Лекции Дымарский 3 семестр, страница 19

точки преобразует само отображение F , а векторы – оператор производнойDF (A) в соответствующей точке. Векторное поле полезно интерпретироватькак систему дифференциальных автономных уравнений; тогда векторное полепорождает фазовый поток.Примеры 8.3. векторных полей: поле скоростей сплошной среды при ламинарном течении, напряженность силового поля стационарной системы зарядов. Радиус-векторы точки не являются векторным полем.С одноименными полями можно производить алгебраические операции.

Если поля физические, то учитывают размерности полей. Векторные поля поточечно: 1) складывают, 2) умножают на скалярное поле, 3) скалярно перемножают, 4) векторно перемножают и т.д.Гладкие поля можно дифференцировать различными способами и получать новые поля.Примеры 8.4. дифференцирований:1. Дифференцирование скалярного поля порождает векторное поле градиентов φ → gradφ = (φ′x , φ′y , φ′z )T .2. Дифференцирование скалярного поля в присутствии другого поля порождает скалярное поле производной Ли (Мариус Софус Ли, 1842 –1899): φ → (v, gradφ) = v1 · φ′x + v2 · φ′y + v3 · φ′z =: ∂φ/∂v.3.

Дифференцирование векторного поля порождает скалярное поле дивергенции f → divf = ∂f1 /∂x + ∂f2 /∂y + ∂f3 /∂z.4. Дифференцирование векторного поля порождает векторное поле ротораf → rotf5. Дифференцирование векторного поля в присутствии другого поля порождает векторное поле действия линейного отображения на вектор:f → Df(v).6. Дальнейшее дифференцирование.

Пример, оператор Лапласа (Пьер-Симон, маркиз де Лаплас, 1749 — 1827):φ → gradφ → div(gradφ) = ∆φ :=∂2φ ∂2φ ∂2φ++.∂x2∂y 2∂z 290Я. М. ДЫМАРСКИЙВажными частными случаями являются центральные поля, т.е. поля вида φ(r) и α(r)r, где r = (x, y, z)T r = |r|. Для них все дифференциальныеоператоры известны.8.6. Оператор Гамильтона. Сэр Уильям Роуэн Гамильтон (1805 — 1865)ввел в обиход символический вектор набла, имющий в ПДСК такое определение:()T∂ ∂ ∂∇ :=,,.∂x ∂y ∂zС помощью вектора набла основные дифференцирования полей интерпретируются как умножения:1. ∇φ := gradφ,2.

(∇, f) = divf,3. ∇ × f = rotf,4. (v, ∇)φ = ∂φ/∂v,5. (v, ∇)f = Df(v),6. (∇, ∇)φ = ∇2 φ = ∆φ.Основные принципы преобразований выражений с вектором набла:1. Набла линейный оператор.2. Набла дифференциальный оператор первого порядка.3. Набла “перемножается” с полями как вектор на число, как скалярноепроизведение и как векторное произведение (см. выше).4. Для набла, как для дифференциального оператора, выполняется правило Лейбница дифференцирования произведения.5. Чтобы не забыть, на какое поле действует ∇, над полем ставят стрелку.6.

Полезно применять уже известные тождества между сомножителями.7. После преобразований поле, на которое действует набла, оказываетсякрайним справа, а сам оператор стоит следующий за ним. После чегоможно записать результат.8. В конце ответ рекомендуется записывать БЕЗ оператора набла.9. Для конкретных полей (например, центральных) можно использоватьсмешанную технику – и операторную, и координатную.Запреты:1. Набла не участвует в операции сложения с векторами.2. Перемножение с набла не является перестановочным, учитывая стрелкиего действия.Пример 8.2.↓↓(v, ∇)φ = ∂φ/∂v, (∇, v)φ = φ divv..