Лекции Дымарский 3 семестр, страница 15

Пусть граница прообраза ∂Ω ориентирована еепараметризацией a(t) = (u(t), v(t)) (t ∈ [0, T ]). Пусть Q = a(t0 ) – произвольная точка гладкости, т.е. Q не совпадает с концом дуги. Тогда край ПГПпараметризован вектор-функцией R(t) := r(a(t)), а точка A = r(Q) такжене совпадает с концом дуги. Таким образом, в точке A определен касатель−ный к краю ∂Θ вектор →τ (A) := (r(a))′ (t0 ) = Dr(Q) · (a′ (t0 )). Далее, в точке Q определен вектор внутренней нормали nint (Q) к кривой γ.

ПосколькуΩ ⊂ G (см. определение 6.1), то к вектору nint (Q) можно применить линейное→отображение Dr(Q) : R2 → TA M . Получим вектор −ν (A) := Dr(Q) · nint (Q).Наконец, в точке A определены в точности два вектора единичной нормали−→β (A) := ±n(A) ⊥ TA M . Поскольку отображение производной Dr(Q) име−ет ранг два, а векторы a′ (Q) и nint (Q) перпендикулярны, векторы →τ (A) и−→ν (A) образуют базис в касательной плоскости TA M .

Следовательно, тройка−→→−{−τ (A), →ν (A), β (A)} образует базис в V3 (рис. 6.5).Определение 6.9. (согласование ориентации ПГП с краем с ориентациейее края) Назовем ориентацию края ∂Θ положительной относительно ПГП Θ,−→→→если в любой точке гладкости A ∈ ∂Θ базис {−τ (A), −ν (A), β (A)} правый. Лемма 6.5. (о корректности определения положительной ориентациикрая) Если ориентация края ПГП положительная в одной точке гладкостикрая, то она положительная в каждой точке гладкости края.Примем утверждение леммы без доказательства.

Сравните определение 6.9и лемму 6.5 с определением 5.1 и леммой 5.2.Принципиальным при вычислении ПИВР является69ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТРvzWQ urGrnbMnint¶W¶Qya¢QuTA MArtxРис. 6.5Определение 6.10. Кусочно-гладкая поверхность называется ориентируемой, если ее куски можно ориентировать согласованно, т.е. так, что положительные ориентации краев соседних кусков противоположны (рис. 6.2).Обсуждение 6.4.

Теперь понятно, что пп. 2 и 3 в определении 6.2 КГПпредназначены для введения понятия согласования ориентации всех кусков.Чтобы ориентировать КГП нужно в одном куске ориентировать край; после чего разнести ориентацию по принципу противоположности по всем кускам. Если это получится, значит, во-первых, поверхность ориентируемая и, во-вторых,она нами ориентирована.Задача 6.4. Разрежьте на куски цилиндрическую поверхность с краем иориентируйте ее.

Попробуйте эту же процедуру осуществить с листом Мебиуса.6.4. Поверхностный интеграл второго рода.Косые лучи,ударяя в поверхностьПрохладных листов,улетали в пространство.Н. Н. Заболоцкий. СоловейПусть на области W ⊂ R3 задано непрерывное векторное полеf : W → V3 ,(x, y, z) → f(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))T .Пусть Θ ⊂ W – ПГП, ориентированная непрерывным полем единичных нормалей n(x, y, z).

Назовем векторным дифференциалом площади произведе−→ние dS := n dS, где dS – дифференциал площади поверхности.Определение 6.11. Поверхностным интегралом второго рода от непрерывного векторного поля f = (P, Q, R)T по ПГП Θ называется поверхностный интеграл первого родаˆ ˆˆ ˆ−→(f, dS) :=(f(x, y, z), n(x, y, z))dS.(6.6)ΘΘ70Я. М. ДЫМАРСКИЙПервое обозначение являются символическим (оно аналогично обозначениюКИВР); второе обозначение является ПИПР, в котором подынтегральная функция f (x, y, z) := (f(x, y, z), n(x, y, z)) (см. формулу (6.1)). Физический смысл ПИВР.

Если интерпретировать поле f как стационарное (т.е. неизменное по времени) поле скоростей жидкости, то выражение(f(x, y, z), n(x, y, z))dS равно объему жидкости, протекающему через “малую”площадку dS за единицу времени. Указанный объем положительный только если скорость образует с вектором нормали острый угол. Таким образом,ПИВР равен ориентированному объему жидкости, протекающей черезповерхность за единицу времени. В общем случае ПИВР интерпретируют какориентированный поток векторного поля.Лемма 6.6. (корректность определения 6.9) Интеграл (6.6) существует.Его вид не меняется при замене параметризации поверхности Θ.Доказательство.

Существование интеграла следует из непрерывности функции f (x, y, z) := (f(x, y, z), n(x, y, z)). Поле нормалей n(x, y, z)) не зависит отпараметризации (см. формулу (6.5) и лемму 1.1 – корректность определениякасательной плоскости). Теперь корректность поверхностного интеграла второго рода вытекает из корректности определения интеграла первого рода. Чтобы получить удобную формулу для вычисления ПИВР, вспомним, чтосмешанное произведение трех векторов (a, b, c) := (a, b × c).

В произвольноморто-нормированном базисе (a, b, c) = det(aT , bT , cT ), где второе выражение вскобках означает квадратную матрицу 3 × 3, заполненную по строкам координатами указанных векторов.Теорема 6.2. (о вычислении ПИВР) Пусть ПГП Θ параметризована вектор-функцией r : Ω → Θ, где непрерывное поле единичных нормалей n(x, y, z)определяется формулой (6.5). Тогдаˆ ˆˆ ˆ(6.7)(f(x, y, z), n(x, y, z))dS = ±(f, r′u , r′v )dudv.ΘΩДоказательство немедленно следует из определения (6.6) ПИПР, определения (6.5) поля единичных нормалей и определения смешанного произведения.Следствие 6.2.

(о вычислении ПИВР в случае явного задания ПГП) ПустьПГП Θ является графиком гладкой функции z = φ(x, y), где (x, y) ∈ Ω, а ориентирующее поле нормалей n образует острый угол с осью Oz. Пусть полеf(x, y, z) = (0, 0, R(x, y, z))T . Тогдаˆ ˆˆ ˆˆ ˆ(f(x, y, z), n(x, y, z))dS =R(x, y, z)dxdy =R(x, y, φ(x, y))dxdy.ΘΘΩДоказательство. Воспользовавшись доказательством следствия 6.1, заполним определитель из формулы (6.7):0 0 R(x, y, φ(x, y)) = R(x, y, φ(x, y)).φ′x(a, r′u , r′v ) = det  1 0′0 1φyЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР71Теперь убедимся, что поле нормалей, порожденное явным заданием поверхности, требуемое:r′x × r′y = (−φ′x , −φ′y , 1)T ⇒ (k, r′x × r′y ) = 1 > 0. Замечание 6.6.

Описанный в следствии случай ориентации поверхноститрадиционно называют интегрированием по верхней стороне Θ+ , а противоположную ориентацию называют интегрированием по нижней сторонеΘ− (рис. 6.6). В указанных обозначенияхˆ ˆˆ ˆR(x, y, z)dxdy = −R(x, y, z)dxdy =Θ+Θ−ˆ ˆ(6.8)R(x, y, φ(x, y))dxdy.ΩНаходя ПИВР без проверки ориентации мы рискуем потерять знак. Проверкуможно осуществить в любой точке поверхности.Q = Gr (j ) nkQ+uurdSgAzsyyxWРис. 6.6xPrxy (s )Рис. 6.7Замечание 6.7.

(обозначение ПИВР) Общеупотребительным является ещеодно символическое обозначение ПИВР:ˆ ˆˆ ˆP (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy :=(f, n)dS.ΘΘОно является не только исторически сложившимся, но имеет обобщение в теории интегрирования по ориентируемой поверхности произвольной размерностиn ∈ N. Ограничимся только объяснением происхождения этого обозначения.Пусть точка A = r(u, v) ∈ Θ, а σ(A) – параллелограмм, построенный на касательных векторах r′u du и r′v dv.

Обозначим через α, β и γ углы, которые−→векторный дифференциал площади dS(A) = ±(r′u × r′v )dudv образует с базисными векторами i, j, k соответственно (рис. 6.7). Тогда−→(f(A), dS(A)) = P · dS cos α + Q · dS cos β + R · dS cos γ.72Я. М. ДЫМАРСКИЙ−→Поскольку вектор dS(A)⊥TA Ξ, а базисные векторы i, j, k перпендиулярны координатным плоскостям {y, z}, {z, x} и {x, y} соответственно, то α(A), β(A), γ(A)– это двугранные углы между касательной плоскостью и соответствующимикоординатными плоскостями. Поэтому произведения dS cos α, dS cos β, dS cos γсуть площади проекций параллелограмма σ на соответствующие координатныеплоскости:dS cos α = S(P ryz (σ)), dS cos β = S(P rzx (σ)), dS cos γ = S(P rxy (σ)).Заменив площади проекций на одноименные произведения дифференциаловdydz, dzdx, dxdy, мы лишь указали на соответствующую координату вектораf.

Отметим, что указание на ориентацию поверхности Θ в этом символическомобозначении ПИВР отсутствует.Нам остается сделать последний шаг и датьОпределение 6.12. Для кусочно-гладкой поверхности Π = ∪Ii=1 Θi положимˆ ˆI ˆ ˆ∑−→−→(f, dS) :=(f, dS). (6.9)Πi=1ΘiМожно показать, что в силу определения 6.2 КГП и определения 6.8 ориентации КГП, поверхностный интеграл второго рода на КГП: 1) не зависитот разбиения поверхности на куски, 2) обладает свойством аддитивности, 3)меняет знак при изменении ориентации поверхности.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР73§ 7.

Формула Остроградского-ГауссаФормула Михаила Васильевича Остроградского (1801-1861) и Карла Фридриха Гаусса (1777-1855) получена ими независимо в первой четверти 19 века. Но впервые установлена за полвека до этого Лагранжем. Она являетсяследующим после формулы Грина аналогом формулы Ньютона-Лейбница, т.е.связывает интегрирование по границе (трехмерной) области с интегрированием по самой области. Формула является ключевой в механике сплошных среди теории поля.7.1. Теорема Остроградского-Гаусса.Гамлет, перестань!Ты повернул глаза зрачками вдушуУ. Шекспир - Б.Л.

ПастернакВведем в рассмотрение следующее понятие:Определение 7.1. Пусть на области U ⊂ R3 задано гладкое векторное поле f (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))T . Его дивергенцией называютчисловую функциюdivf : U → R, divf (x, y, z) :=∂P (x, y, z) ∂Q(x, y, z) ∂R(x, y, z)++. ∂x∂y∂zТеорема 7.1. Пусть G ⊂ U ⊂ R3 – замыкание ограниченной области, граница которой ∂G есть кусочно-гладкая замкнутая поверхность, ориентированная полем внешних нормалей n(x, y, z). Пусть векторное поле f ⊂ C 1 (U ).Тогда поток этого поля через границу области ∂G равен интегралу по самойобласти от дивергенции поля:‹˚(f, n)dS =divf dV,(7.1)∂GGгде dS – дифференциал площади поверхности ∂G, а dV = dxdydz – дифференциал объема.

(Петля на обозначении ПИВР напоминает, что поверхность∂G замкнутая.)Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда замыкание G элементарно относительно каждой оси (сравните с доказательством формулы Грина– теорема 5.1). Примерами областей, замыкания которых элементарны относительно всех осей, являются выпуклые области.Прежде всего заметим, что требования, предъявленные к векторному полю fи к области G гарантируют существование обоих интегралов в равенстве (7.1).Пусть Gz – ортогональная проекция множества G на плоскость {x, y}.

ТогдаG = {(x, y, z) : (x, y) ∈ Gz , φ(x, y) < z < ψ(x, y)},где φ и ψ – непрерывные функции на Gz . Обозначим через Gr(φ), Gr(ψ)графики указанных функций. Согласно теореме 3.9 о повторном интеграле,74Я. М. ДЫМАРСКИЙформуле Ньютона-Лейбница и формуле (6.8),˚∂Rdxdydz =∂zG¨ψ(x,y)ˆdxdyGz¨φ(x,y)¨R(x, y, ψ(x, y))dxdy −Gz∂R(x, y, z)dz =∂zR(x, y, φ(x, y))dxdy =Gz¨¨R(x, y, z)dxdy +Gr(ψ)+R(x, y, z)dxdy,Gr(φ)−где Gr(ψ)+ верхняя, а Gr(φ)− нижняя стороны указанных графиков.

Внешнеориентированная поверхность ∂G = Gr(ψ)+ ∪ Gr(φ)− ∪ Cylz , где Cylz – цилиндрическая поверхность, образующие которой параллельны оси z. В произвольной точке A ∈ Cylz вектор нормали n(A) к цилиндрической поверхностиCylz и вектор f3˜(A) = (0, 0, R(A))T перпендикулярны (рис. 7.1). Поэтому˜(f , n)dS = Cylz R(x, y, z)dxdy = 0. Окончательно получаем, чтоCylz 3‹˚∂Rdxdydz =R(x, y, z)dxdy.∂z∂GGВ силу элементарности G относительно других осей, получаем равенства˚‹˚‹∂P∂Qdxdydz =P (x, y, z)dydz,dxdydz =Q(x, y, z)dzdx.∂x∂y∂G∂GGGОстается сложить полученные формулы и воспользоваться линейностью кактройного так и поверхностного интегралов.f3GzРис.