Лекции Дымарский 3 семестр, страница 18

Обознап. 2 корректна. Пусть ABddчим через BA кривую AB с противоположной ориентацией (рис. 8.2). ТогдаЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР85g ∪ BAd является замкнутой и, в силу аддитивности КИВР, спракривая γ := ABведливо:˛ˆˆˆˆ0=(f , ds) =γgAB+dBA=gAB−dAB,что доказывает утверждение.2 ⇒ 3.

Мы предъявим функцию, которая является потенциалом. Пустьg⊂A(x0 , y0 , z0 ) ∈ U – фиксированная точка, B(x, y, z) ∈ U – произвольная, ABU – произвольная кусочно-гладкая кривая, которая их соединяет. В условияхg корректно определена функцияп. 2, независимо от выбора кривой AB,ˆu : U → R, ∀B ∈ U значение u(B) :=(f , ds).(8.4)gABПокажем, что она дифференцируема на U и в произвольной точке B ∈ Uсправедливо gradu(B) = f (B). С этой целью докажем существование частнойпроизводной ∂u(B)/∂x. В силу открытости U , существует такое r = r(B) > 0,что шар Ball(B, r) ⊂ U . Если модуль возмущения |∆x| < r, точка D(x +∆x, y, z) ∈ U вместе с отрезком [BD], рис.

8.3. Поэтому предел´´´u(x + ∆x, y, z) − u(x, y, z)g − ABg[BD]ADlim= lim= lim=∆x→0∆x→0∆x→0∆x∆x∆x´ x+∆x(f (x + s, y, z), i)dsP (x + ξ, y, z)∆xlim x= lim= P (x, y, z).∆x→0∆x→0∆x∆xМы воспользовались аддитивностью интеграла, п. 2, теоремой о среднем (ξлежит строго между x и x + ∆x) и непрерывностью функции P . Следовательно, ∂u(B)/∂x = P (B). Аналогично ∂u(B)/∂y = Q(B), ∂u(B)/∂z = R(B).Поскольку функции P, Q, R непрерывны, то утверждение полностью доказано.3 ⇒ 1. В силу потенциальности поля f = (P, Q, R)T , существует функцияu ∈ C 1 (U ), для которой∂u∂u∂u= P,= Q,= R.∂x∂y∂zПоэтому для произвольной параметризации r(t) = (x(t), y(t), z(t))T циркуляция)˛ˆ Tˆ T(∂u ′∂u ′∂u ′(f , ds) =(a(r(t)), r′ (t))dt =x (t) +y (t) +z (t) dt =∂x∂y∂zγ00ˆ T(u(r(t)))′t dt = u(r(T )) − u(r(0)) = 0. 0Теперь мы можем датьТеорема 8.4.

(описание всех потенциалов) При выполнении любого из трехусловий теоремы 8.3 справедливы следующие утверждения:1. Для любой точки A ∈ U функция (8.4) является потенциалом.2. Для любого потенциала u поля f имеет место формула Ньютона-Лейбница для КИВР:ˆgAB(f, ds) = u(B) − u(A).86Я. М. ДЫМАРСКИЙ3. Любые два потенциала отличаются на константу, т.е.

все потеницалы описывает формулаˆu(B) :=(f, ds) + C,gABгде C – произвольная постоянная.Доказательство п. 1 содержится в доказательстве п. 2 теоремы 8.3. Доказательство п. 2 осуществляется по той же схеме, что и доказательство п. 3теоремы 8.3:ˆˆ β(u(r(t)))′t dt = u(r(β)) − u(r(α)) = u(B) − u(A).(f , ds) =gABαЕсли u и v – два потенциала одного поля, то, в силу предыдущего пункта,ˆ(f , ds) = u(B) − u(A) = v(B) − v(A).gABЗначит, разность u(B) − v(B) = u(A) − v(A) = const = C не зависит от точкиB ∈ U. 8.4. Безвихревые векторные поля.Буратино увидел очаг и котелок над огнем.Он не знал, что это нарисовано, и сунул туда нос,но только проткнул в холсте дырку.А.Н. ТолстойКритерии потенциальности, сформулированные в пп.

1 и 2 теоремы 8.3труднопроверяемые. Оказывается, в условиях гладкости поля f проверить потенциальность поля можно с помощью локальной характеристики (а именноrotf ) и одного глобального топологического свойства области U . Этот подходаналогичен применению дивергенции и объемной односвязности при исследовании соленоидальности поля. Нам потребуется два определения.Определение 8.3. Векторное поле f ∈ C 1 (G) называется безвихревымна U , если тождественно rotf (B) ≡ 0 для любой точки A ∈ U . Определение 8.4.

Область U ⊂ R3 называется поверхностно односвязной, если для любой замкнутой кусочно-гладкой кривой γ ⊂ U существуеткусочно-гладкая поверхность Θ ⊂ U , краем которой является кривая γ. Образно говоря, поверхностно односвязная область вместе с любой своейпетлей содержит некоторую пленку (не обязательно все!), натянутую на этупетлю. Или иначе, поверхностно односвязная область не имеет сквозных отверстий, т.е. дырок.Примеры 8.1.

поверхностно односвязных областей: пространство, из которого удалили точку или шар, сам шар, шаровой слой. Пространство, изкоторого удалили прямую (но не плоскость!), или удалили окружность, илиудалили полноторий, сам полноторий и “крендели” – не являются поверхностно односвязными областями (рис. 8.4 - 8.6, сравните объемно односвязные иповерхностно односвязные области).ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТРQ87Q··¶Q¶QРис. 8.4Рис. 8.5Рис.

8.6Замечание 8.2. Определение 8.4 нуждается в доказательстве корректности, а именно: у любой замкнутой КГК существует хотя бы одна кусочно-гладкая поверхность, для которой эта кривая является краем (т.е. доказательствотеоремы типа Жордана). Попросту говоря: на любую петлю можно натянутьпленку, в чем мы убеждаемся, поместив проволочный контур в мыльную воду.Мы не будем доказывать это утверждение.Теорема 8.5.

(критерий потенциальности) Чтобы векторное поле f класса гладкости C 1 (U ) было потенциальным на области U ⊂ R3 необходимо, ав случае поверхностной односвязности U и достаточно, чтобы оно было безвихревым:f потенциальноповерхн. односв. обл. Urotf(x, y, z) = 0 для всех A(x, y, z) ∈ U.Доказательство необходимости следует непосредственно из п. 1 теоремы8.3 и теоремы 8.2 о геометрическом смысле ротора.Пусть поле безвихревое.

В силу п. 1 теоремы 8.3 для доказательства потенциальности достаточно проверить, что циркуляция по любой замкнутойкусочно-гладкой кривой (возможно с самопересечениями!) равна нулю. Ограничимся случаем кривой γ без самопересечений. Из поверхностной односвязности следует, что существует кусочно-гладкая поверхность Θ ⊂ U , для которой∂Θ = γ.

Из формулы Стокса (8.2) и безвихревости поля следует, что циркуляция по γ равна нулю. Следствие 8.2. (о локальной потенциальности) Если гладкое поле безвихревое на области U , то оно потенциально на каждом шаре, принадлежащем U .Задача 8.1.

Докажите следствие 8.2.Пример 8.1. безвихревого, но непотенциального векторного поля. Рассмотрим поле f = (−y/(x2 +y 2 ), x/(x2 +y 2 ), 0) на толстостенном цилиндре U = {1 <x2 + y 2 < 9, z ∈ R}, который является поверхностно неодносвязной областью.На U ротор ijk ∂∂∂rotf = ∂x∂y∂z = 0.x 2−y 20x +yx2 +y 288Я. М.

ДЫМАРСКИЙНо циркуляция по окружности S 1 = {r(t) = (2 cos t, 2 sin t, 0), t ∈ [0, 2π]} ⊂ Uравна˛ˆ2π(f , dr) =S10()−2 sin t2 cos t· (−1)2 sin t +· 2 cos t dt = 2π ̸= 0.44Выпишем как выглядят условия потенциальность на плоскости. Пусть наобласти Ω ⊂ R2 задано непрерывное векторное поле f = (P (x, y), Q(x, y))T .Содержание теорем 8.3 и 8.4 переносится на него без изменений. Теорема 8.5получает следующую переформулировку:Теорема 8.6.

(критерий потенциальности плоского поля) Чтобы векторное поле (P, Q) ∈ C 1 (Ω) было потенциальным на области Ω ⊂ R2 необходимо,а в случае односвязности Ω и достаточно, чтобы оно было безвихревым вследующем смысле:rotf :=∂Q(x, y) ∂P (x, y)−= 0 для всех (x, y) ∈ Ω.∂x∂y(8.5)Замечание 8.3. Теорема является частным случаем теоремы 8.5, если положить в ней P (x, y, z) = P (x, y), Q(x, y, z) = Q(x, y), R(x, y, z) ≡ 0.Доказательство. Если поле f потенциально, то существует функция u ∈C 2 (Ω), для которой P (x, y) = u′x , Q(x, y) = u′y при всех (x, y) ∈ Ω.

Следовательно смешанные производные второго порядка функции u существуют исовпадают, т.е. Py′ = u′′xy = u′′yx = Q′x . Значит, условие (8.5) выполнено.Пусть справедливо (8.5). В силу п. 1 теоремы 8.3, для доказательства потенциальности достаточно проверить, что циркуляция по любой замкнутойкусочно-гладкой кривой γ нулевая.

Из односвязности следует, что внутренность Intγ принадлежит области Ω. Поэтому можно воспользоваться формулой Грина (5.2):()˛˛ˆ ˆ∂Q(x, y) ∂P (x, y)(f , dr) =P dx + Qdy =−dxdy = 0. ∂x∂yγγInt(γ)8.5. Элементы теории поля. Ранее мы ввели понятия скалярного u =u(x, y, z) и векторного f(x, y, z) полей, как отображений из точечной областиU ⊂ R3 в числовую прямую и в трехмерное векторное пространство соответственно. Было рекомендовано в каждой точке A(x, y, z) ∈ U откладыватьвектор f(A), порожденный именно этой точкой. Эта наивная рекомендациябыла призвана помочь отличать “настоящие” геометрические и физическиепонятия-векторы от вспомогательного векторного аппарата многомерного математического анализа.

Уточним, чем скалярное поле отличается от числовойфункции, а векторное поле – от вектор-функции.Скалярное поле НЕ меняется после любой замены координат. Для визуализации СП применяют линии уровня, поверхности уровня, цветную раскраску.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР89Примеры 8.2. скалярных полей: поле стационарных темератур, плотностей, дивергенции, потенциал векторного поля и др. НЕ является скалярнымполем значение первой координаты точки, второй координаты градиента ...Векторное поле есть отображениеU → U × V3 , A → (A, f(A)).Векторное поле при замене орто-нормированного базиса меняется по законамлинейной алгебры: если новый базис выражается через старый с помощьюневырожденной матрицы A, то новые координаты вектора выражаются черезего старые координаты с помощью матрицы (A′ )−1 – обратной к транспонированной.При диффеоморфизме F векторное поле меняется по закону(A, f(A)) → (F (A), DF (A)f(A)),т.е.