Лекции Дымарский 3 семестр, страница 4

Найдите частные производные новых переменных r, φ постарым переменным x, y не выражая новые переменные через старые. Решитезадачу двумя способами – через систему (1.18) и методом обратной матрицы.Если выражение G содержит производные второго порядка, то дифференцируем выражения (1.17) еще раз по старым переменным. Появляются частные2∂2u∂2v, ... , ∂yЧтобы ихпроизводные второго порядка ∂∂xu2 , ∂x∂y2 (всего 6 штук).найти, дифференцируем выражения (1.19) по старым переменным. Предупреждаем, что объем вычислений существенно увеличивается – требуется решитьлинейную систему 6 × 6.В общем случае нужно перейти от функции z = z(x, y) к функции w =fw(u, v), воспользовавшись биекцией R3 ⊃ Ξ → Ω ⊂ R3 трехмерных областей.Эту биекцию можно задать неявно с помощью системы из трех уравненийFi (x, y, z; u, v, w) = 0 (i = 1, 2, 3), предполагая, что отображение F = (F1 , F2 , F3 )удовлетворяет теореме 1.4, если считать зависимой хоть вторую тройку переменных (u, v, w), хоть первую тройку (x, y, z):u = u(x, y, z),x = x(u, v, w),F1 (x, y, z; u, v, w) = 0,(1.20)⇔ v = v(x, y, z),⇔ y = y(u, v, w),F2 (x, y, z; u, v, w) = 0,w = w(x, y, z).z = z(u, v, w)F3 (x, y, z; u, v, w) = 0Поскольку по условию z = z(x, y), получаем cистему из трех уравнений с пятьюнеизвестными, которая равносильна заданию неявного отображения:F1 (x, y, z(x, y); u, v, w) = 0,u = u(x, y),⇔(1.21)F2 (x, y, z(x, y); u, v, w) = 0,v = v(x, y),F3 (x, y, z(x, y); u, v, w) = 0.w = w(x, y).Чтобы записать выражение G(x, y, z, ∂z/∂x, ∂z/∂y, ...) через новые переменные u, v, w и производные ∂w/∂u, ∂w/∂v, ..., во-первых, из системы уравнений(1.20) выражаем старые координаты через новые.

Во-вторых, трактуя системууравнений (1.21) как систему тождествF1 (x, y, z(x, y); u(x, y), v(x, y), w(u(x, y), v(x, y)) ≡ 0,(1.22)F2 (x, y, z(x, y); u(x, y), v(x, y), w(u(x, y), v(x, y)) ≡ 0,F3 (x, y, z(x, y); u(x, y), v(x, y), w(u(x, y), v(x, y)) ≡ 0,ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР15и дифференцируя ее по переменным x и y, получаем систему из шести линей∂z ∂z ∂u ∂u ∂v ∂vных уравнений относительно шести неизвестных функций ∂x, ∂y , ∂x , ∂x , ∂x , ∂x .Выпишем одно уравнение, полученное дифференцированием первого тождества по переменной x:()∂F1∂F1 ∂z∂F1 ∂u ∂F1 ∂v∂F1 ∂w ∂u ∂w ∂v+++++= 0.∂x∂z ∂x∂u ∂x∂v ∂x∂w ∂u ∂x∂v ∂xРешаем систему (в общем случае 6 × 6) и подставляем выражения для частных∂z ∂zпроизводных ∂x, ∂y в G.Если выражение G содержит производные второго порядка, то появляется∂2z∂2z∂2vеще девять неизвестных функций ∂x2 , ∂x∂y , ...

, ∂y 2 , которые находим, диф∂z∂vференцируя по x и по y полученные ранее выражения производных ∂x, ... , ∂x.Задача 1.2. Сделать замену в выражении G(x, y, z, ∂z/∂x, ∂z/∂y), принявx за функцию, а y и z за независимые переменные.1.6. Гладкие многомерные поверхности. В многомерной геометрии, втеории экстремумов, в теории интегрирования, а также в различных разделах физики возникают поверности, размерности выше двух. Поэтому полезноиметь их единообразное описание.Определение 1.1. Подмножество S ⊂ Rp называется n-мерной простойгладкой поверхностью в p-мерном пространстве, если S является образомотображения Φ : Rn ⊃ V → Rp , обладающего следующими свойствами:1.2.3.4.n < p;V ⊂ Rn – область;ображение Φ инъективно, т.е. ∀t1 , t2 ∈ V , t1 ̸= t2 верно Φ(t1 ) ̸= Φ(t2 );Φ ∈ C 1 (V ) и в каждой точке t ∈ V ранг матрицы частных производныхмаксимален, т.е.

rank(DΦ(t)) = n.Отображение Φ называют параметризацией поверхности, а переменную t ∈Rn – параметром. Обсуждение 1.3. Одна и та же поверхность всегда параметризована бесконечным количеством способов: если F : Rn ⊃ V ′ → V – биекция класса C 1 ,производная которой в каждой точке невырождена, то отображениеΦ′ : V ′ → Rp , Φ′ (t′ ) := Φ(F (t′ ))также является параметризацией (см. рис.

1.5). Можно доказать, что такимобразом получаются все параметризации данной поверхности.Зафиксируем все координаты параметра t, кроме одной tj . Изменяя ее, получим кривую γj ⊂ S, принадлежащую данной поверхности, которая параметризована отображением Γj (tj ) := Φ(t01 , ..., tj , ...t0n ). В результате прмолинейнаякоординатная сеть пространства Rn преобразуется в криволинейную координатную сеть на S (рис. 1.5).16Я. М. ДЫМАРСКИЙ¶F¶tnx0¶F¶t1r ( x, Tx0 S )·xpvx1·xxx0x2·r ( x, x 0 )Рис. 1.6Рис. 1.5Определение 1.2. Пусть Φ(t0 ) = x0 ∈ S – фиксированная точка простойгладкой поверхности. Векторное подпространство Tx0 S := Im(DΦ(t0 )) ⊂ Vp(т.е.

образ производной отображения DΦ(t)) называется касательным пространством к поверхности в точке x0 . Обсуждение 1.4. Отметим, что1. Требование максимальности ранга матрицы DΦ(t0 ) означает, что поверхность в каждой точке имеет касательное пространство одной и тойже размерности n.2. В геометрических исследованиях удобно откладывать векторы v ∈ Tx0 Sкасательного пространства от точки касания x0 . В такой трактовке касательное пространство является точечным.

Можно доказать, что расстояние от точки x ∈ S поверхности до касательного пространства Tx0 Sесть величина более высокого порядка малости, чем расстояние от x доточки касания x0 (рис. 1.6): ρ(x, Tx0 S) = o(ρ(x, x0 )) при x → x0 , x ∈ S.3. Физический смысл касательного пространства. Рассмотрим всевозможные элементарные гладкие кривые γ, которые целиком принадлежатгладкой поверхности S и проходят через ее фиксированную точку x0 ; таΓкие кривые имеют параметризации (−1, 1) → S ⊂ Rn , где Γ(0) = x0 ∈ S.Проинтерпретируем γ как траекторию движения материальной точкипо поверхности S через x0 . Тогда касательное пространство Tx0 S естьпространство всех скоростей v = DΓ(0) названных движений материальной точки: Tx0 S = {v} (рис. 1.6).Лемма 1.1.

(о задании касательного пространства)1. Касательное пространство не зависит от параметризации Φ поверхности.2. Столбцы матрицы ∂Φ (t)1()... ∂Φ∂t1n(t)∂t1∂Φ(t)∂Φ(t)......  =DΦ(t) =  ......(1.23)∂t1∂tn∂Φp (t)∂Φp (t)...∂t1∂tnобразуют базис касательного пространства; каждый из столбцов является касательным вектором соответствующей кривой γj (рис. 1.5).ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР17Доказательство п. 1. Из обсуждения 1.3 следует, что образ Im(DΦ′ (t′ )) =Im(DΦ(t)◦DF (t′ )), где t = f (t′ ).

Поскольку производная DF (t′ ) невырождена,ее образом является все странство Vn . Поэтому Im(DΦ′ (t′ )) = Im(DΦ(t) ◦DF (t′ )) = Im(DΦ(t)).Утверждение п. 2 является прямым следствием геометрического смысластолбцов матрицы, определения касательного пространства и определения криволинейной координатной сети.

Примеры 1.1. 1) Гладкая незамкнутая кривая на плоскости или в пространстве есть 1-мерная простая гладкая поверхность. 2) Плоскость, эллиптический и гиперболический параболоиды, одна из полостей двуполостного гиперболоида – 2-мерные простые гладкие поверхности в трехмерном пространстве.Определение 1.3. Подмножество S ⊂ Rn называется n-мерной гладкойповерхностью в p-мерном пространстве, если S локально является n-мернойпростой гладкой поверхностью. Т.е.

у каждой точки x ∈ S имеется окрестность, пересечение которой с S является n-мерной простой гладкой поверхностью. Примеры 1.2. 1) Простая гладкая поверхность автоматически гладкая поверхность. 2) Замкнутая гладкая кривая. 3) Сфера, однополостный гиперболоид, тор – 2-мерные гладкие поверхности.Задача 1.3.

Придумайте двумерную гладкую поверхность, которая топологически неэквивалентна приведенным примерам, т.е. не существует непрерывной в обе стороны биекции между поверхностями.Применение параметризации для задания поверхности, во-первых, не всегдавозможно; так, гладкую поверхность, которая не является простой, задать целиком одной параметризацией невозможно по определению. Во вторых, пользоваться параметризацией неудобно из-за ее аналитической громоздкости.

Существует другой способ задания поверхностиОпределение 1.4. Пусть S ⊂ Rp – гладкая поверхность некоторой размерности n. Если отображение F : Rp ⊃ U → Rm такое, что S = {x ∈ U : F (x) =Oy }, то говорят о неявном способе задания поверхности S. Другими словами,поверхность S = F −1 (Oy ) есть полный прообраз точки Oy .

Аналитически применение неявного способа приводит к исследованию множества всех решений системы Fi (x1 , ..., xp ) = 0 (i = 1, ..., m) из m уравненийс p неизвестными. Возникает вопрос: каким должно быть отображение F ,чтобы оно порождало гладкую поверхность, и какой размерности будет этаповерхность?Теорема 1.5. (о неявном задании гладкой поверхности) Пусть m, p ∈ Nи m < p, U ⊂ Rp – область, отображение F : U → Rm принадлежит классу гладкости C 1 (U ) и в каждой точке x ∈ F −1 (Oy ) ранг матрицы частныхпроизводных максимален (т.е.

rank(DF (x)) = m). Тогда:1. S = F −1 (Oy ) есть гладкая поверхность размерности n = p − m;18Я. М. ДЫМАРСКИЙ2. касательное простанство к поверхности S в точке x задается линейным векторным уравнениемTx S = {v ∈ Vp : DF (x)v = 0} = (DF (x))−1 (0).(1.24)Замечание 1.3. Из теоремы следует, что каждое уравнение Fi (x1 , ..., xp ) =0 “забирает” одну размерность в прообразе F −1 (Oy ).Задача 1.4. Сколько неизвестных и сколько уравнений должна содержатьсистема, удовлетворяющая условиям теоремы 1.5, чтобы задать линию в геометрическом (т.е. трехмерном) пространстве?Доказательство.

Зафиксируем произвольную точку x∗ ∈ S. ПосколькуrankDF (x∗ ) = m, матрица DF (x∗ ) содержит набор (не обязательно единственный) из m линейно независимых столбцов. Без ограничения общности можносчитать, что последние m столбцов ∂F (x∗ )/∂xp−m+1 , ..., ∂F (x∗ )/∂xp линейнонезависимы (иначе перенумеруем переменные xi ). Переобозначим переменныеxi , где i = p−m+1, ..., p, в yi ; для переменных с номерами i = 1, ..., p−m оставимпрежнее обозначение. В результате данное пространство получит представление в виде прямого произведения двух пространств (Rp = Rn × Rm ), а данноеотображение F : Rn × Rm ⊃ U → Rm удовлетворяет всем условиям теоремы1.4 о неявном отображении. В силу п.