Лекции Дымарский 3 семестр, страница 16

7.2Рис. 7.1Теперь рассмотрим случай, когда замыкание G разбивается на конечное количество замыканий элементарных областей (сравните с завершением доказательства теоремы 5.1). Точнее, пусть G = ∪Ii=1 Gi , где замыкания Gi элементарны по всем осям, не пересекаются по внутренностям, а пересечение границЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР75∂ij G := ∂Gi ∩ ∂Gj (если оно не пусто) представляет собой КГП. Для каждойтакого подмножества˚‹divf dV =(f , n)dS,∂GiGiгде поверхностный интеграл берется по внешней стороне границы ∂Gi . Суммируя, получаем:˚I ‹∑divf dV =(f , n)dS.i=1G∂GiВ последней сумме интегралы по общим кускам границ ∂ij G берутся дваждыс противоположными ориентациями. Поскольку ПИВР меняет знак при изменении ориентации поверхности, указанные слагаемые взаимно уничтожаются.В сумме остаются лишь те слагаемые, которые отвечают всем кускам внешнеориентированной границы ∂G. В силу аддитивности ПИВР, получаемI ‹∑i=1∂Gi‹(f , n)dS =(a, n)dS.∂GДоказательство общего случая мы опускаем в виду его громоздкости.

Завершение доказательства теоремы 7.1 подсказывает, что требование замкнутости границы ∂G можно ослабить.Следствие 7.1. Пусть U ⊂ R3 – область, на которой определено гладкоевекторное поле f ⊂ C 1 (U ). Пусть мнжество G удовлетворяет следующимсвойствам:1. замыкание G ⊂ U ⊂ R3 ;2. замыкание G = ∪Ii=1 Gi , где Gi – области, ограниченные кусочно-гладкимиiзамкнутыми поверхностями ∂Gi = ∪Jj=1Θij (Θij – куски соответствующих границ ∂Gi );3.

для произвольных i1 ̸= i2 замыкания Gi1 и Gi2 или не пересекаются,или их пересечение есть общий кусок границы Θi1 j1 = Θi2 j2 ;4. каждая граница ∂Gi ориентирована полем n внешних нормалей.Тогда поле n ориентирует границу ∂G внешним образом и справедлива формула (7.1).Доказательство. Граница ∂G есть объединение только тех кусков Θij , которые не являются общими для каких-то двух границ ∂Gi1 и ∂Gi2 .

На каждомтаком куске уже задано поле n внешних нормалей по отношению к G. Такимобразом, граница ∂G ориентирована. Принимая во внимание, что общие кускиориентированы противоположным образом, и повторяя рассуждения из второйчасти доказательства теоремы 7.1 (теперь не для элементарных подмножеств, адля областей, ограниченных замкнутой поверхностью), мы получаем искомуюформулу. 76Я. М.

ДЫМАРСКИЙЗадача 7.1. 1) Разбейте полноторий (бублик) на области, элементарные относительно всех осей.2) Пусть Q и q ⊂ Q два замкнутых куба с общим центром, ребра которыхпопарно параллельны (рис. 7.2). Разбейте разность G = Q \ q на замкнутыеподмножества, ограниченные кусочно-гладкими замкнутыми поверхностями.Разбейте разность G = Q \ q на элементарные относительно всех осей подмножества (указание на рис. 7.2).3) Пусть Ball(O, R) и Ball(O, r) – открытые шары. с общим центром O ирадиусами R > r > 0.

Разбейте замкнутый шаровой слой G = Ball(O, R) \Ball(O, r) на замкнутые подмножества, ограниченные кусочно-гладкими замкнутыми поверхностями. Разбейте открытый шаровой слой G = Ball(O, R) \Ball(O, r) на области, элементарные относительно всех осей.Следствие 7.2. (нахождение объемов с помощью ПИВР) Объем (мера) области G, удовлетворяющей условиям теоремы 7.1, равен‹1V (G) = µ(G) =xdydz + ydzdx + zdxdy.3 ∂GЗадача 7.2. Докажите следствие 7.2.7.2.

Геометрический и физический смысл дивергенции.Отселе я вижу потоковрожденьеИ первое грозных обваловдвиженье.А.С. Пушкин. КавказОпределение дивергенции дано нами в координатном виде. Возникает подозрение, что это понятие зависит от выбора системы координат. Оказывается,оно инвариантно относительно замены ПДСК, т.е. является геометрическимпонятием.Теорема 7.2. (геометрический смысл дивергенции) Пусть векторное полеf ∈ C 1 (Ball(A, R)), где Ball(A, R) – открытый шар с центром в точке Aрадиуса R.

Тогда‚(f, n)dSdivf(A) = lim∂Ball(A,r)r→0µ(Ball(A, r)).(7.2)Доказательство. Применяя формулу (7.1) и п. 6(b) теоремы 3.5 о среднем,получаем‚limr→0edivf (A(r))(a, n)dS∂Ball(A,r)µ(Ball(A, r))= lime ∈ Ball(A, r). где A(r)r→0˝Ball(A,r)µ(Ball(A, r))dVe= lim divf (A(r))= divf(A),r→0ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР77Следствие 7.3. (инвариантность определения 7.1) Дивергенция векторного поля не зависит от выбора прямоугольной декартовой системы координат (ПДСК).Доказательство. Поток векторного поля и мера множества – геометрические понятия, т.е.

инвариантные относительно замены ПДСК.Обсуждение 7.1. 1) Формулу (7.2) можно проинтерпретировать так: дивергенция является производной потока по объему. Отсюда название: дивергенция (от латинского divergere – обнаруживать расхождение) показываетнасколько расходятся (в смысле отличаются) в исследуемой точке входящийи исходящий потоки.2) Механический смысл дивергенции: если интерпретировать поле f какполе скоростей несжимаемой жидкости, то поток поля через замкнутую поверхность ∂G есть объем жидкости, которая вытекает и втекает через ∂G заединицу времени. Отличие потока от нуля означает, что внутри, т.е. в области G, имеются источники и стоки жидкости.

Следовательно, дивергенциюdivf (A) можно трактовать как мощность источников (стоков) в точке A иликак их точечную плотность.3) Для электростатического поля справедлива теорема Гаусса: дивергенцияэлектростатического поля в точке равна плотности электрического зарядав этой точке, умноженному на 4π.4) Если t(x, y, z) – скалярное поле температур, то векторное поле градиентаgrad t = (∂t/∂x, ∂t/∂y, ∂t/∂z)T порождает поток тепла (тепловой энергии).Согласно закону Фурье (Жан Батист Жозеф Фурье, 1768 – 1830), дивергенцияполя grad t равна (с точностью до коэффициента) плотности источников(потребителей) тепла.7.3.

Соленоидальные векторные поля.Речь его течет гладко, ровно,как вода из водосточной трубыА.П. Чехов. ОраторОпределение 7.2. Векторное поле f класса гладкости C 1 (U ) на областиU ⊂ R3 называется соленоидальным (или трубчатым в переводе с греческого), если поток через любую замкнутую кусочно-гладкую поверхность ∂G ⊂ Uравен нулю:‹(f (x, y, z), n(x, y, z))dS = 0. ∂GИз определения соленоидальности и физического смысла дивергенции следует, что речь идет о полях вне источников (зарядов). Несоленоидальное полеи возможный вид соленоидального поля изображены на рис.

7.3. Визуальноэти поля не всегда различимы. Важно уметь различать их аналитически.По аналогии с односвязностью плоской области дадимОпределение 7.3. Область U ⊂ R3 называется объемно односвязной,если для любой замкнутой поверхности ∂G ⊂ U внутренность G ⊂ U . 78Я.

М. ДЫМАРСКИЙОбразно говоря, объемно односвязная область не содержит внутренних полостей.Примеры 7.1. Объемно односвязными являются шар и полноторий. Шаровой слой и “сыр с дырками” не являются объемно односвязными областями.Теорема 7.3.

(критерий соленоидальности) Чтобы векторное поле f класса гладкости C 1 (U ) было соленоидальным на области U ⊂ R3 необходимо, а вслучае объемной односвязности U и достаточно, чтобы его дивергенция равнялась нулю:f соленоидальнообьемно односв. обл. Udivf(x, y, z) = 0 для всех (x, y, z) ∈ U.Доказательство необходимости следует непосредственно из определения 7.2и теоремы 7.2.Если дивергенция в каждой точке равна нулю, то, согласно теореме 7.1 иопределению 7.3 объемной односвязности, поток через любую замкнутую поверхность ∂G равен нулю.

Следствие 7.4. (о локальной соленоидальности) Если дивергенция гладкого поля на области U равна нулю, то оно соленоидально на каждом шаре,принадлежащем U .Задача 7.3. Докажите следствие 7.4.Пример 7.1. несоленоидального векторного поля, дивергенция которого равна нулю. Рассмотрим напряженность точечного электрического заряда, расположенного в начале координат. Это векторное поле, которое с точностью−→до коэффициента равно f (A) = (1/|r|3 ) · r, где r(A) = OA = (x, y, z)T . Заметим, что в начале координат, где расположен заряд, поле не определено.−→Возьмем шаровой слой G := {A ∈ R3 : 0 < R1 < |OA| < R2 }, который является объемно неодносвязной областью. Для произвольного R ∈ (R1 , R2 ) сфера−→2SR= {A : |OA| = R} ⊂ G. Поскольку)()(∂−2x2 + y 2 + z 2rx∂x=,=∂x |r|3∂x (x2 + y 2 + z 2 )3/2(x2 + y 2 + z 2 )5/2то divf (A) = 0.

Однако поток через сферу, принадлежащую шаровому слою,равен‹‹‹r rdS4πR2(f , n)dS =( 3 , )dS === 4π ̸= 0.222 |r|2 |r||r|R2SRSRSRЗаметим, что поток через границу шарового слоя‹‹‹(f , n)dS =(f , n)dS +(f , n)dS = −4π + 4π = 0,∂G2 )−(SR12 )+(SR2что согласуется с теоремой 7.1 Остроградского-Гаусса.Задача 7.4. Проверьте, что центральное поле f (A) = (1/|r|α ) · r имеет нулевую дивергенцию только в случае α = 3.79ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТРНазвание “трубчатое” поле объясняет следующая конструкция, которую дадим без доказательства.

Возьмем такую гладкую замкнутую кривую (петлю)γ ⊂ U , чтобы в каждой точке A ∈ γ вектор f (A) ̸∈ TA γ, т.е. петля не касаетсявекторного поля ни в одной своей точке (в частности, f (A) ̸= 0). Из каждойточки A ∈ γ вдоль поля f выпустим фазовую кривую, т.е. такую кривуюr(t, A), что r(0, A) = A и r′t (t, A) = f (r(t, A)) (рис. 7.4). Существование иединственность такой кривой доказывается в курсе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Возьмем фиксированное значение T > 0, для которогоQTB·QggTfnРис. 7.4Рис. 7.3определено r(T, A) для всех A ∈ γ. Объединение построенных фазовых кривыхобразует фазовую трубку∪Cyl(f ; 0, T ) :={r(t, A)}.t∈[0,T ],A∈γВ каждой точке B = r(t, A) ∈ Cyl(f ; 0, T ) вектор производной принадлежиткасательной плоскости: r′t (t, A) ∈ TB Cyl(f ; 0, T ). Поэтому единичный векторномали n(B) к фазовой трубке ортогонален вектору r′t (t, A) = f (r(t, A)) =f (B).Множество всех точек γT = ∪A∈γ {r(T, A)} образует вторую петлю.

На обепетли натянем гладкие пленки Θ и ΘT соответственно: ∂Θ = γ, ∂ΘT = γT .Объединение S := Cyl(f ; 0, T ) ∪ Θ ∪ ΘT является замкнутой КГП, которыймы ориентируем полем внешних нормалей. В силу соленоидальности поля f ,поток‹‹‹‹(f , n)dS = 0.(f , n)dS = 0 ⇔(f , n)dS +(f , n)dS +SΘ+Cyl(f ;0,T )Θ+TНо в каждой точке B = r(t, A) ∈ Cyl(f ; 0, T ), как было‚ отмечено, выполненоусловие ортогональности (f (B), n(B)) = 0. Поэтому Cyl(f ;0,T ) (f , n)dS = 0.Следовательно, поменяв внешнюю нормаль на Θ на внутреннюю, мы получаем:‹‹(f , n)dS =(f , n)dS.Θ−Θ+TВывод: поток, протекающий за единицу времени через сечение трубки, порожденной соленоидальным полем, один и тот же для всех сечений этой трубки.80Я. М.