называтотся инеариан«и>ми наиряженноеа сосгполния. В некоторых случаях инварианты могут принимать нулевые значения Например, если дз = б, то один из корней уравнения (7.8) также релен нулю. В этом случае говорят, что напряженное состояние является двухосным, нли плоским. В частности, уже знакомое нам напряженное состояние 'чистого сдвига представляет собой двухосное напряженное состояние, для которого а1 = — аз и аг = 6.

Если одновременно равны нулю второй н третий,инварианты, т.е..12 = 13 = О, то уравнение (7.8) имеет два нулевых корня и тольхо одно из главных нхлряжений отлично от нуля. Напряженное состояние в этом случае называется одноосным. С ним мы уксе встречаянсь при изучении вопросов растяжения, сжатия и чистого изгиба. Рассмотрим некоторые примеры определения,главных на-; пряжений. П р х и е р 7.2. Определить главные ххпухпехиз в саучхе, если хсе комп»хзхты хапрхпехиот» сестозххх рахим иезсду собой (рхп 7.10, а). Рнс.

7.10 311 Сегхзсхо хпуахгхиххи (7.3) х (7.9), имзхн: Г> = зв; >з ='тз = 0> а> = Зх, хз = хз х> О. Сххххххтзлъио, запахи»х ихирхпхих»е о>стг>х вхе хр>хгстхххзхт собой одхоосхах растяп»хне. Получая хому результату нов хо дхзь простое объяснение, если учесть, что зззнехт нг>клт быть внпззхи из растянутого стерпит зпобын г>бравом.

Очсвхпхе> если трх секущие площадки рзхх»хаххг>хехм х сии рвстзхутого стерпи», в грххзх ззхихвтх хзх раз и хохяхкают разных схстзхххххихх иапрхпхииг>г» сост>>зххх (рхс. 7.1Ц. Песхпзьху хрх хзнхизихи орхххтвиих сея»щах хлапсхяхх иаира>хевхох состояние хе нехзетсх> похучххиох рхппиих нопзт быть ирепстзххех» х виях схнх»хичзсхг>г» рххехстха (си, рис. 7.10). Рис. 7дг П р х и е р 7.3.

Окреп»лить гхвххые иаирзпекхз в схучзх иапрз. жехнто ссктозыхз (рве. 7.12, х) (:) Рпс. 7.32 СОГЗЗСХГ> Внраилкихн (7.9)„ХОЗГЧХЕХ У»х О, УЗ = -Зт~> УЗ >х гт>. Т»гдз У> — зт Б — 2тз = Е. Подбором апре>пален ги>хх хз хариех. Эт» будет у = -т. Разпзххв левую часть ураххеххз их Э + т, сводим Грвхиеххе х квадратному х»прхдзхзхн остхзьхих яха хоухз. В итоге пехучаен а> = 2>', хз ю аз — т.

Схедавхтхзьхг>, хвпрзпхихох састозиие зххзхгсх тг>зхосхин (ркс. 7.12, 6). Итак, исследуя напряженное состояние, мы обнаружили существование трех взакмно перпендикулярных площадок, 312 обладающих тем замечатеяьиым свойством, что касательные напрюкения в них равны нулю, к нвзвалн эти плсхпадки главными. Но существуют и другие площадки, также обладающие важными и интереснымн особенностями, знакомство с которыми понадобится нам в дальнейшем.

Рис. 7,13 Положим, что оси я, у и х — главные и ах = а1, ау — аг, тз = гтг (рис. 7.13). Тогда выражения (7.3) примут вид Х = а111 У = агЖ л = ази Найдем касательное напряжение тх в этой площадке: (7.10) где р — полное, а сг„— нормальное напряжения в той же пло:цацке, Очевидно, что р = Х + уг + В~ = а21 + >ггшг + агиг; 1 2 3 ах = Х1 + Ут + Ив = а 11 + агт + азв . Подставляя рг и а„в выражение (7.10) и учитывая, что 12 + 1-т + пг = 1, получим т;, = (а1 — аг) 1 т + +(аг — аз) 1 в + (аг — аз) ш вг (ТЛ1) Как видим, тг — ведичика существенно положительная н са главных ддощадках, как и положено, обращается в нуль.

333 Пействитеяьно, если нормаль ы совпадает с одной из главных осей, то один из направляющих хосинусов принимает значекне, равное единице, а два других равны нулю, и тогда тг = О. Лля дальнейшего нам потребуются выражения дяя напряжений в так называемых октаэдркческих площадках, т.е. в площадках разнонаклоненных к главным. Лая таких площадок 12 = >и = иг = 1/З,и тогда мы получим 1 тах = — (а1 — аг)'+ (а| — аз)'+ (аг — аэ)' 3 1 ао т --, . (а1 + аг + аз) (7.13) Таким абр~, норм~кое октаздрнчжкое напряжение равно средину ариф~вескому т~ гя~ напряжений. Особый ин~~ предст~~ ~о~~, в к~рык возникают н~ьшие куцые напряжен~.

Положение этих пяток можно ~~~и~, о~~~ы экстремум выражения (7.11) при услов~, что 12 + тг+ иг — 1. Но этих выкладок мы деяать не бу~, ~ о ~уэьтате ма~но догадаться сразу. Заметим, что а1 — аз — (а1 — аг) + (аг — аз) н, поскольку хвадрат с~ не м~~ суммы квадратов, (а1 — аг) > (а1 — аг) + (аг — аЗ) .

Значит, при ~с~ 12 = шг = иг в~~ ~чаемое в выражении (?.11) будет не меньше с~ы двух остьи~. Еслк мы хотим, ч~ы ~ичина тг ~тягла н~~ьшего значения, ~, по~~~ 12, шг к иг, ~ ~жны> очевидн, максимаяъно у~и~~ п~~~~ние 12вг за ~~ шг. Но это будет достигнуто при шг = 9, и тогда п~~не ~ичин 12 и пг при у~овин, что кх с~а равна е~е, бу~ к~больш~, если 12 = иг = 1/2. Т~им обем> 1 ~ты~~ — — (аà — аз). 2 Так как т — О, а 1 — в = ~212, то максимакьное каса~ьное напряжете возник~ в пи~~~, р~онаклоненных к главным пи~~, на вторых деиствуют максимакьн~ и минымаяьное из гл~~ н~~~. (7.14) .