7.1 (Ещё один учебник Феодосьева)

Глава 7 ОСНОВЫ ТЕОРИЙ НАПРЯЖЕННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЙ 7.1. Напряженное состояние в точке Уже на примерах растяжения и сдвига мы имели возможность убедиться в том, что напряжения в площадке, проходящей через заданкую точку напряженного тела, зависят от ее ориентации. С поворотом площадки меняются в определенной зависимости и напряжения. Совокупность напряжений, возникающих во множестве площадок, проходящих через рассматриваемую точку, нвэываетсм напряженным сос«похниев«в точке. Напряженное состояние поддается анализу не только в частных случаях растяжения и сдвига, но и в общем случае нагружения тела.

В настоящей главе этот вопрос и будет рассмотрен. Заметим, что исследование законов изменения напряжений в точке не являетсм чисто отвлеченным. Оно необходимо для последующего решения более сложных задач и в первую очередь длм расчетов на прочность в общих случаях нагружения. Положим, имеется некоторое тело (не обязательно упругое), нагруженное произвольной системой сил (рис. 7.1).

При 300 переходе от точки к точке напряженное состояние меняетсм достаточно медленно н всегда имеется возможность выбрать в окрестности произвольно взятой точки А (см. рис. 7.1) такую достаточно малую область, для которой напряженное состояние можно было бы рассматривать как однородное. Понмтно, что такой подход возможен только в пределах принятой ранее гипотезы сплошной среды, допускающей переход к предельно малым объемам. Рнс. Т.х Рнс.

Т.1 Чтобы охарактеризовать напряженное состояние в точке А, представим себе, что через нее проведены трн секущие площадки к установлены возникающие в ннх напряжения. Затем в окрестности исследуемой точхн шестью сечениями выделим элементарный объем в виде прямоугольного параллелепипеда (рис. 7.2). Если размеры параллелепипеда уменьшать, он будет стмгиватьсм в эту точку, В пределе все грани параллелепипеда пройдут через точку А, и напряжения в соответствующих секущих плоскостях можно рассматривать как напряжения в исследуемой точке.

Полное напряжение, возникающее на секущей площадке, может быть разложено на три составляющие: одну по нормали к площадке и две в плоскости сечения. Нормальное напряжение будем обозначать по-прежнему буквой в с индексом, соответствующим осям х, у и х (см. рис. 7.2). Касательное напряжение обозначим буквой г с двумя индексами: дервый соответствует осн, перпендикулярной к площадке, а второй— 301 оси, вдоль которой направлен вектор г. Ориентация самих' осей является произвольной.

Нормальные растягивающне нвлряження «г будем считать положительными, сжимающие — отрицательными. Что каса ется знака напряжений т, то здесь обусловливать его не будим, поскольку в пределах рассматриваемых ниже задач знак т роли не играет. Напряжения, возникающие на трех гранях элемента (на трех взаимно перпендикулярных плоскостях, проходящих через точку) показаны на рис. 7.2. На невидимых гранях элемента возникают соответственно такие же нацрмжения, но противоположно направленные.

Система сил, приложенных к амементу, должна удовлетворять условиям равновесия. Поскольку на противоположных гранях возникают противоположные по направлению силы, то первые три условия равновесия удовлетворяются тождественно, и суммы проекций всех сил на оси х, у и х равны нулю независимо от значений возникающих напряжений. Остаетсм проверить, обращаютсм ли в нуль суммы моментов всех сил относительно осей х, у и х, Прн составлении уравнений равновесия легко обнаружить, что момент каждой силы уравновешивается моментом противоположной силы, расположенной на невидимой грани.

Исключение составляют касательные силы, Напрямер, для оси х условие равенства нулю суммы моментов соблюдаетсм в том случае, если момент силы тх, «Ь «Ь равен моменту силы твх «Ь ду, т,е. тхв~Ь~Ь гуютвх Ьду «Ь. Аналогично могут быть написаны еще два уравнения равновесия, Тогда получаем тхв Твм«гвв твв««вх Тхв (7.1) Талям образом, на двух взаимно перпендикулярных площадках сосгпавлхющие каса«цельных напрххаений«перпендикулярные к общему ребру> равны и направлены обе либо к ребру, либо огв ребра, Это и есть закон парности касательных нацряженкй, сформулированный в общем виде (см.

также 3 1,5). Он справедлив длм всех точех нагруженного тела независимо от 303 вида приложенных нагрузок н свойств материала. Следствием нз условия парности касательных напрюхенин является то, что на гранях выделенного элемента (см. рис. 7.2) имеем не девмть, а только шесть независимых компонент напряжений, поскольку касательные нэлряженим попарно равны, Анализ напряженного состояния в точке начинают всегда с определения нецряжений на гранях выделенного в окрестности точки элемента. Через точку проводят три взаимно перпендихулмрные плоскости, ориентацию которых выбирают произвольно, но так, чтобы напряжения в площадках могли бы быть определены наиболее простым путем.

П р в и е р Т.1. Внвввта ваврвневвое соспнвве в точках А в В растввттосо В «щвовреневво ваврхчеювно свернвв (рве. Т.з, е). Рнс. Т.з В оврествоств вававвыв точек севуиюнв влосвоствнв вмвелвен элементарный объем. Орвевтамвю ввосвостев выбвраен таким образов, чтобы наврав«еввв кожно было овредеввть вавболее вростын свособон. В даввон случае естественной вввветсв орвевтанвв влосвостев вдоль в воверев осв сверпвв. Па рве.

Т.з, в севуп«ве ввосвоств в оврествоств точек А в В вовававы штрввовынв хввввнв. Вынесен выделенные эвеневтн за вревевы нагруженного вела в вреяставвн вв в увеввчеввон масштабе с сохранением орвевтаввв ввосвостев (рве. Т.з, 6 в е). В результате действии сввп Р в воверечвыв сечевввв сверках воввввает ворнававое ваврвневве е = Р7в . Везсворы соотютствуюп«вв ваврювеввй вычерчвваен ва грвввв ввеневтов. В результате действия ноневта ММ в воверечвмв в вроврвавв«в сечевввв воввввают васавельвые ваврвневвв. В тачке А ваврвневве геев = мя7(0, 303ва), в вочве В ваврвневве т = О.

Векторы т танке вычер гаваен ва грвввв ввеневта. В итоге внеси: в точке А ве = вв —— О, ев = Р/в~, свв = О, твв = мм/(0,206е ), сев = 0; в точке В ее = ев —— О, щ = Рув, тва = тзе = сев = О. ° в ' Заэ .