7.2 (Ещё один учебник Феодосьева)

7.2. Определение напряжений в произвольно ориентированной площадке Если дано шесть компонент напряженного состояния: ох, цх, ~г„тхх, т, и тхх в трех взаимно перпендикулярных площадках, то можно определить напряжения в любой площадке, проходящей через данную точку. Из напряженного тела (см. рис. 7.1) еще раз выделим в окрестности точки А элементарный объем, но уже не в виде параллелепипеда, как было сделано ранее, а в виде четырехгранника (рнс. 7.4). Три грани выделенного элемента лежат в координатных плоскостях системы Охух. Четвертая грань образована произвольной секущей плоскостью. Ее ориентацию в пространстве будем определять направляющими косинусами 1, тп, и нормали и к секущей плоскости. Рнс. Т.4 Элементарный четырехгранник обладает теми же свойствами, что и рассмотренный выше параллелепипед. При уменьшении размеров он стягивается в точку А, и в пределе все его гра.ни проходят через эту точку. Поэтому напряжения на гранях элемента рассматриваем как напряжения в исследуемой точке на соответствующим образом ориентированных площадках.

304 На рис. 7.4 штрихами показаны составляющие напряжений на невидимых гранях. Вектор полного напряжения на площадке ВСР спроецируем на оси х, у и х. Обозначим зти проекции через Х, У и 2 соответственно. Если зти три величины найдены, то по ним, очевидно, могут быть найдены нормальнал и касательные составляющие на произвольной площадке. Площадь треугольника ВСР обозначим через Г, плошади треугольников ОСР, ОВР и ОВС вЂ” соответственно через Гх, Гх, Гх. Очевидно, (7.2) Г =Г1; Гх — — Гщ; где 1, пз и и — направляющие косинусы нормали и. Проецируя все силы, действующие на элемент, после!юва- тельно на оси х, у и х, получим ХГ= пхГ, +т,Гх+т,хГ,; УГ = тххГх + охГх+ т.хГ.; гГ=Т„Г.+ х,Гх+охГ„ нли в соответствии с соотношениями (7.2) Х = ах!+ тххт+ тххп; У = тхх1+ окпз + т „и; 2 = тхх! + тххгп + ахп.

(7.3) Таким образом, действительно для любой площадки, определяемой направляющими косинусами 1, пз и и, проекции Х, У и Я можно выразить через шесть исходных компонент сх, цх, ох, тхх тхх 2 и т „. Иными словами, напрххкенное состояние в точке опредехяе~п- Р сх шесгпью компоненгпами. 1 Х При помощи формул (7.3) легко определить вектор полного напря- у ',х жения на любой площадке, проходящей через рассматриваемую точку (рнс.

7.5). Рнс. Т.в 606 Напряженное состояние в точке представляет собой понятие, более сложное чем те, которыми мы оперировали до сих пор. Нам известно понятие числа и понятие вектора как величины, определяемой тремя числами. Напряженное состояние определяется уже не тремя, а шестью числами и представляет собой ~пенэор. Тензору в отличие от вектора не может быть дано простое геометрическое толкование, и его обычно задают матрицей (таблицей), написанной, например, в виде где каждое число представляет собой значение ох, тих и т.д. в соответствии с расположением коэффициентов в трех уравнениях (7.3), т.е. ох = 500, тхх — — 200 и т.д.

Если взамен исходной системы Охух выбрать новую систему, компоненты тензора изменятся, т.е. значения ох, пх, ... будут иными, однако сам тензор напряженного состояния останется тем же. Сказанное можно легко пояснить на примере вектора, показанного на рнс. 7.6. Рнс. Т.6 Вектор может быть определен матрипей, членами которой являются координаты конца вектора: (400 300 О). Если перейти к системе Ох1у1х1 (см. рис. 7.6), то для того же вектора получим (500 0 О).

306 Компоненты вектора, каи видим, изменились, но сам вектор остался неизменным. Остановимся более подробно на некоторых свойствах напряженного состояния в связи с преобразованием системы координат. .