Лекции Дымарский 3 семестр, страница 17

ДЫМАРСКИЙ§ 8. Формула СтоксаСледующая в ряду формул Ньютона-Лейбница, Грина и Остроградского-Гаусса формула Стокса связывает интеграл по замкнутому контуру с интеграломпо поверхности (пленке), натянутой на этот контур. Она носит имя Сэра Джорджа Габриеэля Стокса (1819 — 1903), который впервые ввел ее в курс математического анализа.

Но ее автором является Уильям Томсон, барон Кельвин(1824 — 1907).8.1. Теорема Стокса. Терминология: криволинейный интеграл второгорода по замкнутой кривой называется циркуляцией. Мы уже имели дело сциркуляцией в теореме Грина.Определение 8.1. Пусть на области U ⊂ R3 задано гладкое векторное полеf (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))T .

Его ротором называют веторноеполе, координаты которого вычисляют с помощью символического определителя: ijk ∂∂∂ rotf : U → R3 , rotf := ∂x∂y∂z =PQ R()()()∂R ∂Q∂P∂R∂Q ∂P−i+−j+−k. (8.1)∂y∂z∂z∂x∂x∂yТеорема 8.1. Пусть Θ ⊂ U ⊂ R3 – кусочно-гладкая поверхность с кусочно-гладким краем ∂Θ, причем ориентация поверхности полем единичных нормалей n(x, y, z) согласована с ориентацией края. Пусть векторное поле f принадлежит классу гладкости C 1 (U ).

Тогда циркуляция поля f по кривой ∂Θравна потоку поля rotf через поверхность Θ, т.е.˛¨(f, ⃗τ )ds =(rotf, n) dS,(8.2)∂ΘΘгде ⃗τ (x, y, z) – поле ориентирующих единичных касательных к кривой ∂Θ, ds– дифференциал длины дуги кривой ∂Θ, dS – дифференциал площади поверхности Θ. (Петля на обозначении КИВР напоминает, что кривая ∂Θ, будучикраем, есть объединение замкнутых кривых, см. 6.1.)Обсуждение 8.1. Теорема Стокса является обобщением теоремы Грина.Отметим, что в теоремах Грина и Остроградского-Гаусса интегрирование пообласти заменялось интегрированием по ее границе; в теореме Стокса интегрирование по поверхности заменяется интегрированием по краю. Именно теорема Стокса явилась основой для дальнейшего обобщения на случай поверхностипроизвольной размерности n, принадлежащей пространству произвольной размерности p > n.

Также отметим, что на фиксированную замкнутую кривую∂Θ может быть натянута другая пленка Θ̂ (т.е. ∂Θ = ∂ Θ̂), но при этом потокротора rotf (но не самого поля f ) не изменяется.Доказательство. Пусть пока Θ ⊂ U ⊂ R3 – простая гладкая поверхностьс кусочно-гладким краем ∂Θ. Доказательство будет дано только для случая,ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР81когда поверхность Θ имеет класс гладкости два. Т.е. существуют плоскиеобласти Ω ⊂ G ⊂ R2 и отображение, задаваемое радиус-векторомr : G → R3 , r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u.v)) ∈ C 2 (G),которым параметризована поверхность Θ = r(Ω).Мы рассмотрим три векторных поля: f 1 = (P, 0, 0)T , f 2 = (0, Q, 0)T , f 3 =(0, 0, R)T . Для каждого из них докажем формулу Стокса, после чего сложимполученные равенства.

Доказательство осуществляется в три этапа: 1) заменяем циркуляцию по пространственной кривой ∂Θ на циркуляцию по плоскойкривой ∂Ω; 2) воспользовавшись формулой Грина, заменяем циркуляцию по ∂Ωинтегрированием по плоской области Ω; 3) “узнаем” в полученном интегралепо Ω ПИВР от ротора по Θ.Без ограничения общности можно считать, что в R2 система координат (u, v)правая, а поверхность Θ ориентирована семейством единичных нормалей n =r′u × r′v /|r′u × r′v |.

Пусть кусочно гладкий край ∂Ω параметризован против часовой стрелки вектор-функцией (u(t), v(t))T (t ∈ [0, T ]). Тогда край ∂Θ параметризован вектор-функцией r(u(t), v(t)) = (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t)))T .Поэтому˛˛(f 1 , ⃗τ )ds =∂ΘˆTˆTP dx =P (r(u(t), v(t)))(x(u(t), v(t)))′t dt =0∂Θ˛P (r(u(t), v(t)))(x′u u′t + x′v vt′ )dt =0P (r(u, v))x′u du + P (r(u, v))x′v dv.∂ΩИтак, мы заменили циркуляцию поля f1 = (P, 0, 0)T ⊂ V3 по ∂Θ на циркуляциюплоского поля f̂1 := (P x′u , P x′v )T по ∂Ω.Применим формулу Грина (5.2):˛¨P (r(u, v))x′u du + P (r(u, v))x′v dv =(P (r(u, v))x′v )′u − (P (r(u, v))x′u )′v ) dudv.Ω∂ΩПреобразуем подынтегральное выражение, воспользовавшись совпадением смешанных производных (вот для чего понадобилась гладкость класса C 2 ):(P (r(u, v))x′v )′u − (P (r(u, v))x′u )′v = P (r(u, v))′u x′v + P x′′uv − P (r(u, v))′v x′u − P x′′vu =(Px′ x′u + Py′ yu′ + Pz′ zu′ )x′v − (Px′ x′v + Py′ yv′ + Pz′ zv′ )x′u = ′ ′′′′ ′′ ′′′ ′′ ′′ xu yu ′ zu−Py (xu yv − xv yu ) + Pz (xv zu − xu zv ) = −Py ′+ Pz ′xv yv′ zvТеперь, после второго этапа, получаем: ′˛¨ (′ xu(f 1 , ⃗τ )ds =−Py ′xv∂ΘΩ ′yu′ ′ zu′ + Pz ′yvzv)x′u dudv.x′v x′u .x′v 82Я.

М. ДЫМАРСКИЙС другой стороны, в силу определения 8.1 ротора векторного поля, ijk ∂∂∂ ′′rotf 1 = ∂x ∂y∂z = Pz j − Py k.P00Поэтому из формулы (6.7) вычисления ПИВР следует¨¨(rotf 1 , n) dS =(rotf 1 , r′u , r′v )dudv =Θ¨ 0 ′x u x′vΩPz′yu′x′vΩ ′¨ (−Py′ x−Py′ u′zu dudv =xvx′ v ′yu′ ′ zu+Pz ′′yvzv)x′u dudv,x′v Ωчто совпадает с результатом преобразований после второго этапа.Для поля f 1 справедливость формулы установлена.

Аналогично доказывается формула для полей f 2 и f 3 . Остается сложить полученные формулыи воспользоваться линейностью операций скалярного и векторного произведений по каждому сомножителю и линейностью интегрирования относительноподынтегральной функции.Замечание 8.1. Чтобы доказать теорему в предположении, что поверхность Θ только класса гладкости C 1 , нужно аппроксимировать (приблизить)n→∞Θ пленками Θn класса C 2 с тем же краем ∂Θ и перейти к пределу Θn → Θ(см. обсуждение теоремы 7.1). Поскольку мы пока не владеем методами теорииаппроксимации, доказательство опускаем.Доказательство теоремы для кусочно-гладкой поверхности осуществляетсяпо тому же принципу сложения противоориентированных слагаемых, что идоказательства теорем Грина 5.2 и Остроградского-Гаусса 7.1.

Пусть КГП Θсоставлена из конечного количества ПГП – кусков Θi . Тогда для каждого кускасправедлива формула Стокса. Складывая все равенства, справа мы получим,в силу определения (6.9),I ¨∑¨(rotf , n) dS =i=1 Θi(rotf , n) dSΘпоток ротора через всю поверхность Θ. В сумме криволинейных интеграловслева интегралы по общим кускам границ ∂ij Θ берутся дважды с противоположными ориентациями.

Поскольку КИВР меняет знак при изменении ориентации кривой, указанные слагаемые взаимно уничтожаются. В сумме остаютсялишь те слагаемые, которые отвечают всем кускам ориентированной границы∂Θ. В силу аддитивности КИВР, получаемI ‹∑i=1‹(f , ⃗τ )ds. (f , ⃗τ )ds =∂Θi∂Θ83ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР8.2. Геометрический и физический смысл ротора.Буря мглою небо кроет,Вихри снежные крутяА.С. Пушкин.

Зимний вечерКак и дивергенция, определение ротора дано нами в координатном виде.Однако это геометрическое понятие:Теорема 8.2. Пусть векторное поле f ∈ C 1 (Ball(A, R)), где Ball(A, R) –открытый шар с центром в точке A радиуса R. Пусть n – фиксированныйединичный вектор, Circ(A, r, n) – круг с центром в точке A, радиуса r, лежащий в плоскости перпендикулярной вектору n (рис. 8.1). Тогда в точке Aпроекция ротора на направление n есть предел:¸(f, ⃗τ )ds(rotf(A), n) = limr→0∂Circ(A,r,n)µ(Circ(A, r, n))(8.3),где окружность ∂Circ(A, r, n) ориентирована согласованно с вектором n, амера (площадь) круга µ(Circ(A, r, n)) = πr2 .Обсуждение 8.2. Формулу (8.3) можно понимать так: проекция ротораполя f на направление n является производной его циркуляции по малой петле, перпендикулярной n, по площади, которую ограничивает петля. Если f –поле скорости течения жидкости, то rotf – вектор, пропорциональный векторуугловой скорости бесконечно малой частицы сплошной среды.

Отсюда название: ротор от латинского roto – вращаю, или в старой терминологии вихрь.Доказательство. Применяя формулу (8.2) и теорему о среднем 3.5 п. 6(b),получаем¸˜e(f , ⃗τ )ds(rotf (A(r)),n)dSlimr→0∂Circ(A,r,n)µ(Circ(A, r, n))= limr→0Circ(A,r,n)µ(Circ(A, r, n))=ee ∈ Circ(A, r, n). lim (rotf (A(r)),n) = (rotf (A), n), где A(r)r→0Следствие 8.1. (инвариантность определения 8.1) Ротор векторного поля не зависит от выбора прямоугольной декартовой системы координат.Доказательство. Циркуляция векторного поля и мера множества, как былодоказано, инвариантны относительно замены ПДСК.

В силу формулы (8.3),этим же свойством обладает ротор.8.3. Потенциальные векторные поля.Чертя за кругом плавный круг,Над сонным лугом коршун кружитА.А. Блок. КоршунИзучая понятие производной для числовых функций одной переменной, мывыяснили, что произвольная непрерывная на (a, b) функция f (x) является про1изводной другой функции: существует первообразная F ∈ C´ x(a, b), для кото′рой F (x) = f (x); все первообразные имеют вид F (x, C) = x0 f (t)dt + C, где84Я. М. ДЫМАРСКИЙx0 ∈ (a, b) – произвольная фиксированная точка, C – произвольная постоянная. В силу топологических причин этот вывод НЕ справедлив для функциинескольких переменных.

Поскольку производной функции u(x, y, z) являетсявектор u′ = gradu, возникает важный вопрос: каковы условия, при которыхвекторное поле является полем градиента некоторой функции. Прежде всегонам потребуетсяОпределение 8.2. Пусть U ⊂ R3 – область, функция u ∈ C 1 (U ), векторноеполе f = (P, Q, R)T ∈ C 0 (U ). Функция u называется потенциалом поля f ,если gradu = f , т.е. ∂u/∂x = P, ∂u/∂y = Q, ∂u/∂z = R. (В случае двухпеременных останется два условия.) Само векторное поле в указанном случаеназывается потенциальным.

Теорема 8.3. (глобальный критерий существования потенциала) Пустьвекторное поле f = (P, Q, R)T ∈ C 0 (U ) непрерывно в некоторой области U .Следующие утверждения равносильны:1. Циркуляция поля по любой замкнутой кусочно-гладкой кривой γ ⊂ U(возможно, с самопересечениями!) равна нулю, т.е.˛ˆ T(f, ds) =(f(r(t)), r′ (t))dt = 0,γ0где r – кусочно-гладкая вектор-функция, удовлетворяющая условию периодичности r(0) = r(T ).´2.

Для произвольных точек A, B ∈ U интеграл ABg (f, ds) НЕ зависит отg ⊂ U (возможно, с самопересечениями), акусочно-гладкой кривой ABзависит только от самих точек A и B.3. Векторное поле f потенциально.fBABAB ( x, y , z )· ·D( x + Dx, y, z )·AABРис. 8.2Рис. 8.3Рис. 8.1Доказательство. будет дано случая, когда у рассматриваемых кривых нетсамопересечений.1 ⇒ 2. Во-первых заметим, что, в силу определения области, существуетнепрерывная кривая, соединяющая произвольные точки A, B ∈ U и принадлежащая U .

Методами теории аппроксимации можно доказать, что существуетбесконечное множество кусочно-гладких (и даже гладких) кривых, соединяющих точки A и B (доказательство будет дано позже). Поэтому формулировкаg и ABd две такие ориентированные кривые.