13.7 Продольно-поперечный изгиб (Ещё один учебник Феодосьева)

13.7. Продольно-поперечный изгиб Рассмотрим нагружение прямого шарнирно закрепленного стержня (рис. 13.22) продольной силой и системой попереч- пзв Рпс. 13.33 пых спл. Такой вид нагружения принято называть продольноюперечным изгибом. При составлении дифференциального уравнения упругой пинии изгибающий момент можно рассматривать как сумму помента поперечных сил Мп и момента продолыюй силы Ру. При этом, поскольку прогибы считаются малыми, момент Мп 2ависит в явном виде тольхо от г и не зависит ни от у, ни от продольной силы Р2 Е.1Уи = -РУ+ Мп. (13.45) Лифференцивльное уравнение упругой линии имеет вид у +12 у= Е.7' (13.46) откуда у = С2 вгп йг + С2 сов йг + у~, где у' — частное решение уравнении (13Аб), зависящее от функции Мп, т.

е. от вида поперечной нагрузки. Например, для двухопорного равномерно загруженного стержня (см. рис. 13.22) имеем и п1 йг Еду = — г — — — Ру. 2 2 Тогда у +й у= — (1г — г ); у = — +1г — г и 2 Ч 2. и ч г 2 22 2Еуйз ~,й2 и, следовательно, у = С2 вшйг+ С2 совйг+ у 12 21 2Е1й2 ~й2 — + 1г — г взт Постоянные С2 и Сп подбирают с таким расчетом, чтобы прогиб у при г = 0 и г = 1 обращался в нуль. В итоге у в1п Йг й2 у = — ~ — (1 — сов й1) —. + 1 — сов йг+ — (1г — гп) .

Е1пп ~ в!п М 2 Изгибающий момент М = Е,уу = — ~(1 — сов М) —. + сов йг — 1 . у~ вш йг йз~ гйп й1 Наибольший изгибающий момент имеет место при г = 1/22 д 1 — сов(й11'2) яп сов(121/2) При малых значениях сжимающей силы Р (при малом й) это выражение после раскрытия неопрелаленностй, как и следовало ожидать, принимает вид Мгп „= 91~18, т.е. максимальный момент совпадает с тем, который дает поперечная распределенная сила д. По мере роста силы Р максимальный изгибающий момент резко возрастает. При более сложных видах поперечной нагрузки, например при нескольких поперечных силах, определение изгибающих поментов описанным выше способом становится затруднигельным, поскольку изгибающий момент на различных участгах описывается различными функциямп.

В таких случвлх гдобнее применять приближенные, менее точные, но более про:тые приемы расчета. Один из таких весьма распространенгых способов мы сейчас и рассмотрим. Обратимся к выражению (13.45) Е.7Уи = Мп — РУ. При отсутствии продольной силы оно принимает вид ЕЗУпи — — Мп де индекс и" соответствует нагружению стержня только по~еречными силами. Исключая Мп, получаем Е.ууи = ЕЛу" — Ру. (13.48) (13.47) зв Теперь примем, что форма упругой липин как при наличии прожпльных сил, так и без них близха к синусоиде: 2гг . яг у = 1 вш —; у = Я, вгп —. Подставляем у и уп в уравнение (13А8).

Тогда Е7! —, = Е 11п 2 + РЛ 12 22 12 откуда 1 — Р1 Рпр ' (13.49) В случае других способов закрепления стержня часто пользуются той же формулой (13.39), но подставляют другое значение критической силы. Предполагая изгибающие моменты пропорциональными прогибам, можно написать М Мп 1 Р(Рпр Проверим полученную формулу на примере рассмотренного выше стержня с равномерно распределенной нагрузкой д. Пусть Р = Рпр/2.

Тогда, согласно формуле (13.50), М = = 2Мп. Но поперечнвл нагрузка дает изгибающий момент Мп = д! /8. Таким образом, в этом случае имеем Мпгвп = 2 — О, 25412 Теперь посмотрим, что дает точняк формула (13.47). Выражение для й, входящего в эту формулу,'принимает при запанном значении Р следуюппий виш Тогда, согласно выражению (13.47), 2 1 — сов— И = — 2 — 2 — 2,22222 . 921 2пГ2 2 сов— 2пГ2 (13.50) Взв СОПОСтаВЛЯЯ ПОЛУЧЕНПЫЕ ЗпаЧЕНИЯ Мпгвп, ВКДКМ, ЧтО ОНИ ПРаК- тически совпадают. Хуже обстоит дело при явно несимметричных видах распределения поперечных сил. Но в подобных случаях основное внимание следует уделять не уточнению расчетных формул, а поиску средств, с помощью которых можно было бы вообще избавиться от подобных видов нагру32ения.

.