10.3 Изгиб круглых симм.нагр.пластин (Ещё один учебник Феодосьева)

10.3. Изгиб круглых симметрично нагруженных пластин Выше было рассмотрено растяжение оболочки, не связан. ное с ее изгибом. Теперь рассмотрим случай изгиба, не свя. ганного с растяжением. Удобнее всего это сделать на примерг изгиба пластин. Теория югнба пластин представляет собой детально раз. работанный раздел прикладной теории упругости. Ниже мь остановимся тольхо на простейших задачах этого раздела. нов Под действием внешних сил, перпендикулярных к средин. ной плоскости, пласпгнна меняет свою кривизну. Это измене. ные кривизны происходит, как правило, одновременно в двух плоскостях, в результате чего образуется некоторая слабо изогнутая поверхность двоякой кривизны, так называемая рггру. гая >гоеерхнос>пь. Форма упругой поверхности харвктеризует:я законом изменения прогибов пластины.

При расчете пла:тин считают, что прогиб и> существенно меньше толщины пластины Л. Именно в этом предположении можно изгиб пла:тины рассматривать независимо от растяжения. Пластины, >довлетворяюшие этому условию, называют иногда тонкими глин>ами. Пластины, прогибы которых соизмеримы с толщиной, >вссчитывают с учетом растяжения срединной поверхности. Теория югибв пластин и оболочек основана на некоторых прощающих предположениях. Первым нз иих является пред>оложеные о меизмеииости нормали, кли так называемая еи>оогеза Кирхео>да. Принимается, что точки, расположенные >в некоторой прямой, нормальной к срединной поверхности до иформвпиы, после деформацвы снова образуют прямую, нор>альную к деформированной поверхности. Такое предположеые, квк и гипотеза плоских сечений стержня, выражает тот >акт, что угловыми деформациям оболочек можно пренебречь о сравнению с угловыми перемещениями.

Это приемлемо в ой мере, в какой толщина пластины мала по сравнению с друыми ее размерами. Будем, далее, считать, что нормальные напряжения в ечениях, параллельных срединной плоскости, пренебрежимо алы по сравнению с изгибными напряжениями, т.е. нвдалнвание между слоями пластины отсутствует. Аналогичное опущение принимали ранее при выводе формул поперечного згиба стержня и при исследовании напряженного состояния болочек по безмоментной теории.

Перейдем теперь к определению напряженый в крутлых ластинвх. Рассмотрим пластину, имеющую постоянную толшну Ь, нагруженную силами, симметрично расположенными Рис. 10.17 Рис, 10.10 тноснтельно оси пластины з (рыс. 10.16). Пеформвцыи, пере>ешения и напряжения, возникающие в пластине, будут также ымметричны относительно осн з. Прогиб пластины обозначим через и>, а угол поворота нор>злы — через д (рис. 10.17). Величины и> и д являются функ>инны только радиуса т и связаны между собой очевидным оотношен нем (10.8) Знак минус берется в соответствии со схемой прогиба, по:эзанной на рис. 10.17, С уменьшением прогиба и> угол д воз>встает. Впрочем, втот знак не является принципиальным и >пределяется только направлением прогиба.

На рис. 10.18 показано осевое сечение пластины. Точки, >асположенные на нормали А1 В1, после изгиба пластины абра>уют нормаль А>В>1, повернутую на угол д. Нормвиь А>1В1 ювернется на угол д+ дд. Отрезок СВ, расположенный на расстоянии з от средин>ой поверхности и имеющий радиальное направление, получа>т удлинение з(д+ И) — зд = ядд. относительное удлинение будет в х— >гд (10.9) Й Относительное удлинение в точке С в направлении, перпендикулярном к плоскости чертежа, может быть найдено из 100 д> Рис. 10.10 Рис.

10.10 :равнения длины соответствующей окружности до и после дерормадии. Ло изгиба пластины длина окружности, проходя. лей через точку С, была рвана 2нт, а после изгиба — 2>г (т+зд). Следовательно, относительное окружное удлинение д яг ж з (10.10) двумя осевыми сечениями, проведенными под углом >г>р >дно к другому, и двумя диликдрическимн поверхностями с >адиусамы т и т+ дт (см. ркс. 10.16) выделим из пластины >лементарную призму, показанную на рис. 10.19.

Поскольку > сечениях, параллельных срединной плоскости, нормальные гапряження отсутствуют, связь между удлинениями и напрякениями определяется законом Гукв в следуиипим виде: 1 1 вт = Е(от — рог); нг = Е(ггя — йитт). '.сли выразить напряжения через деформэлии, то получим Е Е от = — (вт+ днг); ог = — 1 (в>+ дат), (10.Щ >ли„согласно выражениям (10.9) н (10.10), Ея />гд д г Ея /д Ад г ат = — 1 ~ — +йг-(; ог = — ~-+>а — ~. (10.12) (' 400 " '-' Ив' гранях призмы (см. рис. 10.19) возможно возникиове>не не только нормальных, но и касательных напряжений.

Из тловий симметрии, очевидно, они могут возникать только ыв >лошадках, перпендикулярных к радиусу г и только в верти:альном направлении. Рассмотрим теперь условия равновесия выделенной призгы. Лля этого найдем сначала равнодействующие силы на рвнях элемента. На грани А1В1А>1В>1 (см. рис.10.19) каательные напряжения дают равнодействующую поперечную илу, направленную по оси я. Силу, приходящуюся на еди>иду цуги т>1>р, обозначим через Я. Поперечная сила на гра~н А>В>А' В' будет Цтйр, в нв грани А1ВзА1В>з бУДет равна Я + Щ) (т + >йт) >й>р (рнс. 10,20).

Р . 1О.ЗО Поскольку напряжения в верхних и нижних слоях одинаовы, но различны по зналу (см. формулы (10,12)), нормальые силы нв гранях элемента отсутствуют. Нормальные нвряжения от и ог нв соответствующих гранях приводятся 'к авнодействующнм моментам в вертикальных плоскостях. Интенсявность моментов, возникающих нв гранях 11В>А>В~1 и А1В>А1В1, т.е, моменты, приходящиеся на едияду длины сечения, обозначим соответственно через М, и йь Величины М, и Мг в дальнейшем будем для сокрашения взывать просто моментамк, а Я вЂ” поперечной силой. 10 Зная напряженки от к ог, опрепвыяем равнодействуинди> моменты на гранях: +цз +в/3 Мтт д>р = т «Ьр отз >Ь; Мг >йт ж >йт агя >йя. -Цз -Ь/3 Используя выражения (10.12), получим Цз Мт = — З Тг+йг — я >зя~ -ь/3 +цз М,, +„',Рд,.

-в/3 Но +А/1 | аз я~>г» = —, 12' -0/3 следовательно, />гд д'г Уд >гд'1 М, = И ~ — + « -~; Ай> = В ~- + >г — р (10.И,' ~й т) — ~т Й ~ где Ейз 12(1 — Фз) (10.14,' Эта величина называется дклиндрической з>сестиостью ваа. со>ины (или оболочки). В число сил, приложенных и элементу (см. рис. 10.20). зключена также и внешняя сила рт>г>рггт.

Проектируя все сипы, действующие на элемент, на ось симметрии, получим (Я+ АЯ)(> + дт)йр — Ят>йр-рт>йр>йт = О, >тиуна (10.15>> 011 „„, фц>,мем сумму моментов всех сил относительно оси Ы, ка:ательной к дуге круга радиусом г в срединной плоскости: й (Мт + дМт) (т + >гт) игр — Мтт >йр — рт >йт >йз> —— 2 -ай> й д>р+ Щ+ Щ)(т+ дт) >1>р>1т = О. Пренебрегал величинами высшего порядка и переходя к предепу, имеем Ы Мг — — (М,т) = Ят. (10.16,' >1т Остальные уравнения равновесия удовлетворяются тоидественно вследствие условий симметрик.

Подставляя Мт и Мг ю выражений (10.13) в уравнение ,'10.16) ы полагая жесткость В постояннок, получим дгд т — + — — — = — —, дтз >гт т Ю ' >тку да д~1д 1 Я вЂ” — — (дт) ат ')т Ат ) Ю (10.17) Последнее преобрвзовакке легко проверить простым днффе>ендированием. После двукратного интегрирования выражения (10.17) на- солим С~ 1 Г(Г д = Сгт+ — — — у у Я >йт >йт, Вт,~ ~/ (10.18,' -де С1 и Сз — произвольные постоянные. иктегрирования, которые определяют из граничных условий в каждом конкретном :лучае. Поперечная сила Я может быть найдена из уравнения рввповесия (10.15). Впрочем, поперечную силу гораздо удобнее >пределять, рассматривая условия равновесия центральной ча:ти пластины, выделяемой дилпкдрическнм сеченыем, радиус готорого т. Этот способ пвхокциния поперечной силы будет юкэзвн ниже на конкретных примерах.

После того кал функдыя д найдена, с помощью выражегнй (10.13) определяют изгибающие моменты Мт и Мг, а по рормуле (10.8) — прогиб и>. нл Зная изгибающие моменты, леГко'найти и напри>кения Сравнивал выражения (10.'12) и (10.13), видим, что айт Е» айг — ог = 1 — >>я Ю' 1 — дз Ю Подставляя выражение для Ю (10.14), находим 12Мт 12яяг от — яз йз ьз Наибольшие напряжения имеют место при я = хй/2.

Поэтом1 6Мт .„6М, от"'~ = ~ —; ага>~ = ~ —. (10.19' йз ' йз .