Лекции Дымарский 3 семестр

Я. М. ДымарскийЛекции по математическому анализу, третий семестрСодержаниеСодержание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. Обратное и неявное отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1. Теорема о неподвижной точке сжимающего отображения . . . . . . .1.2. Неравенство Лагранжа для отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3. Теорема об обратном отображении. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4. Теорема о неявно заданном отображении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5. Замена переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6. Гладкие многомерные поверхности . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Экстремумы функций нескольких переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1. Необходимые и достаточные условия экстремума . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Условный экстремум . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3. Признаки существования условного экстремума . . . . . . . . . . . . . . . . .3. Кратный интеграл. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .3.1. Кратный интеграл Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Классы интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3. Свойства кратного интеграла . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4. Элементарное множество . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5. Сведение кратного интеграла к повторному . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.6. Обсуждение теоремы 3.9 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Замена переменных в кратном интеграле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1. Геометрические свойства меры Жордана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2. Геометрический смысл модуля якобиана . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3. Формула замены переменной в кратном интеграле . . . . . . . . . . . . . .4.4. Геометрический смысл знака якобиана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. Формула Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.1. Ориентация замкнутой кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2. Формула Грина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .6. Поверхностные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.1. Кусочно-гладкие поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2. Поверхностный интеграл первого рода . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.3. Ориентация кусочно-гладкой поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.4. Поверхностный интеграл второго рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .c⃝Я. М. Дымарский,122459121521212526313134353839424444485154565658616163666920192Я. М.

ДЫМАРСКИЙ7. Формула Остроградского-Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.1. Теорема Остроградского-Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.2. Геометрический и физический смысл дивергенции . . . . . . . . . . . . . .7.3. Соленоидальные векторные поля . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8. Формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.1. Теорема Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.2. Геометрический и физический смысл ротора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.3. Потенциальные векторные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.4. Безвихревые векторные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.5. Элементы теории поля . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.6. Оператор Гамильтона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7373767780808383868890§ 1. Обратное и неявное отображенияМы говорим, что задано отображение f : X → Y , если каждому элементу измножества X поставлен в соответствие единственный элемент из множества Y .Само существование отображения уже является нетривиальным фактом.

Поэтому важно знать, при каких условиях зависимость между элементами двухмножеств является именно отображением. Для числовых функций мы уже обсудили обратную функцию, параметрически заданную функцию и затронулипроблему существования неявной функции (см. лекцию 1.9). Теперь мы обсудим проблему локального существования и дифференцируемости обратного инеявного отображений конечномерных пространств.Впредь для упрощения записи мы не будем ставить стрелку над разностью−−−−−→точек, т.е. для произвольных x1 , x2 ∈ Rn пишем x2 − x1 := x2 − x1 . Крометого, чтобы свободно применять векторные операции, при необходимости мыбудем переходить от точечных пространств к векторным, заменяя точки ихрадиус-векторами; обозначения оставим прежние.1.1.

Теорема о неподвижной точке сжимающего отображения. Знаменитая теорема о существовании и единственности решения уравнения общеговида.Все дороги ведут в РимПословицаТеорема 1.1. (Стефан Банах, 1892-1945) Пусть h : Rn ⊃ M → Rn1. отображает замкнутое подмножество M = M в себя: h(M ) ⊂ M ;2. является сжатием с коэффициентом k ∈ (0, 1), т.е.∀x1 , x2 ∈ M ,→ |h(x2 ) − h(x1 )| 6 k|x2 − x1 |.Тогда:1. существует и при том единственная неподвижная точка x∗ ∈ Mотображения h, т.е. h(x∗ ) = x∗ ;ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР32. неподвижная точка является пределом итерационного процесса, который можно запустить из произвольной точки x0 ∈ M :∀n ∈ N полагаем xn := h(xn−1 ), тогда x∗ = lim xn ;n→∞3. погрешность на n-ом шаге оценивается сверху по первому шагу какубывающая геометрическая прогрессия с коэффициентом k:|xn − x∗ | 6kn|h(x0 ) − x0 |.1−k(1.1)Обсуждение 1.1.

Отметим:1. исследуемое уравнение имеет специфический вид, отличный от традиционного h(x) = x0 , где x0 – фиксированная точка;2. сформулированы достаточные условия не только существования неподвижной точки, но и ее единственности;3. указан итерационный процесс, сходящийся к неподвижной точке (см.рис. 1.1);4. итерации можно начинать с произвольной точки (этот факт иллюстрирует рис. 1.2);5. указана погрешность итераций;6. доказательство теоремы содержится в ее формулировке (п. 2);7.

теорема и ее обобщение на бесконечномерные пространства имют многочисленные применения в теории приближений, функциональном анализе, теории дифференциальных уравнений и в теории уравнений математической физики.y=xGr ( f )x* x 22h (M )x1x0··x0·*·x1 x x 2x1Рис. 1.1. ИтерацииРис. 1.2. СжатиеДоказательство. Покажем, что последовательность итераций xn := h(xn−1 )является фундаментальной. Для произвольных n, p ∈ N выполняется:|xn+p − xn | = |hn+p (x0 ) − hn (x0 )| 6 k|hn+p−1 (x0 ) − hn−1 (x0 )| 6 ...6 k n |hp (x0 ) − x0 | 6 k n (|x1 − x0 | + |x2 − x1 | + ... + |xp − xp−1 |) 6k n · |x1 − x0 | · (1 + k + k 2 + ... + k p−1 ) 6 k n|x1 − x0 |1−kn→∞→ 0(1.2)(мы воспользовались сжатием, применили p раз неравенство треугольника изаменили конечную сумму убывающей геометрической прогрессией).

Из фундаментальности последовательности и замкнутости множества M следует, что4Я. М. ДЫМАРСКИЙсуществует предел x∗ := lim xn ∈ M . Покажем, что x∗ – неподвижная точка.n→∞Из условия сжатия следует, что отображение h непрерывно на всей областиопределения (докажите), поэтомуh(x∗ ) = h( lim xn ) = lim h(xn ) = lim xn+1 = x∗ .n→∞n→∞n→∞Существование неподвижной точки доказано. Докажем ее единственность.Допустим противное: существует точка x♯ ∈ M , для которой h(x♯ ) = x♯ . Тогда|x∗ − x♯ | = |h(x∗ ) − h(x♯ )| 6 k|x∗ − x♯ |. Т.к. k ∈ (0, 1), то |x∗ − x♯ | = 0, т.е.x∗ = x♯ .В неравенстве (1.2) перейдем к пределу при p → ∞; поскольку lim xn+p =x∗ , получаем оценку (1.1) p→∞Замечание 1.1.

В формулировке и доказательстве теоремы 1.1 используется только понятие расстояния между точками ρ(x, y) := |y − x| и его свойства(см. следствие ??). Позже мы воспользуемся этим обстоятельством для обобщения теоремы на случай метрических пространств.1.2. Неравенство Лагранжа для отображения. Понятие дифференцируемости отображения y1 = f1 (x1 , ..., xn ),f : Rn ⊃ X → Rm ⇔...ym = fm (x1 , ..., xn ).в точке x0 мы обсудили в п. 2.4.5. В конечном итоге мы выяснили, что производной Df (x0 ) отображения f в точке x0 (если она существует!) является матрица Якоби (m×n) = (∂fi (x0 )/∂xj ), составленная из частных производных всехкоординатных функций fi (i = 1, ..., m) по всем переменным xj (j = 1, ..., n).Там же введено понятие нормы ||A|| произвольной матрицы A = (ai,j ) и изучены ее основные свойства.