13.3 Задача Эйлера (Ещё один учебник Феодосьева)

13.3. Задача Эйлера Теперь мы можем перейти непосредственно к некоторым задачам об устойчивости упругих систем. Начнем с простей. шей задачи о равновесии прямолинейного стержня, сжатогс силой Р, линия действия которой совпадает с осевой линией стержня (рис. 13.9, и). Впервые эта задача была поставлена я решена великим математиком Л. Эйлером в серешсне ХЧП! века. Поэтому часто, когда говорят об устойчивости сжатого стержня, употребляют выражения: "задача Эйлера" нлк ".устойчивость стержня по Эйлеру". Рис.

13.9 Положим, что по какои-то причине сжатый стержень не- :колько изогнулся. Рассмотрим условия, при которых возможю равновесие стержня с изогнутой осъю. На рис. 13.9, б пока>ана часть стержня и действующие на нее савы. Отсеченная састь стержня нахоцится в равновесии, поэтому сумма моменсов относительно точки О равна нулю: М+Ру=о, (13.4) сли Е.уу" + Ру = О. (13.5) изгиб стержня при потери устойчивости происходит в плосюсти минимальной жесткости, и поэтому под,! здесь сяедует сонкмать минимальный момент кнерпин сечения. Обозначим — =й, Р Е,! (13,6) > о>щюпелснм м>прюлое ~огни уравнение (13.5) примет вкп уи+ йзу = О, (13,7) ткуда и = С1 зшйя+ Сз соя йя.

(13.8) Постоянные С1 и С2 находим кэ граничных условий (я = О > з = !). В рассматриваемом случае имеем при я = О у = О; срнз=! 9=0. 1 результате получаем систему однородных алгебракческих равнений С1 О+С,.1=О; С1 з1пй!+ Сз совЫ. сак известно из линейной алгебры, чтобы система однородных <инейньсх уравнений имела нетривиальное решение, необходн- со, чтобы ее определитель был равен нулю, т.е. Ю=аес . И И =О. 'асхрывзя определитель, находим ьйпЫ= О. (13.9) В данном простом примере уравнение (13.9) можно полу- сить и без выписывания определителя.

Из условия при з .= О ! = О следует, что С2 = О; а из условия при я = ! у = О посучаем Сс з1пИ = О. Произвольная постоянная С1 Р О. При .> = С2 = О получаем тривиальное у ы О, которое нас не снтересует, так как при новой форме равновесия стержня его >севзл линия не прямолинейна. Поэтому в1п И = О. Но в более :ложных задачах, требующих использования вычислительной сехнккн, для определения критических сил определитель необюдим. Из уравнения (13.9) следует, что Ы = >сп, где и — произюльное целое число. Учитывал выражение (13.6), получаем Р = тзпзЕХу!2.

Это Ьзначеет, что для того чтобы стержень :охранял криволинейную форму, необходимо, чтобы сила Р >14 принимала определенное значение. Наимекьшая сила Р, о. личная от нуля, будет прн и = 1: тзЕ.! Ряр !2 (13.1! Эта сила носит название эй>серовой или ирин>пиеской силы. При и = 1 имеем И = >г> и уравнение упругой линни (13.! принимает вид я'я 9= Ссзш Стержень изгибается по полукопне синусоиды с максз мзльным прогкбом С1. Прк любом целочисленном значении и япх у=С1з(п —, и упругая линия стержня изображается кривой в виде и полу волн (рис.

13.10). Рис. 13.10 Лннеаризованное уравнение (13.5), как н уравнение (13.2) является приближенным и верко лишь при сколь угодно малю прогибах. С его помощью мы опрадиднли Ряр и форму изогну той осн стержня при потере устойчивости, Но при этом кон станта Сс в выражении для упругой линии осталась неопре. деленной. Перемещения найдены, как говорят, с точностью дс постоянного множителя. ,Пля описания закритического поведения стержня прз больших прогибах следует использовать полное наяинейнос уравнение равновесия. Поскольку при больших прогибах М = = Е.у/р, где р — радиус кривизны изогнутой оси стержня, тс яз уравнения (13.4) находим ж2/' (1+ г2)зу2 7 313 При силе Р, большей критической, перемещения столь весики, что пренебрегать величинок 9> в знаменателе нельзя.

2 Наконец, из рассмотренного примера видно, что у сясатого ;тержня существуют высшие формы равновесия (и = 2, 3,...), юторым соответствуют и большие значения скл. Эти формы > чистом виде не реализуются. Они неустойчивы. Но если :тержень снабдить промеясуточиымн равноотстоюцими одна >т другой опорами, то соответств~сно числу пролетов и можно >пределить и критическую силу. .