Лекции Дымарский 3 семестр, страница 6

Значит, cуществует такое преобразование A, что квадратичнаяформа d2 g(0, dy) приобретает кано∑n2нический диагональный видi=1 λi dyi ; при этом диагональные элементы22λi = ∂ g(0)/∂yi . После линейной замены x = Ay + x0 остаточный член вформуле Тейлора сохраняет порядок малости, т.е. o(|dy|2 ) (докажите). Безограничения общности рассуждений считаем, что исходная система координатуже каноническая и x0 = 0. Тогда∆f (x) =1(λ1 (x(1) )2 + ... + λk (x(k) )2 + λk+1 (x(k+1) )2 + ...

+ λk+l (x(k+l) )2 ) + o(|x|2 ),2где λ1 , ..., λk > 0, λk+1 , ..., λk+l < 0, k + l 6 n.Квадратичная форма положительно определена тогда и т. т., когда все λi >0 (i = 1, ..., n). Пусть λ = min{λ1 , ..., λn } > 0. Тогда существует такое малоеε > 0, что для любого x ̸= 0 ∧ |x| < ε верно:()11o(|x|2 )nλ 2222f (x) > nλ|x| + o(|x| ) = |x|nλ +>|x| > 0.222|x|4Первый пункт доказан. Второй пункт сводится к первому заменой функции fна функцию −f .Знаконеопределенность означает, что среди чисел λi имеются хотя бы двачисла разных знаков: пусть λ1 > 0, λ2 < 0. Тогда существует ε > 0, чтоf (x(1) , 0, ..., 0) =1λ1 (x(1) )2 + o((x(1) )2 ) > 0 при 0 < |x(1) | < ε,2f (0, x(2) , 0, ..., 0) =1λ2 (x(2) )2 + o((x(2) )2 ) < 0 при 0 < |x(2) | < ε.2Пункт 3 доказан.Отсутствие знакоопределенности и знаконеопределенности квадратичной формы означает, что те числа λi , которые отличны от нуля, одного знака, но ихколичество строго меньше, чем n.

В качестве примеров возьмем две функциидвух переменных, у которых совпадают вторые дифференциалы:f1 (x, y) = x2 + y 4 , f2 (x, y) = x2 − y 4 .ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР25Для первой функции точка (0, 0) является точкой строгого минимума, а длявторой она же не является точкой экстремума (обоснуйте). Заметим, что графики 2.6, 2.8 функций f1 , f2 визуально аналогичны графикам 2.3 и 2.5 соответственно. 2.2.

Условный экстремум. Обычно нахождение экстремума функции связано дополнительными условиями.На безрыбье и рак рыба.На безлюдье и Фома дворянин.ПословицыОпределение 2.2. Пусть в области U ⊂ Rp задана скалярная функция f иотображение F : U → Rm , F (x) = (F1 (x), ..., Fm (x)) (m < p). Обозначим черезS := {x ∈ U : F (x) = Oy } ⊂ U подмножество, заданное неявно отображениемF . Точка x0 ∈ S называется точкой локального условного экстремумафункции f на множестве S, если существует такая шаровая окрестность Bε (x0 ),◦что в пересечении ∀x ∈ B ε (x0 ) ∩ S выполняется неравенство: f (x) > f (x0 )(>, <, 6).

В отсутствие дополнительных условий точку экстремума называютбезусловной. Множество S задается системой Fi (x1 , ..., xp ) = 0 из m уравнений с p неизвестными, причем m < p. Предположим, что система разрешима относительно m переменных, т.е. точка x представима в виде пары x = (z, y) (гдеy ∈ Rm , z ∈ Rp−m ), для которой условие F (z, y) = Oy равносильно функциональной зависимости y = H(z). (Достаточные условия существования функциональной зависимости y = H(z) сформулированы в теоремах 1.4 и 1.5.) Вэтом случае задача отыскания условного экстремума сводится к задаче отыскания безусловного экстремума функции fe(z) := f (z, H(z)).

Указанный методназывается прямым. Аналитическое осуществление прямого метода как правило не представляется возможным. Однако, в условиях теоремы 1.5, опираясьтолько лишь на существование зависимости y = H(z), с помощью косвенныхметодов удается решить задачу отыскания условного экстремума.Возникает естественный вопрос: насколько существенно дополнительныеусловия могут повлиять на экстремальные свойства функции? Ясно, что еслиточка x0 является точкой безусловного строгого экстремума, то при любыхдопонительных условиях она останется таковой. Если x0 – точка безусловногонестрогого экстремума, то она останется точкой экстремума того же типа;возможно, нестрогого, возможно – строгого (приведите примеры обоих случаев).

Если же x0 не является точкой экстремума данной функции f (x), тодополнительные условия могут приводить к любой ситуации.Пример 2.1. Рассмотрим функцию от двух переменных f (x, y) = y + 2.Очевидно, у данной функции нет даже стационарных точек. Условие связиx2 + y 2 − 1 = 0 задает на плоскости единичную окружность S. Суженная на Sфункция f |S имеет максимум и минимум в точках (0, ±1) соответственно (рис.2.9).26Я. М. ДЫМАРСКИЙf -1 (c1 )Gr ( f |S )( x1 ·, y1 )f -1 (c0 )grad f ( x0 , y0 )( x0 , y0 )··f -1 (c2 )SРис. 2.9T( x0 , y0 ) S( x0 , y 0 )SРис.

2.10Обсуждение 2.1. (геометрическая интерпретация задачи на условный экстремум) Пусть функция f (x, y) определена на плоской области, а дополнительное условие задано уравнением F (x, y) = 0, удовлетворяющим теореме1.5. Значит, речь идет о задаче на экстремум на кривой S = {F (x, y) = 0}(рис. 2.10). Пусть в точке (x1 , y1 ) ∈ S поверхность уровня f −1 (c1 ) = {(x, y) :f (x, y) = f (x1 , y1 ) = c1 } геометрически пересекает S, т.е.

касательная прямаяT(x1 ,y1 ) S пересекает касательную прямую T(x1 ,y1 ) f −1 (c1 ). Тогда для всех достаточно малых ε > 0 линии уровней f −1 (c1 ± ε) геометрически пересекают S.Следовательно, (x1 , y1 ) НЕ является точкой условного экстремума. Если желиния уровня f −1 (c0 ) касается S в (x0 , y0 ), то точка (x0 , y0 ) может оказатьсяточкой условного экстремума. На рис. 2.10 (x0 , y0 ) является точкой условногоминимума функции f , а точка (x2 , y2 ) – НЕ является точкой эктремума.

Заметим, что в точке условного экстремума выполнено условие ортогональности:grad f (x0 , y0 ) ⊥ T(x0 ,y0 ) S. Оказывается, это ключевое наблюдение, лежащее воснове теории Лагранжа об условном экстремуме.2.3. Признаки существования условного экстремума. Всюду нижепредполагается, что:1. функция f и отображение F принадлежат классу гладкости C 1 (U );2. в каждой точке x ∈ S ранг матрицы DF (x) максимален, т.е. равен m.Из условия 2, в силу теоремы 1.5, следует, что подмножество S является гладкой поверхностью размерности n = p − m, касательное пространство в точкеx ∈ S задается системой линеаризованных уравнений (1.24)Tx S = {υ ∈ Rp : ((DF1 (x))T , υ) = 0, ...

, ((DFm (x))T , υ) = 0},а система векторов {(DF1 (x))T , ..., (DFm (x))T } вляется базисом в ортогональном дополнении Nx S к Tx S (см. следствие 1.2).В принятых предположениях о функции f и отображении F справедливаЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР27Теорема 2.3. (необходимый признак условного экстремума) Пусть x0 –точка локального условного экстремума и f (x0 ) = c0 , тогда справедливы следующие равносильные между собой утверждения:1. grad f (x0 ) ⊥ Tx0 S ⇔2. существует единственный набор Λ = (λ1 , ..., λm ) из m чисел, для которого Df (x0 ) = λ1 DF1 (x0 ) + ... + λm DFm (x0 ).Доказательство.

Переформулируем задачу на условный экстремум. ПустьΦ : V → Rp – произвольная локальная параметризация поверхности S в некоторой окрестности точки x0 ∈ S. Рассмотрим сложную функциюfe : V → R, fe(t) := f (Φ(t)).(2.4)Мы утверждаем, что задача f (x) → extremum при условии F (x) = Oy равносильна безусловной задаче fe → extremum. Точнее, точка x0 = Φ(t0 ) являетсядля функции f точкой локального условного экстремума любого из указанныхтипов тогда и т. т., когда точка t0 является для функции fe точкой локальногобезусловного экстремума того же типа. Утверждение следует из того обстоятельства, что параметризация Φ является непрерывной в обе стороны биекцией между некоторой окрестностью Vε (x0 ) := Bε (x0 ) ∩ S точки x0 и некоторойокрестностью W (t0 , ε) = Φ−1 (Vε (x0 )) точки t0 .Теперь, если x0 – точка локального условного экстремума, то для сложнойгладкой функции fe = f (Φ(t)) точка t0 стационарная:∀j ∈ {1, ..., n} ,→∂ fe(t0 )∂Φ(t0 )= 0 ⇔ Df (Φ(t0 )) ◦=0 ⇔∂tj∂tj((Df (x0 ))T ,∂Φ(t0 )) = 0.∂tjИз (1.23) следует, что вектор (Df (x0 ))T = grad f (x0 ) ортогонален каждомубазисному вектору касательного пространства Tx0 S, что доказывает первоеутверждение.Из следствия 1.2 вытекает, что: 1) утверждение п.

1 равносильно принадлежности (Df (x0 ))T ∈ Nx0 S; 2) вектор (Df (x0 ))T единственным образомраскладывается по базису {(DF1 (x0 ))T , ... , (DFm (x0 ))T }. Задача 2.2. Докажите, что условие grad f (x0 ) ⊥ Tx0 S равносильно условию принадлежности Tx0 S ⊂ Tx0 f −1 (c0 ), где c0 = f (x0 ).Из теоремы 2.3 сразу вытекаетСледствие 2.1.

(о точках, подозрительных на условный экстремум) Точка x = (x1 , ..., xp ) ∈ S может оказаться точкой условного экстремума функции f только в том случае, когда ее p координат и еще m чисел (λ1 , ..., λm )удовлетворяют системе из p + m уравнений{ ∂f (x)∂F1 (x)∂Fm (x)(j = 1, ..., p),∂xj = λ1 ∂xj + ... + λm ∂xj(2.5)Fi (x) = 0 (i = 1, ..., m) .Первые p уравнений есть покоординатная запись п. 2 теоремы 2.3. Остальные m уравнений есть условие принадлежности x ∈ S.28Я. М. ДЫМАРСКИЙЗамечание 2.2. Совпадение количества уравнений и количества неизвестных в системе (2.5) означает, что все условия задачи исчерпаны.Утверждение следствия 2.1 удобно формулировать с помощью вспомогательной функции Лагранжа, зависящей от p + m переменных:L : U × Rm → R, L(x, Λ) := f (x) − λ1 F1 (x) − ... − λm Fm (x).(Функция L понадобиться нам и для формулировки достаточных признаковусловного экстремума.)Лемма 2.1.

(необходимый признак условного эестремума в терминах функции Лагранжа) Если точка x ∈ S является точкой условного экстремумафункции f , то существует такой единственный наюбор Λ, для которого xявляется стационарной точкой функции Лагранжа:x − точка условного экстремума ⇒ gradx L(x, Λ) = 0 ∧ F (x) = Oy .Доказательство. Достаточно заметить, что∂L∂f (x)∂F1 (x)∂Fm (x)=− λ1− ... − λm, j = 1, ..., p. ∂xj∂xj∂xj∂xjЧтобы сформулировать достаточные признаки условного экстремума, ужесточим требования к гладкости функции f и отображения F : f, F ∈ C 2 (U ).Пусть точка x ∈ S и набор Λ фиксированы.

Обозначим через d2 LT (x, Λ; υ)сужение второго дифференциала d2 L(x, Λ; dx) по переменной x на касательноепространство Tx S, т.е. d2 LT (x, Λ; υ) = d2 L(x, Λ; υ) при условии υ ∈ Tx S.Теорема 2.4. (достаточные признаки условного экстремума) Пустьf, F ∈ C 2 (U ). Пусть пара (x0 , Λ0 ) удовлетворяет системе (2.5). Тогда:1. если квадратичная форма d2 LT (x0 , υ) положительно определена (т.е.∀υ ∈ Tx0 S \ {0} ,→ d2 LT (x0 , Λ0 ; υ) > 0), то x0 – точка локальногоусловного строгого минимума функции f ;2. если квадратичная форма d2 LT (x0 , Λ0 ; υ) отрицательно определена (т.е.∀υ ∈ Tx0 S \ {0} ,→ d2 LT (x0 , Λ0 ; υ) < 0), то x0 – точка локальногоусловного строгого максимума функции f ;3.