Лекции Дымарский 3 семестр, страница 14

МарбургПИПР можно определить по аналогии с криволинейным интегралом первого рода: сначала конструктивно определить площадь поверхности в духеопределения длины кривой (как супремум площадей вписанных многогранныхповерхностей), затем определить итегральную сумму Римана и т. д. Однакотакой путь является весьма сложным. Поэтому мы дадим только мотивациюПИПР и сразу его аналитическое определение.Пусть Θ - ПГП с краем, параметризованная инъекцией замыкания Ω (см.определение 6.1).

Погрузим Ω в “большой” квадрат со стороной a; разобьемстороны квадрата на k отрезков длины a/k – в результате квадрат разобьетсяна k 2 малых квадратов qi,j с вершинами Qi,j (i, j = 0, ..., k − 1). Рассмотрим только те малые квадраты, которые целиком принадлежат Ω. Объединение образов ∪qi,j ⊂Ω r(qi,j ) ⊂ Θ есть “почти” разбиение ПГП с краем на малые“криволинейные параллелограммы”. Касательные к сторонам криволинейныхпараллелограммов суть векторы r′u (Qi,j ) и r′v (Qi,j ) (рис. 6.1).

Наряду с малыми криволинейными параллелограммами рассмотрим малые параллелограммыqbi,j , построенные на дифференциалах r′u (Qi,j )(du) и r′v (Qi,j )dv, где du = dv =a/k. Каждый такой параллелограмм лежит в своем касательном пространствеTA(i,j) Θ, где Ai,j = r(Qi,j ). Удобно прикрепить его именно к точке Ai,j – получим “чешую” ∪i,j qbi,j , которая “близка” к ПГП при больших k >> 1. Площадималых параллелограммов равны µ(bqi,j ) = |r′u (Qi,j ) × r′v (Qi,j )|dudv. Назовемдифференциалом площади поверхности M в точке A = r(Q) (Q ∈ G) именно полученное выражение dS := |r′u (Q) × r′v (Q)|dudv. Заметим, что согласноданного определения, дифференциал площади зависит от параметризации поверхности; ниже будет показано, что это не так – он инвариантен относительнозамены параметризации.Описанная конструкция мотивируетОпределение 6.4.

Пусть f : Θ → R – непрерывная функция. Поверхностным интегралом первого рода от функции f по ПГП Θ называетсядвойной интегралˆ ˆˆ ˆ(6.1)f (x, y, z)dS :=f (r(u, v)) · |r′u (u, v) × r′v (u, v)|dudv. ΘΩЗамечание 6.2. Определение (6.1) сконструировано по проинципу формулы (4.5) замены переменной в интеграле: вместо модуля якобиана стоит модульвекторного произведения частных производных. Отметим аналогию в обозначениях ПИПР и КИПР.64Я. М.

ДЫМАРСКИЙЛемма 6.1. (корректность определения 6.4) Интеграл (6.1) существует.Его вид не меняется при замене параметризации поверхности Θ.Доказательство. Из определения области Ω, поверхности Θ и функции fследует, что подынтегральная функция непрерывна на измеримом компактноммножестве Ω. Что влечет (см. теорему 3.3) существование интеграла (6.1).Другая параметризация r̂ : H → M порождена некоторым диффеоморфизмом F : H → G плоских областей: r̂(s, t) = r(F (s, t)), где (s, t) ∈ H (см. замечание после определения 1.2). Диффеоморфизм F порождает Ξ := F −1 (Ω)– плоскую область с кусочно-гладкой границей ∂Ξ = F −1 (∂Ω) После заменыпеременных (теорема 4.3) интеграл (6.1) примет видˆ ˆˆ ˆf (x, y, z)dS =f (r(u, v)) · |r′u (u, v) × r′v (u, v)|dudv =Θˆ ˆΩf (r(F (s, t))) · |r′u (F (s, t)) × r′v (F (s, t))| · |detDF (s, t)|dsdt.ΞС другой стороны (согласно дифференцированию сложного отображения, линейности векторного произведения и его антикоммутативности) получаем() ()∂r ∂F1∂r ∂F2∂r ∂F1∂r ∂F2r̂′s (s, t) × r̂′t (s, t) =+×+=∂u ∂s∂v ∂s∂u ∂t∂v ∂t()()∂F1 ∂F2 ∂r∂r∂F1 ∂F2 ∂r∂r×+×=∂s ∂t∂u ∂v∂t ∂s ∂v ∂u()()∂F1 ∂F2 ∂r∂r∂F1 ∂F2 ∂r∂r×−×= detDF (s, t) · (r′u × r′v ).∂s ∂t∂u ∂v∂t ∂s ∂u ∂vСледовательно,|r̂′s (s, t) × r̂′t (s, t)| = |r′u × r′v | · |detDF (s, t)|.(6.2)Значитˆ ˆf (r̂(s, t)) ·Ξ|r̂′s (s, t)×r̂′t (s, t)|ˆ ˆf (x, y, z)dS.

dsdt =ΘЗамечание 6.3. Из равенства (6.2) следует, что дифференциал площадиповерхностиdS := |r′u × r′v | dudv = |r′u × r′v | (|detDF (s, t)| dsdt) = |r̂′s (s, t) × r̂′t (s, t)| dsdtинвариантен относительно замены переменных! Сравните этот результат сформулой (4.8) и комментарием к ней.Частным случаем параметризации поверхности является ее явное задание,т.е. задание поверхности как графика гладкой функции z = φ(x, y), где (x, y) ∈Ω (см. замечание 2 после теоремы 1.5). В этой параметризации r(x, y) :=(x, y, φ(x, y)). Определение (6.1) приобретает видЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТРСледствие 6.1.ˆ ˆˆ ˆ√f (x, y, z)dS =f (x, y, φ(x, y)) 1 + (φ′x )2 + (φ′y )2 dxdy.Θ65(6.3)ΩДоказательство.

В самом деле, r′x = (1, 0, φ′x )T , r′y = (0, 1, φ′y )T , r′x × r′y =√(−φ′x , −φ′y , 1)T . Поэтому |r′x × r′y | = 1 + (φ′x )2 + (φ′y )2 . Имея в виду принцип аддитивности, дадимОпределение 6.5. Для КГП Π = ∪Ii=1 Θi положимˆ ˆf (x, y, z)dS :=ΠI ˆ ˆ∑i=1f (x, y, z)dS.

(6.4)ΘiПоскольку интеграл (6.1) по ПГП определен как кратный интеграл, а интеграл (6.4) по КГП определен как сумма интегралов по ПГП, то, в конечномитоге, имеет место утверждение, которое мы примем без доказательства:Теорема 6.1. Поверхностный интеграл первого рода, во-первых, не зависит от разбиения поверхности на куски и, во-вторых, обладает свойствомаддитивности.Опираясь на мотивацию, изложенную выше, и аддитивность ПИПР, мы можем датьОпределение 6.6. Площадью (плоской мерой) простой гладкой поверхности Θ называют интегралˆ ˆˆ ˆµ(Θ) :=dS =|r′u (u, v) × r′v (u, v)| dudv.ΘΩПлощадьюкусочно-гладкой поверхности Π = ∪Ii=1 Θi полагаем сумму µ(Π) :=∑Ii=1 µ(Θi ).

В качестве косвенного подтверждения естественности определения 6.6 докажем, чтоЛемма 6.2. Площадь инвариантна относительно ортогонального преобразования O : R3 → R3 .Доказательство. Из определения векторного произведения следует, что ортогональное преобразование сохраняет его модуль:∀a, b ,→ |O(a) × O(b)| = |a × b|.Поэтому, а также в силу линейности преобразования O и правила дифференцирования сложного отображения, получаем:ˆˆ ˆµ(O(Θ)) :=|(Or)′u × (Or)′v | dudv =|O(r′u ) × O(r′v )| dudv =ΩΩˆ ˆ|r′u × r′v | dudv = µ(Θ). Ω66Я.

М. ДЫМАРСКИЙЗадача 6.2. Воспользовавшись сферическими координатами, докажите, чтоплощадь сферы радиуса R равна 4πR2 .Физический смысл ПИПР. Если подынтегральная функция f (x, y, z) > 0,ПИПР равен массе тонкого слоя (пленки, мембраны ... ) с поверхностнойплотностью f . Для знакопеременной функции f ПИПР можно трактовать каксумарный заряд тонкого слоя с поверхностной плотностью зарядов f .Вычисление ПИПР приводит к необходимости каждый раз находить модульвекторного произведения. Проще воспользоваться известной из аналитическойгеометрии формулой, которая выражает модуль векторного произведения через скалярное:√∀a, b ,→ |a × b| =a2 b2 − (a, b)2 .Мы получаем следующую формулу для вычисления ПИПР:ˆ ˆˆ ˆ√f (x, y, z)dS :=f (r(u, v)) · (r′u )2 (r′v )2 − (r′u , r′v )2 dudv.ΘΩОбсуждение 6.2.

Дифференциал параметризации гладкой поверхности иммет вид dr(u, v) = r′u du + r′v dv. Его скалярный квадратdr2 = (r′u du + r′v dv)2 = (r′u , r′u )du2 + 2(r′u , r′v )dudv + (r′v , r′v )dvdvназывается первой квадратичной формой поверхности. Коэффициентыпервой квадратичной формы обычно обозначают черезE(u, v) := (r′u , r′u ) = (r′u )2 , F (u, v) := (r′u , r′v ), G(u, v) := (r′v , r′v ) = (r′v )2Формула (6.1) приобретает видˆ ˆˆ ˆ√f (x, y, z)dS :=f (r(u, v)) · EG − F 2 dudv.ΘΩЗадача 6.3.

Запишите матрицу первой квадратичной формы и убедитесь,что форма положительно определена. Дайте геометрическое доказательствоположительной определенности первой квадратичной формы.6.3. Ориентация кусочно-гладкой поверхности.Всё-то еж он ежится,Всё-то он щетинится.А.С. Пушкин.

Сказка омедведихеНапомним те виды поверхностей, которые мы уже ввели: простая гладкая поверхность, гладкая поверхность, простая гладкая поверхность с краем,кусочно-гладкая поверхность. Целесообразно ввести подвид кусочно-гладкихповерхностей:ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР67Определение 6.7. Замкнутой гладкой (кусочно-гладкой) поверхностью=ЗГП (ЗКГП) называют линейно связную ГП (КГП), которая являетсяграницей некоторой ограниченной трехмерной области. Примеры 6.3.

ЗГП: сфера (граница шара), тор (граница “бублика”); ЗКГП:поверхности многогранников. Заметим, что граница ограниченной трехмернойобласти не обязана быть линейно связным множеством; так, граница шаровогослоя – объединение двух концентрических сфер.Обсуждение 6.3. Требования, которые определение 6.7 предъявляет к поверхности являются весьма жесткими: с одной стороны – локальное требованиегладкости, с другой – глобальное требование быть линейно связной границейнекоторой области.

Примем без доказательства, что замкнутая поверхностьне имеет края. Не трудно проверить, что замкнутые поверхности являютсякомпактными множествами (докажите). Нетривиальным является обратноеутверждение: кусочно-гладкие компактные линейно связные поверхности безкрая в трехмерном пространстве являются замкнутыми. Уже в четырехмерном пространстве двумерные компактные поверхности без края могут не бытьграницами (точнее, краями) какой-то трехмерной поверхности.

Например, проективная плоскость, бутылка Клейна (Феликс Христиан Клейн, 1849-1925).Замечание 6.4. Замкнутая поверхность, конечно, замкнутое подмножествопространства; однако не наоборот.Сейчас мы введем понятие ориентации поверхности, а потом согласуем с нейориентацию края (если край существует, сравните с определением 5.1).Определение 6.8. Гладкая поверхность Θ (с краем или без) называетсяориентируемой, если на множестве ее точек гладкости существует непрерывное поле единичных нормалей, т.е. определено такое непрерывноеотображение n : Θ → V3 , что для любой точки A ∈ Θ справедливо: 1)|n(A)| = 1, 2) n(A) ⊥ TA Θ. Лемма 6.3. Если гладкая поверхность ориентируема, то существует вточности два непрерывных векторных поля единичных нормалей.Доказательство немедленно следует из того обстоятельства, что ортогональное дополнение NA Θ одномерно.Выбор одного из названных полей определяет ориентацию поверхности.В результате поверхность становится ориентированной.Лемма 6.4.

Простые ГП (с краем или без) и замкнутые линейно связныеГП ориентируемы.Доказательство очевидно для простых поверхностей. Для них (см. началоп. 6.1) непрерывное поле единичных нормалей имеет видn(A) = ±N(A)r′ (u, v) × r′v (u, v)= ± ′u,|N(A)||ru (u, v) × r′v (u, v)|(6.5)где именно выбор знака перед дробью задает ориентацию ПГП.Можно доказать, что у гладкой замкнутой (линейно связной!) поверхностиΘ, ограничивающей область V , в каждой точке A ∈ Θ из двух единичных68Я. М.

ДЫМАРСКИЙнормалей ±n(A) одна и только одна явлется внутренней (т.е. nint (t)⊥TA Θ иточка A + εnint (t) ∈ V для всех достаточно малых ε > 0, см. п. 5.1). Полевнутренних нормалей (как и поле внешних, рис. 6.3) определяет ориентацию.Замечание 6.5. Одного требования гладкости не достаточно для ориентируемости. Существуют неориентируемые гладкие поверхности! Самым известным примером является лист Мебиуса (докажите его неориентируемость, см.рис. 6.4).Рис. 6.3Рис. 6.4Пусть Θ – ПГП с краем. Опишем процедуру согласования ориентации Θс ориентацией ее края ∂Θ.