13.2 Опред.крит.нагр (Ещё один учебник Феодосьева)

13.2. Определение критических иагрузок Чтобы более наглядно показать особенности подхода, который обычно используют при аналюе устойчивости упругих систем, рассмотрим для начала простейшую механическую модель. вав На конце жестгого стержня (перевернутого маятника, названного на рис 13.5) укреплен груз Р. Внизу стержень неет шарнир и удерживветсм в ртиквльнам положении упругой Р ружнной, имеющей линейную хаактеристнху.

Это значит, что ри повороте стержня на угол >>в шарнире возникает момент, рав- '> ый с»р', где с — жесткость пружиы. Эта модель, обладая предель- М-ау ай простотой, сохраняет в себе се основные свойства, характерп ые для более сложных задач, коорые будут рассмотрены в дальейшем. Можно предположить, что при дастаточио большой силе ' нли достаточно большой высоте расположения груза положе>не равновесия обращенного маятника станет неустойчивым; >ри малом отклонении стержня от вертикали пружина не смокет восстановить исходное состояние равновесия. В основе анвлюа устойчивости упругих систем лежит >пределение условий существования соседних форм равнове:нм. Сообщим системе возмущение, т.е.

примем, что мвлтннх >тклонилсм от вертикали на некоторый угол >Р (рис. 13.5, 6). Хо хакой причине это произошло, не имеет никакого значения. Приравняв момент силы Р шарнирному моменту, полу- 1ИМ (13.1) Р1 ив гр = с»р. Построим график зависимости РЦс = Д>>в) (рис. 13.6).

Прежде всего мы видим, что при»>в = О уравнение (13.1) справедливо при любых значениях силы Р. Значит, ось ординат принадлежит исследуемому графику. Остальные ветви кривои апределмютсм выражением Р1 у с вшгр ьвв которое будет верным, пока пружина сохраняет линейность характеристихи. Прк значеикмх»в, кратных м, график терпит разрыв, н происходит смена знаха Р через бесконечность. Оно и понятно.

Когда угол поворота маятника приближаетсм к м плечо силы уменьшается до нуля, а сама сила должна неограниченно возрастать (рис. 13.7). Если маятник протолкнуть через мертвую точку, то для того чтобы удержать его в новом положении равновесия, следует приложить силу обратного знака. Рнс. 1З.Е Рнс. 1В.Т Теперь обратимся к вопросу, какие точки иа построечных кривых отражают устойчивые и какие — неустойчивые положения равновесия. Основным критерием устойчивости, как известно из механики твердого тела, является условие минимума полной потенпнальной энергии системы.

Например, для шарика, лежащего на дне лунки и занимающего устойчивое положение равновесия, потенциальная энергия будет накменыцей по сравнению со всеми соседними положениями. Если шарик расположен на $10 вершине выпуклости или на сешювине (рнс. 13.8), его положе ние равновесия будет неустойчивым. Этот критерий приме ннм, естественно, и к упругим системам, — конечно, с учетоь потенциальной энергии 1иформации.

Ркс. 1З.В В нашем случае полная потенциальнвл энергия системы.остоит из двух слагаемых: из потенциальной энергии груз» Р((1- сов»р) (см, рис. 13.5) и потеннивльной энергии деформа 2 пии пружины — с»Р, Таким образом, 1 Э = — с>>в~ — Р!(1 — сов»Р). 2 Пифференцнруя это выражение по»р, получим »зЭ вЂ” = е>г> —.Р1вт»Р. йр Если приравнять производную нулю, то мы придем в гравнению равновесия (13.1), на основе которого построены <рнвые, показанные на рнс. 13.6.

Значит, положение равнаве. :ия определяется экстремумом потенпиальной энергии. Оста. .тсм только решить, какие точки на построенных кривых са. >тветствуют максимуму, а какие — минимуму потенциальной >нергии. После второго дифференцирования получаем условие ми. гимума (условие устойчивости) в виде следующего неравен. :тва: (13.2,' с — Р! сов»в» О, Сначвла рассмотрим вертикальное положенке мвлтникв у =' 0). Условие устойчивости выполняется прн Р < с/>.

Прл в>1 :нле, большей с/1, вертикальное положение маятника сказываетсм неус.гойчквым. Таким образом, все точки осн ординат, засположениые ниже точки бифуркации А, отражают устойвнвое полажение равновесия, а выше — неустойчивое. При»>в 11 О условие устойчивости (13.2) умно преобразовать с учетом уравнения равновесия (13.1).

Исключив силу Р, юлу чнм В>П >> — > сову. >Р Легко установить, что на участке от -я до +в зто условие выполняется. Следовательно, ветвь кривой ВАС, расположеннам внутри этого интервала, отражает устойчивые положеннм равновесия, и по достижении силой критического значения происходит переход нз неустойчивого вертикального цоложеним к новому, устойчивому положению с отклоненной от вертикали эсью. Лругне ветви, показанные на ркс, 13.6, в свою очередь также имеют участки как устойчивого, так н неустойчивого положения равновесия. Вернемся к уравнению (13.1). Если угол гр считать малым, то ип»Р ж >>в, н тогда мы приходны к линеаризованному уравнению (13.3) (Р1 — с) >р = О. Очевидно, это уравнение всегда имеет тривиальное решение Р = О, означающее, что при вертикальном положении маятника условие равновесия выполняетсм при любом зкачекик Р.

Имеется и второе решение: если >»в ф О, то Р = с/1. Следовательно„лннеарнзованное уравнение (13.3) дает ту же св; мую точку бифуркации А, которую мы нашли из нелинейного уравнения (13.1). Но важно подчеркнуть, что линеарюованное уравнение не содержит никакой кнформвлин о конечным перемещениях системы прк Р > Ркр.

Если задачу решать в малых перемегценимх, а это, кав мы увидим в дальнейшем, существенно упроцц>ет дело, то мы можем определить критическую силу, ко не сами величины перемещения. Лля исследования закритического поведения системы необходимо применять нелинейные соотношения, .